弦微分代弧微分及圆环线圈面磁场的解析算法

张方孙长利张德志沈峻岭张拥军

（1.淮北中房金爵房地产开发有限公司，安徽淮北 253000；2.荥阳市水务局，河南荥阳 450100）

弦微分代弧微分及圆环线圈面磁场的解析算法

张方1孙长利2张德志2沈峻岭2张拥军2

（1.淮北中房金爵房地产开发有限公司，安徽淮北 253000；2.荥阳市水务局，河南荥阳 450100）

对于圆环线圈电流磁场的精确计算方法，当遇到圆环线圈面和对称轴上的磁场计算问题时，存在不适用的缺陷。该文通过数学变换和论证，使用弦微分代弧微分的方法，经积分有效解决了圆环电流尤其是线圈圆环面上磁场的解析算法问题，弥补了轴对称线圈磁场的精确计算方法中所存在的不足，可用于圆环线圈面等磁场的数值计算。

圆环线圈 磁场 解析解

1　圆环线圈电流元Ids的轴向dBx、径向dBr、周向dBφ磁场

如图1：求⊙O环A点电流源Ids在任一点P（a，rsinΦ’，rcosΦ’）的轴向（dBx）、径向（dBr）磁场。P是距⊙O为a，距x轴为r的同圆心轴的平行⊙O’周上的任意点。O’=Φ’，A（0，RsinΦ0，RcosΦ0），E（0，0，R/cosΦ0），O’（a，0，0），∠AOB=Φ=Φ0-Φ’，PP’=a，PP’⊥⊙O，∠AOA’=△Φ，PO’∥BB’，AP=ρ，A’P=ρ’=ρ+△ρ，∠P’PA=θ，∠APA’=△θ，⊙O弧微分ds=rdΦ，dB=［μ0/（4л）］［（Ids）Χρ0/ρ2］.

求：dBx；dBr；dBφ.

④dBx；dBr；dBф.在平行⊙O’周P点有：dB=dBx（轴向）+dBr（径向）+dBф（周向），经推导

2　弦微分代弧微分用于圆环线圈轴向Bx、径向Br磁场的解析算法

2.1弦微分代弧微分法的讨论

如图2，⊙O中A（x，y），A’（x+Δx，y+Δy），ф对应的弧弦，改变应弧的改变量为ф所对应的弦的微小改变量为′。

表示当自变量ф的微小改变量Δф→0时，Δф所对应的弧改变量的微分

=0（∵cosβ≤1是有界函数，且根据无穷小定理2）

2.3结果

3　弦微分代弧微分用于圆环线圈轴向磁场Bx的解析算法

3.1弦微分代弧微分对圆环线圈面上轴向磁场Bx的解析算法

3.2数值计算

a=0，R=1，r∈｛0.999；0.99； 0.9；0.7；0.5； 0.3；0.1；0.01；0. 001 ｝；

［4л/（μ0I）］Br∈｛1000.060318；103.0083021；10.4347499；3. 580294635；2.401139081；2.170595712；2.146599406；2.013454487；2.001334534｝

3.3与轴向磁场Bx精确计算方法比较

3.4计算结果

R=r=1（r≠0）；a∈｛2.0；1.0；0.7；0.6；0.5；0.4；0.3；0.2；0. 1；…｝（a≠0）；

［4л/（μ0I）］Br∈｛0.1742668058；0.5492082842；0.8284177799；0.9610701869；1.124570047；1.331857666；1.606908936；2. 00318576；2.69075153｝.

当R=r=1；a∈｛2；1；0.7；0.6；0.5；0.4；0.3；0.2；0.1｝，与弦微分代弧微分Br计算数值比较全相等.

3.5结果

弦微分代换弧微分可用于圆环线圈特别是圆环面上轴向磁场的近似数值计算。

4　弦微分代弧微分用于圆环线圈径向磁场Br的解析算法

4.1弦微分代弧微分对圆环线圈径向磁场Br的解析算法

4.2数值计算

R=r=1，a∈｛2.0；1.0；0.7；0.6；0.5； 0.4；0.3；0.2；0.1；0.01；0.001；0.0001 ｝；

［2л/（μ0I）］Br∈｛0.1792418；0.6199047；1.0584226；1. 3081783；1.6591043； 2.1850764；3.0554443；4.775091452；9. 854296888；99.97379261；999.996228；9999.999508｝

4.3与径向磁场Br精确计算方法比较

4.4数值计算

令R=r=1（r≠0），a∈｛2.0；1.0；0.7；0.6；0.5； 0.4；0.3；0.2；0. 1…｝（a≠0）；

［2л/（μ0I）］Br∈｛0.1792865848；0.6198230489；1.058422858；1.308056086；1.659142489；2.185080156；3.055418169；4. 774867375；9.852985812｝.

弦微分代弧微分∶精确算法：99.978%；100.013%；99.9999%；100.009%；99.9977%；99.9999%；100.0008%；100.004%；100.0001%

4.5结果

使用弦微分代换弧微分算法，可用于圆环线圈径向磁场的近似计算。

5　结语

通过对两弦差的改变量与微小弧的对应弦之差的极限是高阶参考文献：

无穷小存在成立的证明，以及把弦微分代弧微分方法用于圆环线圈磁场函数的积分，并求得圆环线圈磁场的解析式，且计算结果准确、可靠。此方法可用于圆环线圈径向、轴向磁场的数值计算，尤其在圆环线圈面上轴向磁场的计算方面优势明显，是对磁场精确计算方法的必要补充。

［1］汪诚义.考研数学：高等数学与微积分［M］.北京：中国物资出版社，2008（Ⅰ）：155-156.

［2］雷银照.轴对称线圈磁场计算［M］.北京：中国计量出版社，1991：31-68.

［3］王莹，肖峰.电炮原理［M］.北京：国防工业出版社，1995：93-94.

［4］孙长利，张丽鸿，孙璐.弧微分代换法〈dρ（θ）=dl=d（RΦ）〉及在圆环电流磁场解析算法中的应用.科技风［J］2015（17）：114-115.［5］孙璐，张丽鸿，孙长利，蒋振昌，魏祥林.轴对称线圈磁场的精确计算方法研究.军械工程学院学报［J］.2016（03）：71-78.

张方（1979-），男，大专，淮北中房金爵房地产开发有限公司，总经理助理（工程师）安徽淮北象山区人民路268号，邮编253000。