求和问题， 数列教学的 “重头戏”

瞿丽娟

摘 要： 数列求和问题是高考重要考点，数列求和有多种方法，要让学生分清每种求和方法适用的题目类型。本文主要从公式求和、整体求和、分项求和等几大方面入手，通过实例介绍每种求和方法的具体应用，让学生灵活掌握多种数列求和方法。

关键词： 数列求和 公式求和 分项求和

数列是高中代数的重要内容，同时数列求和问题是高考的重要考点。近几年高考中数列求和问题的出题形式越来越灵活，且很有可能结合导数相关知识让学生进行不等式证明，作为整张试卷的压轴题，这种题目的难度不言而喻。尽管数列求和有很多种方法，有些学生可能觉得无从下手，但是只要分清每种求和方法的适用题目类型，那么数列求和这个难题便会很快被攻克，下面我将对数列求和方法进行总结。

一、公式求和，熟练记忆

等差数列和等比数列这两类是两种最基本数列，其他一些较复杂的数列往往是在这两种数列基础上变形、转化得来的，所以说掌握这两种数列求和方法是学好数列求和基本条件。

这两种数列的求和都有固定的公式，并不需要学生耗费太多精力。如等差数列的求和公式：Sn= =a n+ n（n-1）d。等比数列的求和公式：Sn= （q≠1）。除此之外，数列求和还有其他固定公式，如Sn=1+2+3+…n= n（n+1），Sn=1 +2 +3 +…n = n（n+1）（2n+1），Sn=1 +2 +3 +…n =[ n（n+1）] 。这些公式都是学生进行复杂数列求和的基础，所以一定要熟练记忆。

对于有些题目来说，可能题干中并没有明确指出数列类型，但是经过对数列的深入分析后便可以得出该数列等差数列或是等比数列这样的结论，就可以套用公式求和。所以我们要引导学生在做题过程中仔细思考、沉着应对，努力使题目向所学知识靠拢。

二、整体求和，分清类型

对数列进行求和时，有些数列既不是等差数列又不是等比数列，无法用公式求和，这时就需要学生采用其他方法求和。有些数列通过对数列整体进行变形和运算巧妙求出数列的和，如数列求和中的错位相减法和倒序相加法就运用这种思想。

错位相减求和适用于通项公式为等差数列乘以等比数列的形式：如“a =3n-1，b =2 ，c =a b ，求c 的前n项和Tn”。仔细观察之后不难发现，a 为等差数列，b 为等比数列，c 为等差数列与等比数列的积，所以这道题毫无疑义要用错位相减法。需要让学生写出Tn的展开式，然后写出2Tn的展开式，两式相减可得-Tn的展开式，而这时-Tn的和正好可以用等比数列的求和公式，就可以得到Tn=8+（3n-4）2 。而对于倒序相加法来说，有着很广的应用范围，如可以用来推导等差数列的求和公式：Sn=a +a +a +…a ，Sn=a +a +a +…a ，因此将二者相加可得2Sn=（a +a ）n，则Sn= 。这种求和适用于第k项与第（n+1-k）项的和为定值的情况。

因此，需要让学生分清整体求和中每种方法适用的题目类型。有效引导学生做题时仔细观察题干中数列的特点，争取将每种类型典型例题和解题思路都铭记于心，这样做起题目来才会得心应手。

三、分项求和，对症下药

这里所说的分项求和有两重含义，一个是将每项拆分成多项求和，这种思路对应的是裂项相消求和法。而另一种则是将数列中所有项的同一类型的项分为一类，这种思路对应的则是分组求和法。

对于裂项相消求和法，针对不同项往往会有不同裂项方法，下面我总结了一些比较常见的裂项方式： = - ， = （ - ）， = （ - ），那么裂项之后又是如何求和的呢？通过观察可以发现，裂项之后的每一项的减数部分与其下一项的被减数部分正好相同，所以相加之后两者相消，这样的话中间相都被消去，只需用首项和末项的剩余部分进行求解即可。而分组求和这种方法则相对来说比较简单，通过对数列进行观察将数列中同类型的数归为一组，然后分别求和即可，如对于数列“Sn=0.9+0.99+0.999+…0.9…9（n个9）”的求和，可以让学生将0.9拆分成1-0.1，将0.09拆分成1-0.01并以此类推，该数列最后就可以变形成一个全1数列的和与一个等比数列的差，这道题解答时充分利用分组求和思想。

总之，要让学生充分掌握分组求和要领，仔细区分每一种方法对应的数列特点，然后对症下药，确保每种方法的应用过程都了然于胸，这样学生做题时才能心中有数、万无一失。

四、其他求和，活学活用

除了以上这些数列求和方法之外，还有一种比较常用的方法就是构造求和法。这种方法应用得十分广泛，出题方式灵活多变，更需要灵活掌握。

构造求和法的出题形式一般都是给出一个递推公式，学生刚接触可能觉得和之前介绍的哪种方法都靠不上，因此可能感觉有些力不从心。其实，这种类型的题目并不难做，需要让学生依据题干给出的关系式进行变形和构造，争取将其改造成我们熟悉的等差和等比数列，这样就可以选择套用公式进行求解。比如：“数列a 中a =1，a =0.5a +1（n>1），求Sn。”通过对a =0.5a +1进行变形可得a -2=0.5（a -2），这样将（a -2）构造成了一个等比数列，根据公式可以求出a 的通项，进而求出Sn。这种方法的出题方式非常灵活，很难像之前介绍的那些方法一样有固定的解题套路，那么我们能做的就只有掌握好最基础的部分，以不变应万变。

此外，还有一些数列求和方法如导数求和法、数学归纳法及通项分析法等，由于其并不太常见因此这里不再详细介绍，但前面提到的构造法是需要学生重点掌握的，教学中要有意识地让学生对此方法多加练习，争取做题时将该方法应用得炉火纯青。

总之，数列求和问题是高中教学的一大重点也是一大难点，要让学生们克服畏难情绪，认真分析每一种求和方法适用的题目类型，然后做题时针对数列的具体特点选择合适的方法求解。相信在老师和学生的共同努力下，数列求和这个难关一定会被攻克，数列求和这个“重头戏”一定会被唱得异常精彩。

参考文献：

[1]王建文.数列求和方法总结[J].新校园，2011（01）.

[2]付伟.数列求和问题的研究[J].中国校外教育，2012（04）.