鱼雷定深航行稳定性的分叉分析

马　亮，丁　浩（海军潜艇学院，山东 青岛 266199）

鱼雷定深航行稳定性的分叉分析

马亮，丁浩
（海军潜艇学院，山东 青岛 266199）

鱼雷定深运动方程含有诸多的非线性项，用传统的分析方法对其稳定性进行研究有较大难度。运用非线性科学中的分叉理论，选定鱼雷定深运动方程中的某一流体动力系数扰动值为分叉参数，系统地分析在经典比例微分深度控制系统作用下，鱼雷在退化平衡点处的航行稳定性。利用中心流形定理，推导出系统状态变量解析表达式，对系统 Hopf 分叉进行分析，并进行仿真验证。结果表明，流体动力系数变化使定深航行产生 Hopf 分叉，并给出了确保鱼雷稳定航行的流体动力参数取值范围。

动力系统；分叉；航行稳定性；鱼雷；深度控制

0　引 言

鱼雷在纵向平面内的运动方程具有明显非线性，一般来说，研究鱼雷非线性问题需要对运动方程进行不断地简化和限制。通常将非线性微分方程线性化，然后按线性方程进行运动分析和控制器设计，实践证明多数情况下线性方法可行［1］。但随着对鱼雷相关技术的研究不断深入，鱼雷运动中蕴涵的非线性因素越来越受到重视。如鱼雷纵向运动方程中所包含的流体动力系数都是通过试验测定，但随着作战使用环境以及鱼雷使用方式的不同，这些系数值会发生变化［2］，甚至会导致鱼雷运动由稳态跳变到不稳态，现实中表现为跳水或沉底［3］。因此，研究鱼雷在流体动力参数存在扰动时的运动稳定性，有利于改善鱼雷的运动特性，匹配鱼雷机动性与稳定性。近年来，对水下航行体运动稳定性的分叉研究工作已经展开。文献［5］和文献［6］以横舵角为分叉参数，分别对鱼雷和潜艇纵向运动的跨临界分叉进行研究；文献［7］以控制器参数为分叉参数，对鱼雷爬潜运动的跨临界分叉进行研究；文献［8］和文献［9］分别以控制器参数和空化数为分叉参数，对水下高速运动体纵向运动的Hopf 分叉进行研究；文献［10］以流体动力参数为分叉参数，对鱼雷在非控状态下纵向运动的跨临界分叉和 Hopf 分叉进行研究；文献［11］对水下航行体的纵倾航行稳定性进行了研究分析。上述工作在研究属静态分叉的跨临界分叉时，都给出了系统的分叉范式；而研究属动态分叉的Hopf 分叉时，却未给出系统的解析表达式，而是通过数值仿真证明了Hopf 分叉的存在。

本文以目前常见的采用比例微分控制的鱼雷为研究对象，将鱼雷定深运动模型中所包含的某一流体动力参数的扰动作为分叉参数，利用中心流形定理推导出鱼雷定深运动各状态参量的解析表达式，对系统的Hopf 分叉进行研究，并进行仿真验证。可揭示比例微分控制下，鱼雷定深运动失稳的本质原因，并完善鱼雷航行稳定性分析理论体系。

1　鱼雷定深运动方程

鱼雷定深运动方程由文献［1］给出：

将其化为如下标准形式［1］：

式中：y为鱼雷航深；v为鱼雷速度；α，θ和 Θ 分别为攻角、俯仰角及弹道倾角；为俯仰角速度；为横舵角；系数 kij的定义可参见文献［1］，它们包含了鱼雷流体动力参数。方程右端为定深运动参数的非线性函数。鱼雷定深控制器采用如下经典比例微分控制规律［1］：

式中：y0为设定航深；θ0为平衡俯仰角；为平衡舵角；ky和kθ为控制参数。

2　分叉分析

在平衡点处利用泰勒级数展开，我们可以得到新的系统：

式中：F（x，Δm）为系统的高阶项；A（Δm）由下式可得：

以国外某型鱼雷为例，其总体和流体动力参数见文献［12］，设鱼雷以航速 30kn 进行定深直航，将以上参数值代入式（4）和式（6）可得：

作线性变换 y=p-1x，p为所对应的特征向量所构成的矩阵，式（5）可化为：

式中：B为 2 × 2 矩阵；C为 3 × 3 矩阵。它们分别对应 A（Δm）的零实部和负实部特征值，可将其表示为：

从而进一步得到：

经分析可知 y3和 y5是共轭复根，进行如下坐标变换：

将式（10）代入式（9）整理可得：

相应地可求得 x的表达式为：

分析式（11）和式（12）可知，此时 x=［x1，x2，x3，x4，x5］T是关于参量 O的周期函数，系统从平衡点处产生极限环即发生 Hopf 分叉。Hopf 分叉是动态分叉的典型形式，指参数 Δm 经过分叉点时，系统的平衡点由渐近稳定的焦点变成不稳定焦点，并产生孤立周期运动的突变现象［14］。

3　数值仿真

为了验证分叉分析结果，进行数值仿真。设鱼雷的初始速度为15m/s，发射深度与设定航深相同，其他状态参量初始值都为 0，选择不同的流体动力系数干扰值 Δm，进行计算机仿真，图1～图3为式（4）在Δm 取不同值时的状态响应曲线。

图1　Δm=0时，系统响应曲线Fig.1　The curve of system response when Δm=0

图2　Δm=-3.50时，系统响应曲线Fig.2　The curve of system response when Δm=-3.50

图3　Δm=-3.40 时，系统响应曲线Fig.3　The curve of system response when Δm=-3.40

图4　Δm=-3.40 时，平衡点处极限环Fig.4　Limit cycle at equilibrium point when Δm=-3.40

4　结 语

鱼雷定深运动方程中，含有各种非线性项和耦合项，为方便起见，在研究中经常对非线性的影响进行忽略和简化。分析非线性问题是鱼雷航行动力学与控制的研究分支之一，本文运用分叉理论处理鱼雷定深航行的非线性问题，该方法不需要过于简化方程，利用等价变换将高维系统约化到低维的包含了定深航行稳定性全部信息的中心流形上来进行研究。文中选择某一流体动力参数扰动值为分叉参数，推导出了状态变量的解析表达式，讨论鱼雷在定深航行中的Hopf 分叉现象，并进行数值仿真验证。研究表明，流体动力系数变化会对鱼雷的定深航行稳定性产生影响，该结果可用来解释鱼雷发生跳水、沉底等现象的原因，同时也可为研究非线性因素影响下的鱼雷运动稳定性提供分析工具。

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Bifurcation analysis for depthkeeping sailing stability of torpedo

MA Liang，DING Hao
（Navy Submarine Academy，Qingdao，266199，China）

There are several nonlinear elements in the equations of torpedo depthkeeping movements.It is difficult to analyze its stability with traditional methods.A hydrodynamic parameter interference is chosen as bifurcation parameter at first.Then the sailing stability of torpedo with proportional-derivative controller is analyzed by bifurcation theory.The center manifold theory is used to get the expression of system state parameters.And the Hopf bifurcation of system is analyzed.The result is verified by numerical simulations.It shows that the hydrodynamic parameter's changing will bring Hopf bifurcation for depthkeeping sailing.And the range of hydrodynamic parameter value that insures torpedo sailing stability is given.

dynamic system；bifurcation；sailing stability；torpedo；depth control

TP13

A

1672-7619（2016）07-0095-04

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.07.021

2016-04-22

马亮（1973-），女，教授，主要从事水中兵器使用以及发射理论与技术研究工作。