基于Wiener过程的GPS校准晶振型频率源守频方法

杨少尘，胡昌华，李红增

（火箭军工程大学控制工程系，陕西 西安 710025）

基于Wiener过程的GPS校准晶振型频率源守频方法

杨少尘，胡昌华，李红增

（火箭军工程大学控制工程系，陕西 西安 710025）

GPS校准晶振型频率源系统接收不到GPS信号时，仅能依靠晶振自身保持较高频率标准输出。该文针对短期GPS信号丢失后晶振输出频率漂移问题，提出一种基于Wiener过程的频率漂移校正补偿方法。该方法通过建立晶振输出频率的老化特性退化模型，将温度作为加速应力引入模型参数。利用GPS信号丢失前的系统历史校准数据，采用极大似然估计法估计模型扩散参数，采用Kalman滤波方法估计模型漂移参数，进而预测晶振失锁后的频率漂移量，完成对系统输出频率的补偿校正。将该方法应用到某GPS校准晶振型频率源系统中，结果表明在GPS信号丢失后的短期内，系统的输出频率准确度能够保持在9.7×10-11，满足短期内的计量需求。

GPS校频；晶振；频率漂移；Wiener过程

0　引　言

随着航空航天测控技术的不断发展，对频率测试设备的计量需要更高准确度的时频标准。目前高准确度频率标准源主要有铷钟、铯钟等原子钟及高准确度晶振。其中氢、铯等原子钟的频率准确度可达10-12～10-15量级，长期稳定度好，但其使用条件严格，价格昂贵。晶振的频率准确度一般为10-7～10-9量级，短期稳定性好，价格低廉，但其精度易受温度、老化等因素影响，长期稳定性较差。

GPS系统每颗卫星上都携带有原子钟，因此GPS信号具有原子频标的长期稳定度。利用GPS信号校准地面晶振的方法可获得短期和长期稳定度都很高的频率标准源，性价比高，实用性强［1-2］。但在地铁、隧道等场所使用时，GPS接收机短期内可能接收不到GPS信号。此时系统只能依靠晶振自身实现高精度频率输出。但晶振频率准确度易受各种因素的影响，其中温度变化和自身元器件老化是主要的影响因素。为了使系统在丢失GPS信号后继续保持相对较高的频率准确度，需要对晶振输出频率的漂移量进行实时补偿。对完成航空航天设备在复杂环境下的便捷高效伴随计量具有重要意义。

研究晶振频率漂移预测补偿的思路是通过建立晶振性能退化模型，利用GPS信号正常时系统的历史校准数据得到晶振的性能退化数据，估计出模型相关参数，预测晶振输出频率的漂移量，从而对系统进行补偿校正，保证系统输出频率的精度，直至GPS信号恢复后重新锁定晶振。

建立退化预测模型时，文献［3］提出采用多项式法表示晶振相位偏差，利用历史数据计算出多项式参数进行预测，该方法简单但短期内精度不高；文献［4］提出采用Kalman滤波算法进行预测，但是仅考虑了老化因素对频率漂移的影响，没有考虑温度变化的影响；文献［5］提出通过数字滤波器分离出温度、老化对频率漂移的影响，而后采用Kalman滤波算法分别对温度和老化的影响进行预测后再相加，该方法参数选择复杂，模型噪声难确定，效果不太明显；文献［6］提出采用神经网络算法进行建模，该方法收敛速度较慢，效率较低，不能很好地满足实时性要求。

针对上述问题，本文提出采用基于Wiener过程的可靠性建模方法，将短期内的晶振退化问题近似为线性问题，建立晶振老化与频率漂移之间的线性模型，并将温度变化作为系统的加速应力融合到模型参数中。首先利用极大似然估计和Kalman滤波算法分别对模型的扩散参数和漂移参数进行估计，然后实时预测晶振的频率漂移量，对系统输出频率进行补偿，确保系统保持高精度频率输出。

1　问题描述

GPS信号校准晶振型频率源的基本原理如图1所示。当GPS信号正常时，系统将GPS接收机输出的秒信号与地面晶振分频后的信号进行比对，获得相对频差，再将频差转换成控制修正电压，不断调节晶振的振荡频率，最终实现晶振高准确度频率输出。当GPS信号丢失后，系统通过晶振频率漂移预测模块实时预测晶振输出频率的漂移量，再将其转换成控制修正电压对晶振进行校正补偿，实现相对高准确度的频率输出［7］。

图1　地面晶振驯服保持技术原理图

其中，晶振频率漂移预测模块的工作原理如图2所示。首先建立晶振基于温度、老化特性的频率漂移模型，然后利用压控电压值将GPS信号正常时的频差信号量等效转换成相应的晶振频率漂移量，利用对应的温度值和时刻值估计模型参数。当GPS信号丢失后利用该模型，通过当前时刻值和温度值预测出相应的晶振输出频率漂移量。

图2　频率漂移预测模块原理图

1.1晶振老化预测模型

一般情况下，晶振的老化模型是非线性的，频率温度变化模型是线性的。但老化率的非线性是对于较长时间而言的，如一月或者一年。在较短时间内，老化率可以认为是线性的，如一天。由于GPS信号丢失的时间一般都很短，并且频率源系统要求的精度保持时间基本都是一天。因此在保证精度的前提下，晶振的老化模型可以简化为线性，从而大大简化了算法处理。

基于Wiener过程的退化模型是一类典型的描述设备随机退化过程的线性随机模型。到目前为止，这类模型已经在设备腐蚀、机械振动、液晶显示器劣化等退化中得到了广泛应用［8］。本文将短期内的晶振退化过程描述为一元Wiener过程：

式中：X（t）——t时刻的退化量；

μ、σ——漂移参数和扩散参数；

B（t）——标准布朗运动，且有B（t）～N（0，t）。

由于一元Wiener过程是齐次马尔科夫过程，则其均值和方差分别为

可以看出X（t）的均值和方差随时间线性增加。其变异系数为

1.2基于温度应力下的晶振老化预测模型

在某些Wiener过程的可靠性建模中，为了提高产品的性能退化过程，以便在短期内获得较多性能退化数据，通常需要提高试验应力加快其退化过程，如改变温度、压力、湿度等。若设某应力变化量为L，在不同应力下一元Wiener过程的参数是应力的函数，即：

其中θμ是未知参数向量。

若考虑将温度看作加速应力作用于晶振的退化过程，由于频率温度变化模型可近似为线性［9］，那么基于温度应力下的退化模型为

其中a、b为模型未知参数。

由于本文所研究的GPS校准晶振型频率源系统使用的是恒温晶振，其频率漂移受外界温度变化影响较小，在研究中可忽略不计。下面重点讨论晶振的老化对频率漂移的影响。

2　基于Wiener过程的GPS信号校准晶振型频率源守频方法

2.1模型参数估计

2.1.1估计扩散参数σ2

利用前文所述频率源系统，设频率源在测量时刻t1，t2，…，tn的频率漂移量分别为x1，x2，…，xn，令0＜i＜n，其中t0=0，n≥1，x0=0。Δxi=xi-xi-1是时刻ti-1，ti之间的性能退化量。由Wiener过程的性质［10-11］得

其中，Δti=ti-ti-1，i=1，2，…，n。由式（8）得到似然函数为

那么利用极大似然估计方法可求得σ2的估计值为

2.1.2估计漂移参数μ

对于参数μ的估计，若采用极大似然估计法有：

由式（11）可知，若采用极大似然估计方法估计参数μ时，使用的状态值为当前时刻值和初始时刻值的差值。如果当前时刻值存在较大噪声，就会对μ的估计值产生较大影响。因此，为了降低噪声因素的影响，充分利用先前的历史校准数据，提高μ的估计准确度，本文采用Kalman滤波算法对μ进行预测估计。

Kalman滤波适合解决最优线性滤波和估计问题，它以最小均方误差为准则，根据前一次估计值和最近一次观测数据估计信号的当前值，适用于实时处理［12］。通过之前建立的Wiener过程模型推导，可得关于参数μ的状态方程和观测方程为

其中，yk=Δxk=xk-xk-1，Δtk=tk-tk-1，k=1，2，…，n；Wk为系统噪声，具有零均值和已知协方差阵Qk；Vk为观测噪声，且服从N（0，σ2）。

Kalman滤波过程如下：

1）由公式Pk-=APk-1AT+Qk，计算向前推算误差协方差Pk-。

2）根据 Kk=Pk-HkT（HkPk-HkT+Rk）-1，计算 Kalman增益Kk。

5）由Pk=（I-KkHk）Pk-，更新误差协方差Pk。

其中，A=1，Hk=Δtk，k-为 k时刻的先验状态估计为k-1时刻的后验状态估计，Pk-为k时刻的先验估计误差的协方差。

实际中，需给定初值μ0估计误差协方差矩阵初值P0。模型噪声协方差阵Qk采用经验估计，按照使滤波效果最优的原则由实验确定。观测噪声协方差矩阵

2.2频率漂移量预测

由于一元Wiener过程是齐次马尔科夫过程，根据性质可知其状态增量是平稳相互独立的。当x1，x2，…，xn已知时，设t＞n，对于t时刻的晶振输出频率漂移量X（t），有：

由上式可得晶振输出频率漂移X（t）的预测值为

2.3频率输出校正补偿

预测出晶振的频率漂移量后，将其转换成压控电压，实时输入晶振来调节输出频率漂移，从而完成晶振的自校正补偿，使系统在GPS信号丢失的短期内保持相对高精度的频率输出，如图3所示。

图3　频漂校正补偿原理图

晶振的性能退化是连续的，频漂预测校正补偿是负反馈环节，具有一定的延迟。但是由于晶振在相邻两时刻的频漂量之差，与频漂预测值相差几个数量级，可以直接将前一时刻的频漂预测值作为当前时刻的频率漂移值用于校正补偿。

综上所述，解决GPS信号丢失后晶振输出频率漂移预测补偿问题的步骤如下：

1）分析老化、温度等因素对晶振频率漂移的影响关系，建立频率漂移预测的一元Wiener过程模型。

2）根据频率漂移预测模型推导出状态似然函数和状态方程，利用极大似然估计方法估计扩散参数σ2，利用Kalman滤波算法估计漂移参数μ。

3）根据推导出的频率漂移量预测公式，计算在GPS信号丢失情况下的晶振输出频率漂移量。

4）将预测出的晶振输出频率漂移量输入D/A转换模块转换为控制电压，实时调节晶振输出频率，实现系统高精度频率输出。

3　实例验证

针对某GPS校准晶振型频率源系统，在GPS信号正常锁定晶振的情况下，设置40s为采样周期，采集频差信号值及对应的晶振压控端输入电压。在具体测试验证中，使用的晶振为恒温晶振，性能如表1所示［13］。其中采集的频差信号值反映了系统的频率输出准确度，如图4所示。

表1　VCOCXO的老化率和频率温度系数

图4　晶振锁定后系统的频率准确度（采样周期40s）

由图4可以看出，GPS信号锁定晶振信号后，系统输出频率值在晶振标称频率上下起伏，频率准确度最大起伏约为8.7×10-11。通过计算，图中所显示的频率平均准确度可达2.17×10-11，相对于表1所示晶振的老化率约为5×10-10/d有明显改进。由此可以说明利用GPS信号校准晶振后，系统的输出频率准确度有明显提高，GPS卫星时钟的长期准确度指标在锁定后的晶振上得到了复现，系统满足大多数情况下的计量标准要求［14］。

根据控制电压值将频差信号进行等效转换，得到晶振频率漂移量，如图5所示。

由图可以看出，晶振的频率准确度随时间不断降低，即频率漂移量越来越大，整体上可近似为以老化率为斜率的线性退化。图4与图5比较可知，正是由于GPS信号对晶振信号进行了校准，才使得系统能够保持较高的输出精度。

当晶振被GPS信号锁定一段时间以后，断开GPS校准信号，系统进入晶振自校准补偿模式。图6为使用保持方法后系统输出频率准确度变化曲线。

图6　使用保持方法后的频率准确度（采样周期40s）

由图可以看出，当采用了保持方法之后，晶振的频率漂移问题得到了很好的修正，输出频率准确度在GPS信号丢失后的11h内仍保持在4.0×10-10之上，保持期间的频率平均准确度为9.7×10-11。但从图中的曲线波动趋势发现，随着时间的延长，系统的频率准确度呈下降趋势，说明了该频率保持方法可以使恒温晶振在短期内保持较高的输出精度，但由于恒温晶振的老化和系统计算时迭代误差的影响，使得系统的输出频率准确度不断降低。总体来讲，该方法能够使系统在短期内保持相对较高的频率准确度，满足短期内的计量需求。

4　结束语

本文研究了一种基于Wiener过程的频率源守频保持方法。首先建立了晶振性能退化的一元Wiener过程模型，利用极大似然估计和Kalman滤波算法估计出模型参数，计算得出晶振输出频率漂移量，当GPS信号丢失后，实现晶振输出频率漂移的自校正补偿。将该方法用于某GPS校准晶振型频率源系统，能够满足系统在GPS信号丢失的短期内，仍保持高准确度频率输出的要求。

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（编辑：徐柳）

Timekeeping method for frequency sources calibrated by GPS based on Wiener progress

YANG Shaochen，HU Changhua，LI Hongzeng
（Dept.of Control Engineering，the Second Artillery Engineering University，Xi’an 710025，China）

The GPS calibrating crystal oscillator frequency source system can only rely on the crystal oscillator to keep the output at a high standard after GPS signals are lost.In this paper，an algorithm of maintaining frequency source punctuality based on Wiener process is proposed to correct and compensate for the output frequency drift of the crystal oscillator.Through analysis of historical calibrating data，an output frequency drift model was established with temperature and agingcharacteristics.Maximumlikelihoodestimationwasappliedtoestimatethediffusion parameters of the model and Kalman filtering method was used to estimate its drift parameters. Furthermore，the output frequency drift in real time was predicted and the frequency of the system was compensated.The proposed method was applied to a GPS calibrating crystal oscillator frequency source system，and the results show that it can maintain the output precision of frequency at a degree as high as 9.7×10-11after GPS signals are lost.

GPS calibrating frequency；crystal oscillator；frequency drift；Wiener process

A

1674-5124（2016）06-0014-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2016.06.004

2016-01-22；

2016-03-07

国家杰出青年基金（61025014）国家自然科学基金（61573365）

杨少尘（1991-），男，北京市人，硕士研究生，专业方向为故障诊断与预测。