数形结合 巧解数学难题

刘桂杰

“学习之道在于悟”，高三二轮数学复习，无论从知识难度还是思维方式来讲，都进入了一个复杂繁琐的新高度. 这就要求我们不仅要习得万题之法，练就解题真功夫，而且在海量的解题过程中还要学会自我领悟、思考和总结，领悟数学问题解决中的数学思想、方法、策略，并加以巧妙运用.

“数形结合”是我们在数学解题中常用的经典数学思想方法之一. 通过以形助数，以数辅形，能使抽象问题形象化，复杂问题简单化，能有效破解数学难题，开辟出简便有效的解题方式. 下面我就把自己运用数形结合解题时的一些思考和总结的几点方法作以简单介绍.

一、以形助数，让数直观

高中函数问题是数学难题的“聚集区”， 也一直是高考数学考察的热点，一些条件繁多、关系复杂的数学问题经常出现在函数领域. 如通过分析已知函数的图像或者运用函数的性质化简已知函数，从而得出问题中函数的有关性质、表达式及有关图像的变化的试题. 我们在解决这类问题时，如果借力数形结合，“以形助数，让数直观”，这样的难题往往会迎刃而解.

题目 如果实数x，y满足等式（x - 2）2 + y2 = 3，求的最大值.

解析 等式（x - 2）2 + y2 = 3有明显的几何意义，它表示以（2，0）为圆心，r = 为半径的圆（如图）.

而 = 则表示圓上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率.

这样就可以把问题转化为几何问题：

动点A在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值.由图可知，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan 60° = .

所以最大值是.

二、以数解形，让形入微

所谓以数解形，就是用代数或者数量关系的形式来解决图形中的问题，如可将几何条件代数化，借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，然后通过数理论证，从而将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系（如算式等）.

题目 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c > 0）到直线l ： x - y - 2 = 0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.

解析 如果只是用“形”去求解“当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值”，根本得不到任何精确的结论. 于是我把它与“数”结合，由抛物线定义可知|AF| = y1 + 1，|BF| = y2 + 1，所以|AF|·|BF| = （y1 + 1）（y2 + 1） = y1y2 + （y1 + y2） + 1；再根据直线AB与抛物线C相交，联立方程，消去x整理得y2 + （2y0 - x02）y + y02 = 0，再由一元二次方程根与系数的关系可得y1 + y2 = x02 - 2y0，y1y2 = y02

所以|AF|·|BF| = y1y2 + （y1 + y2） + 1 = y02 + x02 - 2y0 + 1，

又点P（y0，y0）在直线l上，所以x0 = y0 + 2，

|AF|·|BF| = y1y2 + （y1 + y2） + 1 = y02 + x02 - 2y0 + 1 = 2y02 + 2y0 + 5 = 2y0 + 2 + .

这样就将几何图形的性质用“数”的形式表示出来，将求得的最小值转化为求二次函数的最小值.

三、数形相融，化难为易

在运用数形结合思想分析和解决问题时，我们既要善于将“数”与“形”进行等价转化，注意待解决问题“数”与“形”所蕴含的数量关系的一致性，同时我们还要把代数式的精确计算与几何图形的直观描述结合起来，利用 “数”的精确性和“形”的全面性，从而使得看似无法解决的问题清晰化、明朗化，达到简化问题，解决问题的目的.

题目 已知椭圆C = + = 1（a > b > 0）的一个焦点为（，0），离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解析 由数“焦点为（，0），离心率为”思形可求椭圆的标准方程. 由形“点P到椭圆C的两条切线相互垂直”想数：切线与椭圆C的联立方程只有一个解，Δ = 0，可得到方程（x02 - 9）k2 - 2x0y0k + y02 - 4 = 0及k1k2 = -1，根据一元二次方程根与系数的关系可得k1k2 = = -1就可求出点P的轨迹方程，再由数思形可知为一个圆.

我的一点总结：“数与形，本相依，焉能分作两边飞. 数无形时，少直觉；形少数时，难入微. ”在应用数形结合思想解题时，我们一定要抓住数形结合思想的本质，将数与形巧妙联想，数与形等价转换，只有这样才能使问题中的数量关系自然凸显，顺利解决数学难题，从而不断提高我们自身的思维品质和灵活解题能力.

（指导老师：王伟军）