控制增益对永磁同步电动机自抗扰控制性能的影响

左月飞　李明辉　张　捷　刘　闯　张　涛

(1.南京航空航天大学自动化学院　南京　210016 2.中国人民解放军空军西安航空四站装备修理厂　西安　710077)



控制增益对永磁同步电动机自抗扰控制性能的影响

左月飞1李明辉2张捷1刘闯1张涛1

(1.南京航空航天大学自动化学院南京210016 2.中国人民解放军空军西安航空四站装备修理厂西安710077)

在永磁同步电动机自抗扰控制系统中，当系统的实际控制增益已知时，采用实际控制增益的控制器可获得良好的控制性能，但当系统的实际控制增益未知时，采用估计控制增益的控制器会对系统性能产生影响。将估计控制增益与实际控制增益的比值定义为增益比，分析了它对闭环系统的阶跃响应、抑制噪声性能、抗扰性能以及对连续变化输入的跟踪性能的影响。理论分析表明：增益比越大，则系统阶跃响应的上升时间越短，抑制噪声的效果越好，但抗扰性能越差；增益比越接近于1，系统对连续变化输入的跟踪性能越好。仿真和实验验证了理论分析的正确性。

永磁同步电动机自抗扰控制控制增益跟踪噪声抗扰连续变化输入

0　引言

永磁同步电动机(Permanent Magnet Synchrounous Motor，PMSM)以其高功率/重量比、高转矩/惯量比、高效率以及具有一定鲁棒性等优点逐渐取代直流电动机和其他电励磁的电动机，被广泛应用于工业调速系统中。传统的PMSM调速系统大多采用双环线性控制结构，内环为电流环，外环为转速环，多采用PI控制器。而PMSM是一典型的非线性、多变量耦合系统，传统的线性PI控制难以满足高性能的要求。

随着永磁同步电动机非线性控制理论的发展，多种先进的复杂控制策略(如自适应控制[1，2]、模糊控制[3，4]、滑模变结构控制[5，6]等)被应用于调速系统中。尽管这些方法最终都能抑制扰动，但其依靠反馈控制，动态过程非常缓慢。一种有效提高扰动抑制效果的方法是通过扰动观测器(Disturbance Observer，DOB)对扰动进行观测，并前馈补偿，这一思路最先由日本学者K.Ohnishi[7]提出。顺着这一思路，众多基于DOB的控制方法相继得到应用[8-10]。与DOB具有相同功能的另一种观测器为扩张状态观测器(Extended State Observer，ESO)，它将内部扰动和外部扰动一起作为集总扰动，并将其扩张成一个新的状态，因此此状态观测器比常规的状态观测器要多一个状态。ESO可同时对状态和扰动进行观测。基于ESO观测的扰动进行前馈补偿的控制方法被称为自抗扰控制(Active Disturbance Rejection Control，ADRC)[11]，该方法已在工业控制领域的众多应用场合得到了应用(如工业机器人[12]、功率变换[13]、PMSM控制等[14-16])。

在PMSM转速一阶ADRC系统中，控制增益为转矩常数与转动惯量的比值[17]。当系统的实际控制增益已知时，采用实际控制增益的控制器可保证系统获得良好的控制性能。但当系统的实际控制增益未知时，如转矩常数或转动惯量产生变化时，采用估计控制增益的控制器将很难保证系统具有良好的控制性能[18，19]。目前，分析控制增益对系统性能影响的文献很少。文献[11]通过仿真说明了自抗扰控制器可使系统在实际控制增益小范围变化时仍具有良好的控制性能。文献[19]只定性分析了实际转动惯量增大对系统阶跃响应的影响，对于转动惯量减小对系统的影响并未分析，也未定量分析转动惯量对系统的影响。

本文针对PMSM转速一阶ADRC系统，将控制器中的估计控制增益与系统的实际控制增益的比值定义为增益比，分析了它对闭环系统的阶跃响应、抑制噪声性能、抗扰性能以及对连续变化输入的跟踪性能的影响，为控制器的参数整定提供了理论基础。最后，通过仿真和实验验证了理论分析的正确性。

1　转速环自抗扰控制器设计

1.1PMSM转速环的数学模型

本文研究的是表贴式永磁同步电动机，则其在转子磁场定向的同步旋转坐标系(d-q坐标系)下的机械运动方程为

(1)

式中，J为系统的转动惯量，kg·m2；B为系统的粘滞摩擦系数，N·m·s/rad；TL为负载转矩，N·m；Ω为机械角速度，rad/s；Kt为转矩常数，N·m/A_peak；iq为交轴电流，A_peak。

采用直轴电流为零，即id*=0的矢量控制方式。

由式(1)可得机械角速度状态方程为

(2)

(3)

1.2反馈控制律设计

如果系统实际控制增益的大小未知，可将其假设为best，即假设系统的状态方程为

(4)

定义角速度跟踪误差es=Ω*-x1，则跟踪误差状态方程为

(5)

采用线性比例反馈控制律，即

(6)

式中，kps为控制器的比例系数。

结合式(5)和式(6)可得系统控制量为

(7)

式(7)中的实际状态x1和x2未知，可通过传感器测量或用观测器对其进行观测。

1.3二阶线性ESO的设计

对式(3)构建二阶线性ESO为

(8)

式中，z1、z2分别为x1(角速度)、x2(扰动项)的观测值；e1为ESO对x1的观测误差；β1和β2为观测器系数。

将式(8)与式(3)相减可得

(9)

式中，ESO的特征多项式为λ(s)=s2+β1s+β2，令其为理想的特征多项式(s+p)2，则β1=2p、β2=p2，-p为ESO的闭环极点，p也可称为观测器带宽。

由式(8)、式(9)可得状态x1、x2的估计量为

(10)

从式(10)可看出，z1近似为x1滤波后的值，通常可认为z1≈x1，对于测量噪声较大的系统，用z1代替x1作为反馈可显著减小系统的噪声；z2是x2经二阶低通滤波后的信号，通常可认为z2≈x2。

将式(7)中的x1、x2分别用z1、z2代替，可得控制量为

(11)

限幅后的实际控制量为

(12)

综上可得转速环一阶自抗扰控制器的结构框图如图1所示。

图1　转速环一阶自抗扰控制器Fig.1　First-order ADRC controller of speedloop

1.4系统响应

为分析方便，以下分析过程中忽略电流跟踪误差和电流限幅的影响。

由式(10)、式(11)可得

(13)

(14)

定义增益比c=best/b，由式(3)、式(13)得系统在给定Ω*(s)和扰动x2(s)作用下的传递函数分别为

(15)

式中，Γ为闭环系统的特征多项式，Γ=cs3+c(β1+kps)s2+(β2+β1kps)s+β2kps。

2　增益比c对系统性能的影响

2.1增益比c对阶跃响应的影响

当系统输入为阶跃信号时，输入的微分为脉冲信号，输入微分前馈几乎不起作用，因此系数在给定Ω*(s)作用下的闭环传递函数可近似为

(16)

由式(16)可看出，系统的闭环零点与ESO的闭环极点相同，通常离虚轴较远，闭环系统的极点为特征方程Γ=0的根。将闭环系统特征方程改写为

(17)

取p=500、kps=36，则式(17)代表的以c为参数的根轨迹如图2所示。

图2　系统在c变化时的根轨迹Fig.2　Root locus of the system when c varying

容易证明，闭环系统特征方程Γ=0不存在共轭复根的条件是1≤c≤cm。其中，cm的计算公式为

(18)

当p=500、kps=36时，cm=2.34。

由图2可得出以下结论：

1)当c>cm时，闭环系统的特性方程有一对离虚轴较近的共轭复根，还有一个离虚轴较远的实根，阶跃响应存在超调，且超调量随c的增大而增大。

2)当1≤c≤cm时，闭环系统的特征方程具有3个实根，阶跃响应不存在超调，c越大，则闭环系统的主导极点离虚轴越远，系统响应速度越快。

3)当0

2.2增益比c对抗扰性能的影响

由式(15)可得系统在扰动x2(s)作用下的传递函数为

(19)

当p=500、kps=36时，式(19)表示的闭环传递函数的幅频特性曲线和相频特性曲线如图3所示。

图3　抗扰传递函数的波特图Fig.3　Bode diagram of disturbance rejecting transfer function

由式(19)可看出，扰动作用下的转速变化量与扰动变化率及c呈正比。由图3可看出，增益比c越小，则抗扰系统的低频增益越小，但中频增益有所增大。即c越小，系统的抗低频扰动性能越好，但有可能导致系统产生共振(共振频率为中高频)。

2.3增益比c对跟踪连续变化输入性能的影响

以正弦给定为例，输入的微分为余弦，此时输入微分前馈能够起作用，因此系统在给定Ω*(s)作用下的闭环传递函数为

(20)

当p=500、kps=36时，式(20)表示的闭环传递函数的幅频特性曲线和相频特性曲线如图4所示。由图4可看出：

1)当c<1时，系统输出的相位超前于输入，低频下的系统输出幅值小于输入，而中高频下的系统输出幅值大于输入。

2)当c=1时，系统输出能够完全跟踪输入。

3)当c>1时，系统输出的相位滞后于输入，低频下的系统输出幅值大于输入，而中高频下的系统输出幅值则小于输入。

图4　跟踪传递函数的波特图Fig.4　Bode diagram of the tracking transfer function

由以上分析结果可知，c减小会导致系统的高频成分增加，与通过根轨迹分析系统阶跃响应所得到的结果一致。另外，当c未知时，可利用c=1时的系统对连续变化输入跟踪较好这一特性，通过实验得到近似的系统实际控制增益。

综上，从系统的阶跃响应考虑，则希望c在满足c≤c1的条件下尽量大；从抗扰性能考虑，则希望c尽量小；从对连续变化输入的跟踪性能考虑，则希望c=1，即希望估计的控制增益等于实际控制增益。

3　仿真分析与实验验证

为进一步验证理论分析的正确性，本文对永磁同步电动机调速系统进行了仿真和实验，仿真和实验中所用的PMSM参数如表1所示。

表1　电动机参数Tab.1　Motor parameters

永磁同步电动机调速系统的实验平台采用基于dSPACE实时仿真系统DS1103，利用快速原型法通过Simulink自动完成代码的生成与下载。实验中的逆变器开关频率为10 kHz，通过PWM中断触发电流采样和占空比的更新。系统的硬件结构框图和实验平台分别如图5和图6所示。

图5　系统硬件结构框图Fig.5　System hardware block diagram

图6　实验平台Fig.6　Experiment platform

转速环和电流环采样周期以及系统的计算步长均为0.1 ms。为便于分析，对系统参数进行了标幺化，选取转速基值nbase=3 000 r·min-1。控制器参数设置为：kps=36、p=500，设置c分别为0.5、1.0和4.7。两个电流环中的PI控制器参数设置为kpi=0.1，kii=500。如无特别说明，实验中其余参数均与仿真中的相同。

3.1验证增益比c对阶跃响应的影响

在t=0.1 s时，转速给定由0 r·min-1阶跃变化至800 r·min-1，仿真波形和实验波形分别如图7所示。由实验波形可看出，c越大，系统阶跃响应的上升时间越短，系统高频噪声越小，其中的电流噪声是由转速计算存在噪声导致的。当c=4.7(大于2.34)时，阶跃响应存在超调；当c=1.0时，阶跃响应的超调消失；当c=0.5时，阶跃响应同样不存在超调，但iq中的噪声较大。以上仿真和实验结果均与理论分析结果一致，验证了理论分析的正确性。

图7　空载起动时的动态响应Fig.7　Dynamic response when start without load

3.2验证增益比c对抗扰性能的影响

图8　仿真和实验所用的负载曲线Fig.8　Load curve used in simulation and experiment

图9　不同c下负载扰动时的动态响应Fig.9　Dynamic response under the effect of load disturbance表2　负载扰动作用下的转速变化量Tab.2　Speed variation under the effect of load disturbance

转速变化量Δn/(r·min-1)c=0.5c=1.0c=4.7加载时理论Δn1.63.214.9加载时仿真Δn1.63.214.8加载时实验Δn-13-26-126卸载时理论Δn7.915.874.3卸载时仿真Δn6.813.870.0卸载时实验Δn2252216

由表2可看出，加载时的转速变化量与理论计算值一致，与c呈正比。在未考虑电流跟踪误差的影响时，转速变化量理论上与扰动变化率呈正比，即卸载时的转速变化量应是加载时的-5倍。由于卸载时负载变化较快，负载变化率为一窄脉冲，转速响应并未达到稳态，因此转速变化量比理论值小。由于实验中ESO的带宽p比仿真中的值小，ESO对扰动的观测速度变慢，转速变化量比仿真结果大，但c越小时系统抗扰性能越强的结论仍然正确，验证了理论分析的正确性。

3.3验证增益比c对跟踪时变输入性能的影响

分别给定500 r·min-1/5 Hz和200 r·min-1/15 Hz的正弦型转速，仿真波形和实验波形分别如图10所示，仿真与实验数据如表3所示。

图10　跟踪正弦给定时的动态响应Fig.10　Dynamic response of tracking sine reference

由图10可看出，在500 r·min-1/5 Hz的正弦输入下，当c=0.5时，系统输出的幅值小于给定，且相位超前于给定；当c=4.7时，系统输出的幅值大于给定，且相位滞后于给定；c=1.0时的系统跟踪效果最好。在200 r·min-1/15 Hz的正弦输入下，当c=0.5时，系统输出的幅值大于给定，且相位超前于给定；当c=4.7时，系统输出的幅值小于给定，且相位滞后于给定；c=1.0时的系统跟踪效果最好。由图10和表3可看出，仿真结果和实验结果均与理论分析结果一致，证明了理论分析的正确性。

表3　不同c时跟踪正弦输入下的动态响应Tab.3　Dynamic response of tracking sine reference with different parameter c

4　结论

本文将自抗扰控制器的估计控制增益与系统的实际控制增益的比值定义为增益比c，通过传递函数分析了它对系统的阶跃响应、抗扰性能以及跟踪时变输入性能的影响。分析结果表明，从系统的阶跃响应考虑，则希望c在满足c≤cm的条件下尽量大；从抗扰性能考虑，则希望c尽量小；从对连续变化输入的跟踪性能考虑，则希望c=1。在实际系统中，可根据具体的性能要求适当调节c。当c未知时，可利用c=1时的系统对时变输入跟踪较好这一特性，通过实验得到系统的近似控制增益。通过仿真和实验验证了理论分析的正确性。

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Influence of Control Gain on Active Disturbance Rejection Controller for PMSM

Zuo Yuefei1Li Minghui2Zhang Jie1Liu Chuang1Zhang Tao1

(1.College of AutomationNanjing University of Aeronautics and AstronauticsNanjing210016China 2.The Fourth Aerospace Station of the Chinese People’s Liberation Army Air ForceXi’an710077China)

In the active disturbance rejection control (ADRC) system for the permanent magnet synchronous motor (PMSM)，a good control performance can be gotten when the control gain is known.An estimated control gain，used in the ADRC controller when the control gain of the system is unknown，will affect the control performance.In this paper，the ratio between the estimated control gain and the real control gain is defined as the control gain ratio，whose effects on the step response，the noise immunity，the ability of rejecting disturbance，and the performance of continuously tracking the varying input is also analyzed.Theoretically analysis indicates that the shorter rising time of the step response and the better noise immunity while the worse disturbance rejection ability will be acquired with higher control gain ratio.Meanwhile，the advanced tracking performance will be achieved when the ratio approaches one.The Extensive simulation and experiment tests are performed to verify these conclusions.

Permanent magnet synchronous motor (PMSM)，active disturbance rejection control (ADRC)，control gain，tracking，noise，disturbance rejection，continuously varying input

2015-01-16改稿日期2015-11-25

TM351

左月飞男，1989年生，博士研究生，研究方向为永磁电机控制。

E-mail：zuo@nuaa.edu.cn(通信作者)

李明辉男，1975年生，中级工程师，研究方向为机电系统控制。

E-mail：13310988686@189.cn

国家自然科学基金(51377076)、江苏省“六大人才高峰”项目(YPC13013)和江苏省产学研资金(BY2014003-09)资助。