多元函数积分定义的微课设计

李红?陆垚

摘 要：本文针对多元函数积分定义的微课设计作了初步的探讨。

关键词：多元函数的积分；定义；微课；设计

多元函数积分部分是高等数学课程的核心内容之一，也是这门课程的重点和难点。多年的教学经验告诉我们定义是数学的灵魂，它直接决定着学生对这部分知识掌握的程度。因此我们将多种多元函数积分的定义放到一起构成知识单元，通过类比的方法加深学生对各类多元函数积分概念的理解，达到复杂问题简单化的目的。下面就是我们具体的做法：

首先，教师在制作微课程之前应该对该部分内容做一个系统地设计（最好是图表形式，间接直观） ，给微课制作者提供一个可行的整体方案。

我们将各类多元函数积分的定义放到一起称之为一个单元，这个单元中包含了二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分和第二类曲面积分共六种多元函数的积分。为了更好地引入多元函数积分的定义，我们将定积分作为复习模块纳入这个单元，从而将单元划分为七个知识点；将每个知识点细分为引例、这类积分的思想方法、定义（符号）、几何或物理意义、积分域、你对这类积分的概念（符号）的理解、与定义有关的习题七个模块；说明每一个模块呈现的方式、方法（教案、视频、图片、讲义、试卷、题库等形式）；通过学习要求学生完成的线上作业，并说明此次作业成绩占单元成绩的百分比。

其次，教师团队按照之前制定的整体方案分工合作，将我们录制好的视频、图片以及讲义、试卷、题库等分类到不同模块，以不同形式上传到学校的网络教学平台，分享给学生使用。下面就以定积分和二重积分两个模块的设计来说明我们具体的做法：

定积分放到这个单元，目的是帮助学生回忆定积分的思想方法，温习定积分的定义以及它所代表的几何、物理意义，并和多元函数积分的定义形成类比。二重积分定义知识点（或其他知识点）与定积分定义知识点中的引例模块都是通过PPT教案的形式展现，通过学生线上自学完成教师提出的问题“曲边梯形面积的计算与曲顶柱体体积的计算有何异同？”。对比两类积分的引例，实质上它们采取的都是“以直代曲、以常代变、找近似和、取极限”的思想方法。为了达到学生能够灵活的运用这种方法自学其他类型积分定义的目的，这部分再通过教师讲解的微视频展现。定义（符号）以教师在纸上或黑板上讲解的有声图片形式呈现，通过类比使学生深刻理解定积分和二重积分实质上都是是离散和的极限值—也就是离散和的推广“连续和”（这样说有可能不科学，但学生可以会意地去理解），只不过它们作和的范围不同（积分域不同）；定积分在几何上代表的是曲边梯形的面积，在物理上代表变速直线运动的位移（由此引出定积分的基本公式），二重积分在几何上代表的是曲顶柱体的体积（由此引出二重积分的计算方法）。二者在物理上具有共同的特性：定积分代表直线型构件的质量，二重积分代表平面型构件的质量，并且这种物理解释可以延续到三重积分、第一类曲线和第一类曲面积分上。教师通过微视频讲解提醒学生注意，同时提出问题“如何求三维空间中的立体、曲线型、曲面型构件的质量”，这样后续模块的铺垫自然完成。

最后，教师搜集学生作业中出现的典型问题，通过线下课堂教学加以讲解纠正，将六类多元函数积分符号与其物理意义相对照书写出来（表格形式），加以比较，找到各类积分的共同点（没有方向的积分代表质量，有方向的积分代表的是功和流量）与不同点（积分域不同），让学生彻底理解各类多元函数积分的定义不过就是离散和的极限---连续和，只是不同类型的积分做和的范围不同而已。通过学生线上的学习，不仅节省了教师讲授的时间，而且使得教师的讲解更有针对性，使得像多元函数积分定义这样繁琐的问题一次性地类比解决，让学生看到多元函数的积分原来很容易，真正做到使复杂的问题简单化，轻松消化课堂上的难点，激发他们进一步研究各类积分的性质和计算方法的兴趣，达到提高教学质量的目的。

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学第七版，高等教育出版社.

[2]刘群，李红， 高等数学解题指导， 东北大学出版社.