对两个物理问题的思考与分析

方逸飞

一、魔盒上圆锥体的运动违背能量守恒吗？

笔者一次在街上看到一个卖魔盒玩具的，其玩具很简单，一个双向金属圆锥体，圆锥体很光滑，如图1所示；一个有一定斜度的盒子，盒子的两条斜边上安装有金属条，也很光滑，如图2所示.出售魔盒者将金属圆锥体放在斜面的下端，稍微用手扰动一下，金属圆锥体会自动的向斜面上端滚去，且越滚越快.我静心的观察了几分钟，没有发现奥秘在哪里，只是想金属圆锥体向上滚，一般看来是违背能量守恒的，出售者也正是运用人们这样的心理来兜售这种魔盒的。对这样的物理问题我一向很感兴趣，就跟着卖魔盒的人反复观察，拿一个金属的钥匙试试，看魔盒的高端是否带有磁性，是不是磁力吸引圆锥体，结果没有磁性，卖魔盒的还把盒子打开给我看，里面就是两个粗铁丝做的导轨，没有什么秘密。对于这个魔盒我一时困惑了，怎么我们学的能量守恒定律在这里不适用了呢？

我就跟着卖魔盒的反复看，问卖魔盒的是什么原理，他说“我也不清楚”。卖魔盒的怕我看出什么奥秘，坏了他的生意，总想把我支开，或者鼓励我买一个玩玩，我想一个高中学生还玩这样的玩具，不好意思。我一边观察一边思考，发现两根导轨下边窄很多上边宽很多，导轨的坡度不算大，有半米来长，只是看上去一边高一边低比较明显，再想双向金属圆锥结构，马上发生了顿悟。原来是利用金属圆锥体的重力势能而向上滚动的。下端时导轨很窄，圆锥体的中心其实比较高，在轨道的高端，金属圆锥体的重心要低一些。在金属圆锥体放在低端稍微扰动就会向重心低的高端方向运动了。

为了验证自己的看法，就动手做一个魔盒，试一试，效果很好。这里笔者将做法和几个关键的尺寸介绍如下：如图1中，R为圆锥体中部圆柱的半径，l1为中部圆柱的长度，l2为整个圆锥体的总长度；圆锥体可以用金属的也可以用密度较大的木质的，可以到小工厂去请工人师傅车一个，但锥体部分一定要打磨的很光滑.魔盒可以用三角板或其它扳子订一个，在两条斜边AB和CD上固定金属条或粗铁丝，也将其打磨光滑.其尺寸是l1要稍小于魔盒上BC边的长；l2要大于魔盒上AD边的长；R要大于魔盒上AI的高度，这是最最关键的部分，一般AI=R为比较理想；斜边AB和CD根据条件越长越好。

圆锥体能够沿着斜坡向上爬的原因是：对称的圆锥体重心在其中心位置，它两端是圆锥体，魔盒的上部比下部宽，将圆锥体放在魔盒的下部，它处于一种不稳定平衡状态，重心必然要下降，看上去，圆锥体好象在向上爬坡，实际上它的重心在下降.在圆锥体向上滚动的过程中，随着圆锥体重心的下降，重力势能不断减小，动能增大，则速度随着增大，所以我们看到圆锥体越滚越快.若圆锥体和魔盒的斜边都很光滑，忽略摩擦力做功，圆锥体的机械能总保持不变，满足机械能守恒定律。

二、杂技的顶云梯表演为什么有惊无险？

在杂技表演中，有一个爬云梯的精彩节目，一个大力士的肩膀上放着一部长云梯，其他演员一个个从大力士的身上往云梯上爬去，一共要爬上去四个或五个演员，并且陆续爬到梯子的顶端，进行各表演。观众们无不为此提心吊胆，梯子头重脚轻是多么容易翻倒呀！可是，梯子尽管有一些摇摆，到底还是稳住了。这是为什么呢？

在此节目中，大力士的承受能力是没有什么窍门可寻的。肩膀上顶梯子的大力士演员，凭着他敏捷感觉，把梯子的基底位置随时加以灵活调整。当梯子向前倾时，他的肩膀立即向前挺；当梯子向后倒时，他的肩膀也随即向后退。这样，使重力作用始终通过基底，梯子就倒不下来。

我想云梯为什么要搞那么高呢？矮一些不是更安全吗？对于这个问题我反复思索，我想这是为了表演的惊险还是别有原因呢。

带着这个问题，我做了一个小实验。就是用手指顶一支铅笔和一个较长的小木棍，结果发现长度大的木棍还容易控制一些。通过反复实验，发现棍子越长越容易控制，长的棍子在要倒时可以有充裕的时间去调整，这时我就想到了单摆的周期问题。单摆的周期公式是：T=2π，其中l是单摆的摆长，即单摆的悬点到摆球重心的距离；g是当地的重力加速度。在某个地方重力加速度的不变的，可见摆长大，其周期就大；摆长小，其周期就小。

我们可以用这样的实验来说明问题，用手指顶一支铅笔和顶一根三米多长的竹杆。竖直放置的铅笔或竹杆，先用左手扶作，只要一松手，都会失去平衡而倾倒，竹杆的重心较高，稳定性不及铅笔，它更难维持平衡。但是，另一方面，正因为竹杆重心高，因此从开始倾斜至倾倒一个角度而倒下来，所需时间却比铅笔倒下的时间长得多。而且，竹杆倒下时的速度还与倾倒的角度有关：倾角越大，重心越低。这样，竹杆就有更多的势能转化为动能，倾倒时的速度也就越大。通过计算我们得到，对一支长16cm的铅笔来说，当顶端有1cm的偏离时，它的倾角约为3°左右，其顶端就要下降0.3cm左右.但对一根长三米的竹杆而言，它的顶端偏离平衡位置1cm时，倾角只有11分，杠顶下降0.003cm，重心只降低0.0015cm.可見，在偏离平衡的距离相同的情况下，竹杆越高，从离开平衡位置到某一偏离位置需要的时间越长.这就是单摆的摆长越大，其周期就越大的道理.这样，尽管杠杆长，重心高对稳定性不利但是由于它开始倾倒时的速度很慢，因而在基底可以移到的情况下，就有充分的时间来调整竹杆的平衡，就能变不利为有利，杠子越长反而越容易保持平衡.所以说，顶长竹杆比顶铅笔要容易.

由此可见，演员在梯顶时正是梯子重心位置最高、梯子的摆动周期最大的情况，即倒得最慢的情况，顶梯子的演员就有足够的时间来调整梯子的基底位置。所以，这个看上去好像是最紧张的场面实际上倒并非是最难表演的。相反在演员们上梯下梯，大家往往认为是杂技表演的开始和终了时而不十分注意，其实却是最难表演的场面。这时，重心位置不固定，有时甚至降得很低。这两种情况，对顶梯子的演员来说，调整较为困难。为此，要求演员动作敏锐，有节奏，每个动作完成后必须有一定的间隙。