一类多点共振方程组边值问题正解的存在性

江卫华，杨彩霞

(河北科技大学理学院，河北石家庄　050018)



一类多点共振方程组边值问题正解的存在性

江卫华，杨彩霞

(河北科技大学理学院，河北石家庄050018)

求解共振微分方程边值问题解的存在性比较困难，要得到共振微分方程边值问题的正解更加困难。针对研究领域中这一问题，着重研究了一类多点共振微分方程组边值问题正解的存在性。在前人研究成果的基础上，选取的不同的算子，将方程扩展为方程组。通过在合适的空间中定义恰当的范数使之成为Bananch空间，利用O'Regan和Zima所研究出来的范数形式的Leggett-Williams定理，对非线性项做出合理的假设条件，得到了共振微分方程组边值问题正解的存在性定理。

常微分方程其他学科；边值问题；共振；正解；方程组

本文研究多点共振微分方程组边值问题：

(1)

正解的存在性。

对边值问题解和正解的研究已经取得了大量的研究成果[1-6]。特别是共振边值问题一直以来受到广泛关注，并且已经取得了很多成果[7-14]。文献[14]利用范数形式的Leggett-Williams定理给出了如下共振多点边值问题：

(2)

受上述文献启发，本文研究多点共振微分方程组边值问题(1)正解的存在性。

1　预备知识

本文所使用的一些预备知识如下，详细可参见文献[14]。

设X,Y是Banach空间，L:domL⊂X→Y为指数为零的Fredholm算子，即ImL是闭集且dimKerL=codimImL<∞。此时存在连续投影算子P:X→X,Q:Y→Y使得ImP=KerL,KerQ=ImL。又dimImQ=codimImL，因此存在同构J:ImQ→KerL，若限制L在KerP∩domL上，记为LP，则它的逆算子存在，记为KP:ImL→KerP∩domL。方程Lx=Nx等价于x=(P+JQN)x+KP(1-Q)Nx。

引理1[14]设C为X中一个锥，则对每个u∈C{θ}，存在一个正数σ(u)使得‖x+u‖≥σ(u)‖x‖，对∀x∈C。

令γ：X→C为保核收缩，即γ为一连续映射，且γx=x,x∈C。并记Ψ:=P+JQN+KP(I-Q)N和Ψγ:=Ψ∘γ。

1°在X的任意有界子集上，QN:X→Y连续有界，KP(I-Q)N:X→X是紧的；

2°对任何x∈∂Ω2∩domL,λ∈(0,1),Lx≠λNx；

4°dB([I-(P+JQN)γ]|Ker L，KerL∩Ω2,0)≠0,其中dB代表Brouwer度；

5°存在u0∈C{0}使得当x∈C(u0)∩∂Ω1，有‖x‖≤σ(u0)‖Ψx‖成立，其中C(u0)={x∈C:μu0⪯x}，μ为某些大于0的数，并且σ(u0)满足对∀x∈C不等式‖x+u0‖≥σ(u0)‖x‖都成立；

6° (P+JQN)γ(∂Ω2)⊂C；

2　主要结论

定义算子L:domL⊂X→Y,L(u,v)=(L1u,L2v)=(-u″(t),-v″(t)),t∈[0,1],

其中，

domL=domL1×domL2,

定义N:X→Y为N(u,v)=(N1(u,v)，N2(u,v)),其中N1(u,v)=f(t,u(t),v(t))，N2(u,v)=g(t,u(t),v(t))，t∈[0,1]。那么边值问题(1)等价于L(u,v)=N(u,v)。显然，KerL={(u,v)∈domL:(u(t),v(t))=(c1,c2),t∈[0,1],c1,c2∈R}。

定义函数G(s),H(s),s∈[0,1]：

显然，0≤G(s)≤1,0≤H(s)≤1,s∈[0,1]。

定义函数U1(t,s),U2(t,s)如下：

定义正数：

定理2连续函数f:[0,1]×R×R→R与g:[0,1]×R×R→R满足以下条件。

假设存在R∈(0,+∞)，使得

H1)f(t,u,v)>-κ1u,g(t,u,v)>-κ2v,f(t,u,v)U1(t,s)≥-u,g(t,u,v)U2(t,s)≥-v,其中(u,v)∈[0,R]×[0,R],t,s∈[0,1]。

H2)f(t,R,v(t))<0,t∈[0,1],0≤v(t)≤R,v(t)∈C[0,1],g(t,u(t),R)<0,t∈[0,1],0≤u(t)≤R,u(t)∈C[0,1]。

则共振边值问题(1)至少有1组正解。

(3)

(4)

显然有ImP=KerL，P2(u,v)=P(u,v)且X=KerP⊕KerL。

由式(4)知:

Q2(y1,y2)=Q(y1,y2)且Y=ImL⊕ImQ,

dimImQ=dimKerL即dimKerL=codimImL。

故L是指数为0的Fredholm算子。

接下来将证明L|dom L∩Ker P的逆KP,KP:ImL→domL∩KerP，

其中：

通过计算有，LPKP=I。因此，LP的逆算子是KP。

定义锥C和有界集Ω1,Ω2如下：

C={(u,v)∈X:u(t)≥0,v(t)≥0,t∈[0,1]},

Ω1={(u,v)∈X:M1‖u‖<|u(t)|

Ω2={(u,v)∈X:‖u‖

因此有:

‖QN(u,v)‖=max{‖Q1N1(u,v)‖,‖Q2N2(u,v)‖}=

所以QN:X→Y有界。又QN:X→Y连续，故QN:X→Y连续有界。

综上分析有KP(I-Q)N:X→X是紧的。这说明定理1的条件1°成立。

假设存在(u0,v0)∈C∩∂Ω2∩domL及λ0∈(0,1)使得L(u0,v0)=λ0N(u0,v0),即

u″0(t)+λ0f(t,u0(t),v0(t))=0,v″0(t)+λ0g(t,u0(t),v0(t))=0,t∈[0,1]。

设存在t1,t2∈[0,1]使得u0(t1)=R或者v0(t2)=R。

如果u0(t1)=R,有0≥u″0(t1)=-λ0f(t1,u0(t1),v0(t1))=-λ0f(t,R,v0(t1))。

如果v0(t2)=R,有0≥v″0(t2)=-λ0g(t2,u0(t2),v0(t2))=-λ0g(t2,u0(t2),R)

与条件H2)矛盾。所以条件2°成立。

定义Hλ:KerL∩Ω2→R,λ∈[0,1]如下：

Hλ(c1,c2)=(I-λ(P+JQN)γ)(c1,c2):=

(H1(c1,c2,λ),H2(c1,c2,λ))=

其中:ci∈[-R,R]；λ∈[0,1]。

假设H1(c1,c2,λ)=0,H2(c1,c2,λ)=0。由条件H1)有：

因此H1(c1,c2,λ)=0意味着c1≥0以及H2(c1,c2,λ)=0意味着c2≥0。此外，有H1(R,c2,λ)≠0,或者H2(c1,R,λ)≠0。

事实上，

这与条件H2)矛盾。对(c1,c2)∈∂Ω2∩KerL,λ∈[0，1]有Hλ(c1,c2)≠(0,0)，

因此，有：

dB([I-(P+JQN)γ]Ker L,KerL∩Ω2,0)=

dB(H1(c1,c2),KerL∩Ω2,0)=

dB(H1(c1,c2),KerL∩Ω2,0)=

dB(I,KerL∩Ω2,0)=

1≠0。

因此4°成立。

设

其中:

对(u,v)∈∂Ω2，有:

由于

所以，有(P+JQN)γ(∂Ω2)⊂C。因此定理1中的条件6°，7°成立。

取(u(t0),v(t0))≡(1,1),t∈[0,1]和σ(u0,v0)=1，有

(u0,v0)∈C{0,0}, C(u0,v0)={(u,v)∈C:u(t)>0,v(t)>0,t∈[0,1]}。

设(u,v)∈C(u0,v0)∩∂Ω1,有M1‖u‖≤u(t)≤r,M2‖v‖≤v(t)≤r,t∈[0,1]。

对(u,v)∈C(u0,v0)∩∂Ω1，如果‖u‖=r有

M1‖u‖+(1-M1)‖u‖=‖u‖。

因此，有‖Ψ(u,v)‖=max{|Ψ1(u,v),Ψ2(u,v)|}≥max{‖u‖,‖v‖}=‖(u,v)‖。所以对所有(u,v)∈C(u0,v0)∩∂Ω1，有‖(u,v)‖≤σ(u0,v0)‖Ψ(u,v)‖。定理1的条件5°成立。

3　例　子

考虑如下共振边值问题：

(5)

且

2)f(t,R,v(t))<0,t∈[0,1],0≤v(t)≤R,v(t)∈C[0,1],

g(t,u(t),R)<0,t∈[0,1],0≤u(t)≤R,u(t)∈C[0,1] 。

因此满足定理2的所有条件。因此共振问题(5)至少有1组正解。

/

[1]MA R, WANG H. Positive solutions of nonlinear three-point boundary-value problems[J]. Electronic Journal of Differential Equations, 2003,279(1):216-227.

[2]YANG Liu, LIU Xiping, JIA Mei. Multiplicity results for second-orderm-point boundary value problem [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006,324(1):532-542.

[3]HAN Xiaoling. Positive solutions for a three-point boundary value problem[J]. Nonlinear Analysis, 2007,336(3):556-568.

[4]MA Ruyun. Multiplicity results for a three-point boundary value problem at resonance[J]. Nonlinear Analysis, 2003,53(6):777-789.

[5]HENDERSON J. Double solutions of three-point boundary-value problems for second-order differential equations [J].Electronic Journal of Differential Equations, 2004,136(2): 281-286.

[6]ZHANG G,SUN J. Positive solutions ofm-point boundary value problems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004,291(2):406-418.

[7]索秀云，江卫华，陆静.二阶多点共振边值问题的正解[J].数学的实践与认识，2011，41(15)：247-253.

SUO Xiuyun, JIANG Weihua,LU Jing.Positive solution for seeond order multipoint boundary value problem at resonance[J].Mathematics in Practice and Theory,2011,41(15):247-253.

[8]ZHAO Y, SUN S, HAN Z. Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2011, 217: 6950-6958.

[9]MA Ruyun.Existence results of am-point boundary value problem at resonance[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, 294(1): 147-157.

[10]GE W, REN J. An extension of Mawhin’s continuation theorem and its application to boundary value problems withp-laplacian[J]. Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications,2004, 58(3/4): 477-488.

[11]PHUNGA P D, TRUONG L X. On the existence of a three point boundary value problem at resonance inRnRn[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, 416(2): 522-533.

[12]SU X. Positive solutions to singular boundary value problems for functional differential equations with changing sign nonlinearity[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2012,64(10): 3425-3435.

[13]JIANG Weihua, QIU Jiqing. Solvability of (k,n-k) conjugate boundary-value problems at resonance[J].Electronic Journal of Differential Equations, 2012,19(3):2088-2090.

[14]INFANTE G, ZIMA M. Positive solutions of multi-point boundary value problems at resonance[J]. Nonlinear Analysis,2013,69(8):2458-2465.

Existenceofpositivesolutionsformulti-pointresonancesystemsofdifferentialequationswithboundaryvalueconditions

JIANGWeihua，YANGCaixia

(SchoolofScience,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang，Hebei050018,China)

Itisdifficulttostudytheexistenceofsolutionsforboundaryvalueproblemsofdifferentialequationsatresonance,moreover,togetpositivesolutionsofboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsatresonanceismoredifficult.Toresearchthisproblem,theexistenceofpositivesolutionsforacoupleofdifferentequationswithmulti-pointboundaryvalueconditionsatresonanceisstudied.Onthebasisofpreviousresearches,choosingadifferentoperator,theequationisextendedtoacoupleofdifferentequations.BydefiningthecorrectnormintheproductspaceswhichbecomeBanachspaces,andusingtheLeggett-Williamsnorm-typetheoremduetoO'ReganandZima,thenonlineartermsatisfiesreasonableassumptions,andtheexistenceofpositivesolutionsforacoupledofdifferentequationswithmulti-pointboundaryvalueconditionsatresonanceisobtained.

otherdisciplinesofordinarydifferentialequation;boundaryvalueproblem;resonance;positivesolution;differentialequation

1008-1542(2016)04-0340-09

10.7535/hbkd.2016yx04005

2016-01-26；

2016-04-26；责任编辑：张军

国家自然科学基金(11171088);河北省自然科学基金(A2013208108)

江卫华(1964—)，女，河北邯郸人，教授，博士，主要从事应用泛函分析、常微分方程边值问题方面的研究。

E-mail:jiangweihua64@163.com

O175MSC(2010)主题分类：34B18

A

江卫华，杨彩霞.一类多点共振方程组边值问题正解的存在性[J].河北科技大学学报,2016,37(4):340-348.

JIANGWeihua，YANGCaixia.Existenceofpositivesolutionsformulti-pointresonancesystemsofdifferentialequationswithboundaryvalueconditions[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(4):340-348.