基于混合整数凸规划的含风力发电机组配电网无功补偿优化配置

李　静　戴文战　韦　巍

(1.浙江工商大学信息与电子工程学院　杭州　310018 2.浙江大学电气工程学院　杭州　310027)



基于混合整数凸规划的含风力发电机组配电网无功补偿优化配置

李静1戴文战1韦巍2

(1.浙江工商大学信息与电子工程学院杭州310018 2.浙江大学电气工程学院杭州310027)

提出一种基于混合整数凸规划的配电网无功补偿电容优化配置新算法。利用风力发电机组发电功率的多状态离散概率模型，以安装补偿电容所带来的经济效益最大为目标函数，考虑二阶锥松弛后的潮流约束方程和节点电压约束，对含风力发电机组的配电网中补偿电容器的安装位置和容量进行优化配置。基于二阶锥的凸多面体近似等价方法，将配电网无功优化问题描述为混合整数线性规划问题，利用更通用的求解器求得该问题的最优解。在含风电分布式电源配电网中分别对所提方法进行验证，仿真结果表明，该算法计算效率高，且能得到计及风电随机波动影响的最优方案。

配电网最优潮流二阶锥规划无功优化

0　引言

近年来为应对能源、环保和气候变化的挑战，低碳可再生能源得到大力发展，新能源以分布式电源的形式直接接入配电网成为发展趋势[1]。配电网直接或降压后将电能送到用户侧的电网，研究大量分布式电源接入后的系统结构和运行显得极其重要。由于风、光资源的随机性和波动性，当大规模风电和光电接入配电网后，会对系统运行的有功和无功潮流以及电能质量产生不利影响[2，3]。其中间歇性风电和光电并网引起的电压问题是实际运行中常见的问题之一。

为了克服间歇性能源接入配电网所引起的电压波动，保证配电网安全稳定运行及减少电网网损，接入无功补偿电容是广泛采用的电网无功补偿措施。无功补偿电容值配电网中接入位置和容量的优化配置问题，包含非线性的潮流方程约束，是一类非线性混合整数规划问题。求解该类问题时，很多经典的非线性规划算法和智能优化算法[4，5]虽然会有一定的应用成效，但存在明显的不足：由于选择了不合适的初始点，使得算法陷入局部最优；计算时间随问题的维数呈指数爆炸式递增；缺乏数学意义上的最优性等。文献[6]对配电网进行无功优化时，假设无功补偿量是连续变量，对无功补偿装置的接入位置未进行优化，也未考虑分布式电源出力的随机波动性，利用新型多智能体免疫算法求解问题。文献[7，8]为了考虑分布式电源出力的随机波动性，将概率统计的方法引入电力系统潮流计算中，以有功网损的期望均值为目标函数，并利用新型智能优化算法对含分布式电源的配电网进行无功优化。文献[9]提出了利用二进制编码处理无功优化中离散变量的方法，利用非线性内点法对问题进行求解。文献[10]提出了潮流方程的凸松弛算法，并给出辐射状配电网潮流凸松弛精确性的证明[11，12]。基于凸松弛后的潮流方程，将原本属于非线性非凸规划问题的配电网无功优化模型转换为具有凸可行域的数学规划形式。文献[13]基于支路潮流方程，采用分布式电源的恒定出力模型，研究了含分布式电源配电网无功优化的混合整数二阶锥规划模型。

本文计及间歇性能源随机波动影响，利用概率统计的方法对风电出力进行评估，并结合发电系统的随机停运概率，建立了风力发电机组出力的多状态离散概率模型。综合考虑网损和无功补偿电容的投资成本，提出无功补偿电容在配电网中接入位置和容量的优化配置模型。首先将非线性潮流约束方程进行凸二阶锥松弛处理；然后基于二阶锥的凸多面体近似等价方法，将含风力发电机组的配电网无功优化问题转换为适应更多求解器且求解效率更高的混合整数线性规划问题；最后在含风力发电机组的33节点和69节点系统上进行方法验证，仿真结果表明，该算法计算效率高，且能得到计及风电随机波动影响的最优方案。

1　风力发电机组出力的随机特性分析

1.1风力发电机组输出功率概率密度函数

风力发电机组的输出功率与风速之间的近似关系如图1所示，正常运行状态的风力发电机组，在风速小于切入风速vin或大于切出风速vout时输出零功率；在风速位于额定风速vrated和vout之间时，风力发电机组为额定恒功率PR输出；在风速位于vin和vrated之间时，风力发电机组输出功率随风速的变化而变化，变化规律近似地用风速的二次函数曲线来拟合[14]。

图1　风力发电机组的输出功率曲线Fig.1　The curve of wind turbine output power

本文在计算风电概率密度函数时，考虑风力发电机组的强迫停机率η对其输出功率的影响，即风力发电机组处于停运状态的概率为η[15]，此时无论风速如何变化，其输出功率皆为0；反之风力发电机组处于正常运行状态的概率为1-η。

(1)

式中，tMTBF为风力发电机组的平均故障间隔时间；tMTTR为风力发电机组的平均故障修复时间。

根据已知的风速威布尔分布概率密度函数fV(v)，可得单台风力发电机组的功率概率密度函数[16]

(2)

式中，δ()为Dirac函数，便于描述功率值在0和PR点处的概率，参数pr1、pr2和pr3如下所示

1.2风力发电机组出力的多状态离散概率模型

通过对概率密度函数的离散化处理，以获得风力发电机组输出功率的多状态离散概率模型，本文用T行2列矩阵C来描述该模型

C=[C(t，1)C(t，2)]t=1，2，…，T

(3)

式中，将功率值用T个离散状态功率值近似描述，矩阵C中第t行第1列元素C(t，1)=ps(t)，ps(t)为第t个状态对应的可再生能源电源输出功率离散值；矩阵C中第t行第2列元素C(t，2)=Pr{p=ps(t)}，表示风力发电机组出力等于第t个离散状态值ps(t)的概率。

矩阵C的各列元素为

(4)

(5)式中，PR为节点接入风力发电机组的总额定功率；fw(pw)为风力发电机组出力的概率分布函数，如式(2)所示。

如果节点接入N(N≥2)台风力发电机组，在假设不同的风力发电机组所处位置的风速相同，且忽略风力发电机组尾流效应和电气耗损的前提下，认为风力发电机组总额定功率为各风力发电机组功率的总和，即PR=PR1+PR2+…+PRN。假设各台风力发电机组输出功率是相互独立的随机变量，则总风电功率的概率密度函数为各台风力发电机组风电概率的卷积，即fw=fw1*fw2*…*fwN。 其中PRi和fwi分别为系统中第i台风力发电机组的输出功率和风电概率密度函数。

2　含风力发电机组的配电网无功优化模型

2.1支路潮流分析

由于闭环设计开环运行，使得配电网潮流计算具有辐射型结构。对于辐射状配电网，可以用树状图G=(N，E)来描述配电网的拓扑结构，树的边(i,j)即 i→j， 表示从节点i指向节点j的支路，节点i是节点j的父节点，树中的每个节点都只有一个父节点，一个或几个子节点，树的根节点是配电网的平衡节点。

如图2所示，对于配电网中每条支路(i，j)建立潮流分析方程[17]

Pij-∑k:(j,k)∈EPjk-Rijlij=pj

(6)

Qij-∑k:(j,k)∈EQjk-Xijlij=qj

(7)

(8)

(9)

图2　配电网中某支路Fig.2　One line of the distribution network

假设θ∶=(θi,i=1,…,n)∈(-π,π)]， θi为配电网第i个节点电压的相角。根据支路潮流式(6)～式(9)的解(Pij，Qij，lij，vi)，由式(10)计算支路(i，j)上节点i与节点j之间的电压相角差βij为

(10)

对于辐射状配电网，其网络拓扑是一个遍历树图，在根节点电压相角θ0已知的前提下，可得到各电压节点和支路电流的相角为

θi-θj=βij+2πkijkij∈N

(11)

则支路潮流式(6)～式(9)的解可获得各节点电压和支路电流的幅值，根据式(10)和式(11)便可计算出相角值，最终得到电力系统的潮流解

(12)

2.2无功优化目标函数

本文选用接入电容器作为配电网无功补偿措施，计及配电网中分布式电源出力的随机波动特性，以安装电容器所带来的经济效益为无功优化的目标函数。净现值，表示项目周期内投资方案所产生的现金净流量以资本为贴现率折现之后与原始投资额现值的差额[18]。则这里采用净现值准则来评价配电网安装补偿电容所带来的经济效益，目标函数为

(13)

式中，LC和LC′分别为未安装补偿电容和安装补偿电容的配电网有功损耗年均费用；d为折现率；L为工程周期；PC为补偿电容的投资成本。

补偿电容的投资成本为

式中，整数变量cj∈Z+为示节点j处安置电容的数量；Cp为系统中接入电容器的单价。

2.3约束条件

1)支路潮流等式约束。

(14)

(15)

(16)

(Pij,t)2+(Qij,t)2=lij,tvi,t

(17)

2)线路传输能力约束。

(18)

3)电压越限约束。

(19)

式中，Vmin、Vmax分别为节点电压的上、下限值。

4)配电网中接入电容容量限制。

0≤qgcj≤qj,maxj=1，…，n

(20)

式中，qg为备选补偿电容器的单位容量；qj，max为节点接入电容器的最大容量限制。

综上所述，含风力发电机组的配电网无功优化模型以配电网运行经济性和投资成本为优化目标，考虑配电网潮流约束、节点电压水平约束、支路电流限制、电容器接入容量限制及配电网中间歇性能源出力波动特性，实现多个电容器在配电网中最佳选址和定容。潮流计算考虑风力发电机组出力的多状态离散概率模型，是多变量、多约束、多状态的混合整数非线性优化问题(Mixed Integer Nonlinear Programming，MINP)。由于非线性优化问题的求解复杂度随问题规模的增加呈指数上升，对于节点多、线路复杂的配电网无功优化问题，采用传统内点法求解难度大且计算耗时，而采用启发式算法无法避免收敛到局部最优点。

3　基于混合整数凸规划的无功补偿电容优化配置

3.1二阶锥规划简介

二阶锥规划SOCP是凸优化的一个子集[19]，标准形式为

(21)

3.2潮流方程的二阶锥松弛

潮流方程等式约束(14)～(17)中除二次等式(17)外，其余均为线性等式组。含潮流约束的规划问题仍是非线性规划问题，模型中采用风力发电机组处理的多状态离散概率模型，计算复杂度随问题规模的增大呈指数上升。为了提高计算效率，在规划模型中将二次等式(17)松弛处理成不等式约束，即

(22)

不等式(22)等价于

(23)

则本文所提出的含风力发电机组的配电网无功优化模型的目标函数为式(13)，约束条件为式(14)～式(16)、式(23)和式(18)～式(20)。决策变量为(Pij，t，Qij，t，lij，t，vj，t，cj)，属于混合整数二阶锥规划(Mixed Integer Second Order Cone Programming，MISOCP)问题。SOCP属于凸优化，可看作是线性规划的推广，应用现代内点法求解SOCP能够在多项式时间内得到最优解[20，21]。

3.3求解混合整数二阶锥规划问题

若忽略上述模型中离散变量的离散特性，将其作为连续变量处理，则通过内点法可以求得离散变量的非整数解；然后通过就近归整的方式把离散变量锁定在某个整数解上，重新计算后，其他变量的解也可以被确定。但这种处理方式可能使得所求解不是原问题真正数学意义上的最优解。

目前，求解整数规划问题的有效方法之一是分支定界法，同样先对原问题进行连续松弛处理，即将离散变量看作连续变量，在求得松弛问题的最优解后，将未达到整数值的离散变量进行二分法分支处理，即连续松弛问题最优解中某离散变量xr的值xxr不是整数，则添加两个新约束xr≥[xxr]+1和xr≤[xxr](其中[xxr]表示xxr的整数部分)，将连续松弛问题分为两个优化问题分别进行求解，直到最优解中离散变量xr是整数解为止。通常利用算法包MOSEK求解MISOCP问题采用的就是分支定界法，此类方法的缺点是随着问题规模的增大会增加问题求解复杂度，用于解决混合整数二阶锥规划问题，无法达到采用分支定界法处理混合整数线性规划问题的算法效率。

文献[22]中提出了“ε-松弛”方法，对凸二阶锥进行多面体近似描述，将二阶锥规划问题转换为线性规划问题进行求解。假设三维二阶锥为

(24)

任意给定足够小的ε，式(24)的“ε-松弛”

(25)

则式(25)可近似等价于关于变量(x1，x2，x3)和 2(ζ+1)个变量(αi，βi)的线性等式组和线性不等式组，其中i=0，1，…，ζ。

(26)

(27)

(28)

(29)

αζ≤x3

(30)

(31)

可以看出，式(26)～式(31)给出的多面体近似中，式(28)给出了αi(i=1，…，ζ)关于α0和βi-1(i=1，…，ζ)的表达式，若将其分别代入式(26)、式(27)、式(29)～式(31)中便可以消除ζ个等式组和ζ个变量αi(i=1，…，ζ)。

因此，不等式(24)的多面体“ε-松弛”是指，对于任意给定足够小的ε，优化问题中关于变量(x1，x2，x3)的三维二阶锥约束可以近似等价于一组关于变量x1、x2、x3、α0和(ζ+1)个变量βi(i=1，…，ζ)的线性不等式约束，二阶锥规划问题便可以转换为线性规划问题。由一组线性约束来近似描述。

根据所选取的参数ζ，由式(32)、式(33)可计算出松弛变量ε，即

(32)

ε=(1+ε′)2-1

(33)

松弛变量ε越小，则对二阶锥进行多面体近似描述的准确度越高。文献[23]中令ζ=11，根据式(32)、式(33)可计算得ε≈6×10-7，并给出了线性规划问题与原凸二阶锥规划问题的近似等价性证明。

本文所提出的规划模型中，可以将式(23)所示的凸二阶锥约束拆成两个三维二阶锥

分别对两个三维二阶锥约束进行如上所述的多面体“ε-松弛”处理，用一组线性不等式组近似描述二阶锥，则本文所提出的含风力发电机组的配电网无功优化模型可以转换为混合整数线性规划问题(Mixed Integer Linear Programming，MILP)进行求解。适用于MILP问题的求解器有很多(可以利用CPLEX、Burobi、MOSEK等)，且解决大规模优化问题的速度很快。

4　算例分析

分别采用33节点和69节点配电网系统对本文所提出的算法进行仿真实验，配电网的节点数据和相关支路参数详见文献[24]。33节点配电网基准电压为12.66 kV，基准容量为10 MV·A，总有功负荷为3.72 MW，总无功负荷为2.29 MW；69节点配电网基准电压为12.66 kV，基准容量为10 MV·A，总有功负荷为 3.80 MW，总无功负荷为2.69 MW。其中33节点配电网只考虑单点接入风力发电机组的情况，即在第32节点接入两台500 kW风力发电机组。69节点配电网考虑多点接入风力发电机组的情况，即分别在第12节点、21节点和61节点各接入一台500 kW风力发电机组。

33节点系统中安装无功补偿电容器备选节点集合为{9、14、23、29}，69节点系统中安装无功补偿电容器备选节点集合为{12、20、27、42、50、54}，单组电容器容量均为50 kvar，单组价格为2 080元，各系统中各处可投切电容器最多为30组。工程周期L为10年，折现率d=9.0%，电能价格σE=0.538元/kW·h。

本文利用Matlab2010b建立含风力发电机组配电网的数学模型，配电网的无功优化问题可以通过Matlab调用MOSEK7.0求解器来求取如第3节所述的混合整数二阶锥规划模型或混合整数线性规划模型求得无功电容器的最优配置。

当地安装的风力发电机组性能参数为：PR=500 kW，vin=3 m/s，vrated=10.5 m/s，vout=30 m/s，η=0.04。统计风力发电机组安装处的风速数据，可得当地风速韦布尔分布函数参数为c=7.033 2，k=2.619 4。根据式(2)可以计算当地风力发电机组出力的概率密度函数fw()，如图3中曲线所示。将风力发电机出力划分成11个离散功率状态值(T=11)，可得矩阵C的第1列元素为C(：，1)=(0；0.1(pu)；0.2(pu)；…；0.9(pu)；1(pu))，其中1(pu)=PR。将fw()代入到式(5)中计算11个离散功率状态值的概率，可得矩阵C的第2列元素为C(∶，2)，风电离散状态概率模型如表1所示。

图3　风力发电机组出力的概率密度函数Fig.3　The PDF of wind turbine’s output power表1　风电离散状态概率模型Tab.1　The discrete probability model of wind power

状态tC(t,1)(pu)C(t,2)100.101820.10.148930.20.144140.30.127850.40.107760.50.087870.60.069680.70.054090.80.0411100.90.0308111.00.0864

首先，为了验证潮流方程二阶锥松弛的准确性，假设系统中接入零电容，即令qj，max=0，已知配电网接入的风力发电机组容量和节点负荷功率。利用本文提出的二阶锥优化算法计算配电网潮流，并将其结果与传统牛顿拉夫逊算法的潮流计算结果进行比较，如表2所示。

表2　潮流二阶凸优化计算结果Tab.2　Results of the conic optimal power flow

表2中的第5列和第4列分别为求解器MOSEK7.0利用原-对偶内点法求得二阶锥规划问题最优解所需要的迭代次数和时间，可以看出在不到0.3 s的时间便可求得配电网的潮流解，将非线性潮流方程转换为二阶锥规划问题进行求解提高了算法效率。第3列为二阶锥规划求得的各节点电压幅值与传统牛顿拉夫逊算法潮流计算的节点电压幅值的最大误差，可见误差分别为3.47×10-6(33节点配电网)和1.93×10-5(69节点配电网)，则潮流方程的二阶锥松弛算法具有解的保真性。

其次，采取如下3种方案验证结果：①对潮流方程二阶锥松弛处理后，将离散变量看作连续变量，调用MOSEK7.0求解SCOP的最优解，然后就近归整把离散变量锁定在某个整数解上；②用本文所提出的无功优化MISCOP模型，并调用MOSEK7.0求解器利用分支定界法求解MISCOP的最优解；③采用多面体近似描述凸二阶锥算法，用本文提出的无功优化MILP模型，调用MOSEK7.0求解器得到MILP的最优解。

按照如上3种方案，对33节点系统和69节点系统分别进行无功优化后，系统的有功损耗结果如表3所示，可见通过接入无功补偿电容的优化配置可以有效减少配电系统的有功损耗，并且方案②和方案③的配置结果明显优于方案①。

表3　基于不同方法无功优化后功率损耗结果比较Tab.3　Comparison of power losses using different reactive power optimization method

对于单点接入风力发电机组的33节点系统，表4列出了3种方案的计算时间、补偿电容接入后带来的经济效益及补偿电容最优配置结果。不考虑补偿电容的情况下，33节点系统的有功损耗期望均值为141.77 kW，采用方案①得到系统在节点9接入100 kvar电容、节点14接入250 kvar电容、节点23接入400 kvar电容及节点29接入900 kvar电容后，可以将系统有功损耗降至79.46 kW，虽然补偿电容会有前期的投资成本，但由于降低了有功损耗，在10年的工程周期中会带来1 815 865元的经济效益。采用方案②和方案③得到的无功补偿电容配置结果是一样的，即分别在节点9接入200 kvar电容、节点14接入250 kvar电容、节点23接入550 kvar电容及节点29接入1 Mvar电容，系统的有功损耗降至77.8 kW，考虑10年的工程周期安装补偿电容带来1 851 666元的经济效益。

表4　33节点系统的规划结果Tab.4　Parameters in calculation of 33-bus system

对于多点接入风力发电机组的69节点系统，表5列出了3种方案的计算时间、补偿电容接入后带来的经济效益及补偿电容最优配置结果。不考虑补偿电容的情况下，69节点系统的有功损耗期望均值为160.32 kW，采用方案①得到系统在节点12接入200 kvar电容、节点20接入150 kvar电容、节点50接入250 kvar电容及节点61接入1 050 kvar电容后，可以将系统有功损耗降至83.47 kW，虽然补偿电容会有前期的投资成本，但由于降低了有功损耗，在10年的工程周期中会带来95 073元的经济效益。采用方案②和方案③得到的无功补偿电容配置结果是一样的，即分别在节点12接入250 kvar电容、节点20接入250 kvar电容、节点42接入50 kvar电容、节点50接入250 kvar电容及节点61接入1 450 kvar电容，系统的有功损耗降至82.06 kW，考虑10年的工程周期安装补偿电容带来1 036 050元的经济效益。

表5　69节点系统的规划结果Tab.5　Parameters in calculation of 69-bus system

图4和图5分别为33节点和69节点配电网各节点在无功优化前后的节点电压水平，可以看出，无论是单点还是多点接入风力发电机组的配电网，本文算法所得到的补偿电容器优化配置方案均提高了配电网的电压水平，在电容器安装节点的电压改善情况尤为明显。

图4　基于MISCOP算法对33节点系统无功优化后 节点电压情况比较Fig.4　Comparison of voltage profile in 33-bus system using reactive power optimization based MISCOP

图5　基于MISCOP算法对69节点系统无功优化后 节点电压情况比较Fig.5　Comparison of voltage profile in 69-bus system using reactive power optimization based MISCOP

显然方案②和方案③得到系统无功电容配置方案优于方案①的结果。但由于方案①不涉及离散变量，所以计算时间更短，而方案②利用MOSEK求解器基于分支定界的方法计算MISCOP问题，计算时间稍长。方案③对二阶锥进行多面体近似，用MILP解决系统无功优化问题时，计算时间有所提高，且在节点多的大规模系统中，方案③的计算效率优势更能显现。而目前开发出的适用于解决MILP问题的求解器比解决MISCOP问题的求解器更多，使得MILP问题的解决更方便。

针对未来配电网含风、光等多种分布式电源的情况，假设某节点分布式电源包含风力发电机组和光伏发电系统，则该点电源的发电功率为风电出力pw和光伏出力ps之和，即p=pw+ps。若已知光伏电源输出功率的概率密度函数fs(ps)，为简单起见，不考虑风速和太阳光辐射的相关性，则该点电源出力的概率密度函数等于风、光发电系统出力概率密度函数的卷积，即fG(p)=fw(pw)*fs(ps)。将其代入式(4)、式(5)中，计算多状态概率模型，得到描述间歇性能源出力随机性的矩阵C。则基于本文提出的无功优化模型和算法，亦能够得到有效的补偿电容器配置方案。在后续的研究工作中，将进一步分析太阳能与风能的相关性，研究光伏电源出力的随机特性，将本文所提出的算法推广到适合于含光伏电源、风力发电机组等多种类型分布式电源的配电网无功优化中。

5　结论

由于间歇性能源接入配电网会引起电压的波动，为了保证配电网安全稳定运行及减少电网网损，本文提出了一种计及风力发电机组出力随机波动性的配电网无功优化算法，对无功补偿电容在配电网中的安装位置和容量进行优化配置。采用净现值准则评价配电网安装补偿电容所带来的经济效益，并以该经济效益最大为优化的目标函数。节点接入风力发电机组的发电功率用多状态离散概率模型来描述，考虑二阶锥松弛的潮流方程约束，将无功优化问题转换为混合整数二阶锥优化问题，通过Matlab调用MOSEK7.0求解器便可以求得混合整数二阶锥优化问题的最优解。为了使问题能够借助更通用的求解器来计算最优解，基于二阶锥的凸多面体近似等价方法，利用混合整数线性规划算法求解配电网无功优化问题。在含单点接入风力发电机组的33节点配电网和多点接入风力发电机组的69节点配电网上分别对所提方法进行验证，仿真结果表明，该算法计算效率高，且能够得到计及风电随机波动影响的无功补偿电容最优配置方案。

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A Mixed Integer Convex Programming for Optimal Reactive Power Compensation in Distribution System with Wind Turbines

Li Jing1Dai Wenzhan1Wei Wei2

(1.School of Information and Electronic EngineeringZhejiang Gongshang University Hangzhou310018China 2.College of Electrical EngineeringZhejiang UniversityHangzhou310027China)

A novel mixed integer convex programming for optimal location and sizing of capacitors in the distribution network with wind turbines is proposed in this paper.Considering the intermittent nature of wind power，the power generated by the wind turbines is represented by the multi-states discrete probability model.The location and size of the compensating capacitors in the distribution network containing wind turbines is aimed to maximize the economic benefits considering the conic relaxed power flow constraints and the voltage limit constraints.In addition，based on the tight polyhedral representation of the conic constraints，it is suitable to transfer the problem into a mixed integer linear programming problem and use more widely available software to find the optimal solution.Numerical results on the test networks including distributed wind turbines show that the proposed mixed-integer convex optimization is an effective tool for the size and location of capacitors considering the stochastic turbulence of wind powers.

Distribution electrical network，optimal power flow，conic programming，reactive power optimization

2015-03-14改稿日期2015-05-03

TM315

李静女，1983年生，博士，讲师，研究方向为智能计算方法、电力系统规划与可靠性。

E-mail：eejing@zjgsu.edu.cn(通信作者)

戴文战男，1958年生，教授，博士生导师，研究方向为灰色系统建模和多目标决策优化等。

E-mail：dwz@zjgsu.edu.cn

国家高技术研究发展(863)计划(2014AA052001)、国家自然科学基金(61374022，51377142)、浙江省自然科学基金(LQ15F030001)、浙江省海洋可再生能源电气装备与系统技术研究重点实验室开放基金资助项目。