多元函数中值定理推论的一个简化证明

张　冕， 刘庆丰

（阜阳师范学院 a.数学与统计学院；b.附属中学，安徽 阜阳 236037）

多元函数中值定理推论的一个简化证明

张冕a， 刘庆丰b

（阜阳师范学院 a.数学与统计学院；b.附属中学，安徽 阜阳 236037）

利用方向导数的性质，对相关问题尝试进行综合分析，给出二元函数中值定理推论的一个简化的证明方法，并将其推广到多元函数的情形，同时提出教学建议。

方向导数；中值定理；推论；常值函数

函数中值定理是函数微分学中重要的内容之一。利用一元函数的中值定理的结论，我们可以得到一个重要的推论，即若 f'（x）=0，x∈I，则 f（x）在I上为常值函数。同样，在二元函数微分学中，也有类似的结论。即：

若函数 f（x，y）在区域D⊂R2上的偏导数恒为零，那么它在D上必是常值函数。

目前，在一些数学分析教材中，都给出了关于此命题的证明，但这些证明除了运用二元函数的中值定理的结论之外，还需要用到有限覆盖定理的知识，证明过程相对复杂，学生也不易理解和接受。笔者在进行这一部分内容的教学中，对教材中基本定理，包括课后习题的相关问题进行综合分析，提出了一个与传统证明方法完全不同的简单证明方法，优化了相关课程内容的教学，提高了教学效率，同时让学生从中感受到数学创新的乐趣，从而提高学生的学习能力。

1　中值定理推论的简化证明及教学研究

1.1两个引理

为了使学生更加清晰的理解和掌握定理的证明，我们首先证明如下两个引理。

引理1设函数 f（x，y）可微，l是R2上一个确定的向量。若处处有 fl（x，y）≡0，则函数 f在任一平行于l的直线上恒为常数。

证明 设l=（cos α，cos β），（x0，y0）为任一固定点。考察函数

g（t）=f（x0+tcos α，y0+tcos β），t∈R，

则g（t）可微，且

可知g（t）恒为常数，即

f（x0+tcos α，y0+tcos β）=f（x0，y0），

从而函数 f在任一平行于l的直线上恒为常数。

（证毕）

引理2设函数 f（x，y）可微，l1与l2是R2上一组线性无关向量.若fli（x，y）≡0（i=1，2），则f（x，y）≡常数。

证明 不妨设l1与l2为单位向量，则由条件知fli=grad f·li≡0，i=1，2。

且因l1与l2线性无关，故对任意单位向量l∈R2，存在不全为零的常数bi，i=1，2，使得

l=b1l1+b2l2，

从而，对任意单位向量l，有

由引理1知，f（x，y）在任意直线上都是常数，所以对任意P1，P2∈R2，函数 f（x，y）在直线P1P2上的值处处相等，即 f（P1）=f（P2），亦即

f（x，y）=常数，（x，y）∈R2。（证毕）

从几何意义上看，若函数表示的图形在坐标平面R2上沿两条相互垂直的直线上的变化率为零，则此函数图形为平行于坐标平面R2的一个平面。在教学过程中指明这一点，对学生理解和掌握定理及其证明，是十分有益的。

事实上，这两个引理是华东师大版《数学分析》教材上的两个习题。由上述证明过程可知，显然这两个引理推广到n元函数也是成立的。

引理2的结论指出，要证明多元函数为常值函数，只需找到相应空间的一组线性无关的向量，并且函数沿每个向量方向的方向导数为零即可。

1.2定理及其证明

定理1若函数 f（x，y）在区域D⊂R2上的偏导数恒为零，那么它在D上必是常值函数。

分析 本定理揭示了二元函数为常值函数和偏导数为零之间的关系。而由上述引理2，如果函数沿两个线性无关的方向导数为零，则该函数必为常值函数。因此，此定理的证明几乎是显然的。

证明 由 fx=fy≡0知 f（x，y）的偏导数在区域D上连续，从而 f（x，y）在D上可微。

在区域D中沿x轴与y轴方向分别取向量

l1=（1，0），l2=（0，1），显然l1与l2线性无关，且

由引理2知，函数 f（x，y）在区域D上恒为常数。（证毕）

上述证明过程应该是比较简洁的，学生也是较容易理解和掌握的。由此，类比上述引理的推广，学生很自然的就可把定理推广到n维空间形式。即

定理 2设多元函数 f（x1，x2，…，xn）在区域D⊂Rn上对各个变量的偏导数皆为 0，则f（x1，x2，…，xn）为一常值函数。

2　结语

通过以上所述，我们可以认识到，对于数学分析课程的教学，应该从总体上进行把握，使学生理解整个学科的理论思想体系，从而引导学生利用已有的知识，把新问题转化为已知的简单问题。在这里，教师加强对前后知识点的联系和相关学科知识的连接串通的引导是十分重要的。如在上述引理和定理的证明中，我们就把数学分析的知识和高等代数中有关线性相关的知识进行了关联，这对培养学生综合运用所学知识进行分析问题和解决问题的能力，无疑是十分重要的。特别值得指出的是，将习题和教学内容进行适当的整合，对于加深对相关学习内容的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力，以及培养学生的初步研究创新能力，更是十分有益的。

［1］ 华东师范大学数学系，数学分析下册［M］.4版.北京：高等教育出版社，2001：136-143.

［2］ 陈纪修，於崇华，金路.数学分析下册［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004：165-166.

［3］ 肖箭，刘红琴，宋国强.关于高维中值定理的自然特征［J］.合肥学院学报（自然科学版），2014，24（2）：1-4.

A simplified proof of multivariate function's inference

ZHANG Miana，LⅠU Qing-fengb

（a.School of Mathematics and Statistics；b.Affiliated Middle School，Fuyang Normal University，Fuyang Anhui 236037，China）

This paper study mean value theorem of dual function through the directional derivatives and give the simplified proof of its inference，then we spread it to the situation of multivariate function.Finally，some teaching suggestions are proposed.

directional derivative；mean value theorem；inference；constant function

G642

A

1004-4329（2016）01-111-02

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-111-02

2015-3-11

安徽省质量工程项目（2015jxtd121，2013zy167，2014zy138，2015jxtd023）；阜阳师范学院质量工程项目（2015JYXM23，2014JXTD01，2013ZYSD05）资助。

张冕（1978-），女，博士，教授，研究方向：随机过程、排队论。