原来如此纠“圆”错

吴晓刚

圆中的概念性质、定理公式众多，且综合性较强，有别于一般直线形的思维方法，所以同学们在学习这一章时会感觉到困难一些，犯错的情况也会多一些.本文将帮助同学们对圆有关的知识进行“纠错”，亦能“究错”.

[一、 概念不清难甄别]

例1 下列说法中，正确的有_______个.

①长度相等的弧叫做等弧；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的内心在三角形内，三角形的外心在三角形外.

【错解】4.

【剖析】本题考查的是圆的有关概念、性质，需要同学们对其理解透彻，稍有差池即错，一知半解的同学还认为4个说法都对，实则都似是而非.说法①中的等弧指的是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，而只是长度相等的弧不一定能够重合；说法②中，由于直径也是弦，而任意两条直径都互相平分，但不一定互相垂直，也就不一定平分弦所对的弧；说法③必须在同圆或等圆中才成立；说法④中“三角形的内心在三角形内”是正确的，而三角形的外心的位置不一定，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在三角形的边上，钝角三角形的外心才在三角形外，故四个说法全错.

【正解】0.

[二、 忽视分类致漏解]

例2 A、B、C三点在半径为2 cm的☉O上，若BC=2cm，则∠A=_______°.

【错解】45.

【剖析】本题没有图，很多同学在根据题意画图求解时想当然地画出如图1的情形，由OB=OC=2 cm，BC=2 cm，可得∠BOC=90°，则∠A=∠BOC=45°.这种情况的求解是对的，但只考虑了点A在优弧BC上的情况，点A也可能在劣弧BC上，错解中由于没有分类讨论造成漏解.如图2，点A在劣弧BC上，优弧BC的度数为270°，则∠A=135°.

【正解】45或135.

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.以C为圆心，r为半径画圆，当r满足_________时，☉C与斜边AB有一个公共点.

【错解】r=2.4.

【剖析】由☉C与斜边AB有一个公共点，很多同学第一反应就是直线与圆相切，如图3，CH⊥AB，S△ABC=AC·BC=AB·CH，得CH=2.4，当r=CH=2.4时，☉C与AB相切，有一个公共点H.这种情况符合题意，但由于试题要求的“斜边AB”指的是线段，则还应考虑☉C与直线AB相交但与线段AB只有一个公共点的情况.如图4，当r=3时，☉C与斜边AB有两个公共点；当r>4时，☉C与斜边AB没有公共点；当3

【正解】r=2.4或3

[三、 思维不畅恼转化]

例4 在☉O中，、都是劣弧，且=2，那么弦AB、CD的数量关系是（ ）.

A. AB>2CD B. AB=2CD

C. AB<2CD D. AB、CD的大小无法确定

【错解】B.

【剖析】不少同学直接由弧的数量关系猜想出弦的数量关系导致错解.“等弧”可以得到“等弦”，但“两倍弧”却不能得到“两倍弦”，而是应转化到“等弧”来解决.如图5，取的中点E，连接AE、BE，可得===，所以AE=BE=CD.在△ABE中，AE+BE>AB，所以AB<2CD.

【正解】C.

[四、 道是无圆苦构造]

例5 在△ABC中，∠B=45°，AC=2，则△ABC面积的最大值为（ ）.

A. 2 B. +1

C. 2 D.

【错解】C.

【剖析】本题没有圆，好似“无头无脑”，相当一部分同学就把题目中的三角形“意会”成一个等腰直角三角形，两条直角边长为2，得到面积为2的错解.而当我们构造出以AC为弦，以∠B为弦AC所对的圆周角的圆时，此题就“柳暗花明”了.如何构造这个圆呢？可以取AC的中点H，过H作AC的垂线，在垂线上取一点O，使OH=AH=CH=1，则∠AOC=90°，以O为圆心，OA为半径作圆，则点B是优弧AC上一动点（与A、C不重合），此时∠ABC=∠AOC=45°.当B、O、H三点共线时，△ABC的面积最大，为×2×（+1）=+1.

【正解】B.

（作者单位：江苏省江阴市要塞中学）