具有非线性阻尼项和源项的波动方程整体解的存在性*

严永仙 叶耀军

（浙江科技学院数学与信息科学系，杭州，310023）

具有非线性阻尼项和源项的波动方程整体解的存在性*

严永仙 叶耀军

（浙江科技学院数学与信息科学系，杭州，310023）

在初始能量为负的条件下，基于Young不等式，本文证明了一类带耗散项的非线性双曲型方程初边值问题解的blow-up.

非线性双曲型方程 初边值问题 耗散项 Blow-up

1　引言

考虑下面的初值问题其中p≥2，α＞0，β＞0是常数，Ω是Rn中具有光滑边界∂Ω的有界区域，R+≡［0，+∞）.

2　主要结果及其证明

本文的主要结果如下

定理1 设α＞0，P≥2，β＞max（2，α，p-2），初值（u0，u1）∈W01，P（Ω）×L2（Ω），初始能量

则初边值问题（1）-（3）的解在有限时间内发生Blow-up.

证明 令

在（1）的两边同乘以ut（x，t），并在Ω上积分得

于是，由（6）和（4）知

定义函数

则

由（1）得

由（5）和（7）知

其中

注意到

由（5）得

因此

对于∀ε＞0，由引理1有

选取

由（8）和（13）则有

其中

定义函数

对（15）求导，并由（6）和（14）得

因为H（t）≥p（-E（t））＞0，E（t）＜E（0），所以

因此，存在t0＞0，使得

如果

则可取t0=0.

其次，进行如下估计

由（13）和引理1知

其中

于是，由（16）和（19）得

对（20）两边在［t0，t］上积分得

注：在定理1的假设下，如果

定理证毕.

［1］J.M.Ball，Remarks on blow up and nonexistence theorems for nonlinear evolution equations［J］.Quart.J. Math.Oxford，1977，28：473-483.

［2］H.A.Levine，Instability and nonexistence of global solutions of nonlinear wave equations of the form Putt-Au+F（u）［J］.Trans，Amer.Math.Soc.，1974，192：1-21.

［3］V.Georgiev and G.Tdorova，Existence of solutions of the wave equation with nonlinear damping and source terms［J］.Journal of Differential Equations，1994，109：295-308.

［4］Y.j.Ye，Existence of global solutions for some nonlinear hyperbolic equation with a nonlinear disspative term［J］.Journal of Zhengzhou University（Natural Science Edition），1997，29：18-23.

［5］Y.j.Ye，On the decay of solutions for some nonlinear dissipative hyperbolic equations［J］.Acta.Math.Appli Snica，2004，20：93-100.

Blow-up of Solutions for a Class of Nonlinear Dissipative Hyperbolic Equation

Yan Yongxian Ye Yaojun
（Mathematics and Information Science Department，Zhejiang University of Science and Technology，Hangzhou 310023，China）

In this paper，we prove the blow-up of solutions to the initial-boundary value problem for some nonlinear hyperbolic equation with a nonlinear dissipative term under the condition of negative initial energy.

Nonlinear hyperbolic equation Initial-boundary value problem Dissipative term Blow-up.

国家自然科学基金资助项目（61273016），浙江省科技厅公益性技术应用研究课题资助项目（2015C33088）.

2016年03月06日