q-调和数的求和公式

韩聪聪

(重庆师范大学 数学科学学院,重庆 401331)



q-调和数的求和公式

韩聪聪

(重庆师范大学 数学科学学院,重庆 401331)

针对q-调和数求和的问题,部分分式分解法是一个很好的方法.使用部分分式分解法得到两个组合等式.然后使用这些组合等式得到了q-调和数的求和公式. 应用这些结果给出了一些常用的关于q-调和数的求和公式.

调和数; 部分分式分解法; 求和公式

1　预备知识

调和数和q-调和数在组合数学中应用很广泛,很多复杂的求和公式都能表示成一些简单的包含调和数和q-调和数的公式.许多学者对调和数和q-调和数进行了深入研究，初文昌在这方面取得了很大的成就，得到了很多常用的关于调和数的等式及其证明[1-4].本文给出了两个关于q-调和数的等式，通过代入特殊值的方法得到了一些常用的结果.通常的q-调和数为[5]

相应的q-交错调和数为

符号Dx表示通常的导数算子[6]

2　q-调和数的求和

引理1[7]972若p,m是自然数，x是未知数，则

引理2[7]976若p,m是自然数，x是未知数，则

定理1若n,p,m为正整数，则

应用引理1的结果,上面式子中的和可以表示为

定理得证.

应用上面的定理,当m=1,2，p=1,2,3时,能得到

定理2若n,p,m为正整数，则

应用引理2的结果,上式中的和可以表示为

定理得证.

应用上面的定理,当m=1,2，p=1,2,3时,得到

[1]Chu W. A binomial coefficient identity associated with Beukers' conjecture on Apery numbers[J]. Electron J Comb.， 2004,11(1):N15.

[2]Chu W. Harmonic number identities and Hermite-Pade approximations to the logarithm function[J]. J Approx Theory, 2005,137(1):42-56.

[3]Chu W. Partial-fraction decompositions and harmonic number identities[J]. J Comb Math Comb Comput., 2007,60:139-153.

[4]Chu W,Fu AM. Dougall-Dixon formula and harmonic number identities[J]. Ramanujan J., 2009,18(1):11-31.

[5]Yan Q,Wei C Fan X. q-generalizations of Mortenson’s identities and futher identities[J]. Ramanujan J., 2014,35(1):131-139.

[6]Chu W,Donno LD. Hypergeometric series and harmonic number identities[J]. Adv Appl Math., 2005,34(1):123-137.

[7]XiaoxiaWang,YiQu.Somegeneralizedq-harmonicnumberidentities[J].InteralTransformsandSpecialFunction,2015,26(12):971-984.

The summation formula about q-harmonic number

HAN Congcong

(School of Mathematics Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

For questions about the q-harmonic number, partial fraction decomposition method is a very good method.We can get two combined by using it, then we can obtain some summation formula about q-harmonic number. Application of these results we shows some intresting summation formula about q-harmonic number.

q-harmonic number; partial fraction decomposition method；summation formula

2016-02-28;

2016-05-04

重庆市自然科学基金(No.CSTC2011JJA00024);重庆市教委自然科学基金(No.KJ120625)

韩聪聪(1989- ),男,河南邓州人,研究生,主要从事代数组合研究.

O157.1

A

1671-9476(2016)05-0033-03

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.008