Hahn—Banach定理的几个应用

赵畅

【摘要】 Hahn-Banach定理，作为泛函分析三大基本定理之一应用广泛.本文介绍该定理的内容，并初步探讨其推论及其在泛函的延拓的应用.

【关键词】 Hahn-Banach定理；泛函分析；延拓；应用

一、引 言

Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理.它的重要性不仅作用在建立Banach空间理论体系，而且还解决许多问题.下面探讨应用到定理的实际问题.

二、 定理的介绍

定理1 设G是赋范线性空间X的线性子空间，对于G上任一有界线性泛函f，可以作出X上的有界线性泛函F，使其满足：（i）当x∈G时，F（x） = f（x）；（ii）||f||G = ||F ||.

定理2 设G是赋范线性空间X的线性子空间，P（x）是X上的拟范数，对于G上任何一个给定的线性泛函f，满足条件k = |f（x）|<∞时，f必可延拓为E上的线性泛函F，且满足|F（x）| = k.

三、定理的应用

（一） 推導定理的推论

推论1 设E是赋范线性空间，则对任何x0∈E，x0≠θ，必存在E上的有界线性泛函f，满足

（i）f（x0） = ||x0||，（ii）||f|| = 1.

证明：把定理中的G取为{θ}，有d = ρ（x0{θ}） = ||x0||，于是存在E上的有界线性泛函f满足（i），（ii）.

推论2 设E是赋范线性空间，则对于任何x0∈E，有||x0|| = |f（x0）|.

证明：设f∈E*，且||f|| = 1于是|f（x0）| ≤ ||f||·||x0|| = ||x0||，由此得到 |F（x0）| ≤ ||x0||.

另外对x0∈E，不妨设x0 ≠ θ（否则推论显然成立），根据推论1，存在着f1∈E*，||f1|| = 1，并且f1（x0） = ||x0||，有|f（x0）| ≥ ||x0||. 结论得证.

（二）解决延拓问题

延拓问题是研究定义在给定集X的一个子集A上的某数学对象能否扩充到整个集X上，并保持对象的基本性质.Hahn-Banach泛函延拓定理保证赋范线性空间上具有充分多有界线性泛函及线性泛函的取值可先指定，且为共轭空间提供必需理论.

例1 设X为赋范线性空间，x，y∈X.若？坌f∈X*，恒有f（x） = f（y），证明x = y.

证明 用反证法.设x ≠ y，则x - y ≠ θ，依据定理，必存在f∈X*，使得f（x - y） = ||x - y|| ≠ 0，从而f（x） ≠ f（y），与题设矛盾.故必有x = y.

例2 P是定义在赋范线性空间X上的一个次线性泛函，证明：X上存在一线性泛函F，使得-P（-x） ≤ F（x） ≤ P（x）.

证明 设P是定义在赋范线性空间X上的一个次线性泛函，Z = {x∈X|x = αx0，α∈R}，x0∈X是一固定元素，在Z上定义泛函f为f（x） = αP（x0）.不难证明f是Z上的线性泛函：对于x = αx0，y = βx0有

f（x + y） = f[（α + β）x0] = （α + β）P（x0） = αP（x0） + βP（x0） = f（x） + f（y），f（cx） = f（cαx0） = cαf（x0） = cf（x），c∈R.

所以，f是Z上的线性泛函. 当α ≥ 0，有f（x） = αP（x0） = P（x）；

当α < 0，又0 = P（θ） = P（-x + x） ≤ P（x） + P（-x），有P（-x） ≥ -P（x），

又f（x） = αP（x0） ≤ -αP（-x0） = P（αx0） = P（x），因此f（x） ≤ P（x）. 应用定理得X上的线性泛函F满足F（x） ≤ P（x）.故：-P（-x） = F（-x） ≤ P（-x） ？圯 -P（-x） ≤ f（x）.得证.

（三）证明其他定理

定理3 设G是赋范线性空间E的子空间，x0∈E，并且d = ρ（x0，G） > 0，则存在E上的有界线性泛函f，满足：（i）f（x） = 0，当x∈G； （ii）f（x0） = d；（iii）||f|| = 1.

证明 令G1 = span{x0∪G}，由ρ（x0，G） > 0，故x0G，因此G中的任一元素y可唯一表示为

y = αx0 + x（x∈G，α为常数）.

在G1上定义泛函g：g（y） = g（αx0 + x） = αd（y∈G1），g是线性的，满足（i），（ii）.任取y = αx0 + x∈G1，不妨设α ≠0，则|g（y）| = |α|ρ（x0，G） ≤ |α|x0 + = ||αx0 + x|| = ||y||，

故g是有界的且||g|| ≤ 1.因此g是G1上满足条件（i），（ii）的有界线性泛函，根据定理，在E上存在有界线性泛函f满足（i），（ii），且||f|| = ||g||G ≤ 1.由引理得||f|| ≥ = = 1.

（引理 设G是赋范线性空间E的子空间，x0∈E，ρ（x0，G）是x0到G的距离，f是E上的有界线性泛函，并且在G上取值为零，则|f（x0）| ≤ ||f||ρ（x0，G）.）

四、小 结

Hahn-Banach定理本身有研究价值，其应用也十分广泛.本文运用Hahn-Banach定理研究其推论、延拓问题及对其他定理的证明.该定理研究空间还很大，本文研究还不全面.

【参考文献】

[1]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义[M].北京：北京大学出版社，2011：106-126.

[2]江泽坚，孙善利.泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2005：79-93.