均值不等式求最值“失效”时的应对策略

福建省南安第一中学　谢梓璋



均值不等式求最值“失效”时的应对策略

福建省南安第一中学谢梓璋

利用均值不等式求最值时需要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可。但在实际应用过程中，这些条件有时不能同时具备，就需要一定的化解技巧，来应对这一系列的“失效”现象.

均值不等式 最值问题 “失效”对策 中学数学

均值不等式是人教版高中数学（必修5）第三章“不等式”中的重要一节，它是证明不等式和求各类最值的一个重要依据和方法，应用广泛，具有变通灵活性和条件约束性的特点，是每年高考重点考查的知识点之一. 利用均值不等式求最值时需要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可。但在实际应用过程中，这些条件有时不能同时具备，就需要一定的化解技巧，来应对这一系列的“失效”现象，下面归纳出一部分学生在解题过程中容易步入的误区，并提出相应的对策.

1　“一不正”时，化负为正

“一正、二定、三相等”中的“一正”是指应用均值不等式的两个变量都必须是正实数。若两个变量异号，则不能运用均值不等式求最值，若两个变量同为负实数，可以提取负号后，使两项都化为正数，再运用均值不等式来求解，但需要注意的是此时不等号的方向也发生了改变，所求的最大或最小值也随之变化。一般来说，“正数”条件已体现在在题设中，但学生往往由于惯性思维忽视“一正”这一条件，导致解答过程出错。

∴f（x）的最大值为4

∴f （x）的最大值为-4

2　“二不定”时，构造定值

“定值”是指几项式子的 “和”或“积”为常数，命题设计者通常把“定值” 条件以某种形式隐藏在所给数学式子中，既是式子的表现形式又是运算形式，可静、可动，灵活多变，解题者要观察出定值条件就必须对所给的式子进行适当的变形，而这种变形的方式具有较强的灵活性和技巧性。教学中，我们要让学生获取“定值”一般是对代数式进行拆项与添项，平衡系数等方法，通过“配凑”后，“构造”出我们所需的定值。下面我们来看看以下例题是如何构造出定值的：

∵0≤x≤4

∴当且仅当0=x时取最大值，最大值为16此题为两个式子积的形式，若利用均值不等式求解“积”最大值，“和”必须为定值，但不是定值，所以不能生硬地套用均值不等式。通过观察可以发现，为定值，所以只需将配凑一个系数即可使“和”为定值，进而利用均值不等式求解出最大值。

正解

3　“三不相等”时，变换求解

当“一正、二定”都有了，还不能鲁莽地应用均值不等式，必须验证等号能否取得到，如果等号取不到，可以考虑借助于函数的单调性来求最值.若在一道题中连续多次使用均值不等式，就必须保证各个等号能够同时取到，如果等号不能同时成立，说明取不到该最值，这时应该选用其他方法或通过变形处理只用一次均值不等式。

错解∵x2+4＞0

∴x+4y的最小值25。

是否能应用基本不等式求解函数的最值，主要是观察式子中是否完全具备基本不等式的“一正、二定、三等”三个条件，这些条件看上去并不能同时满足，需要我们进行一定的变形，使之同时成立进而运用均值不等式来解决问题。就是因为变形方法如此灵活多样、 丰富多彩，才使得基本不等式如此地充满了生机与活力，让人感受到数学的无穷奥妙和神奇；也正因为基本不等式的 “活用”、“巧用” 能给我们的思维提供广阔的发展空间，让人学习起来充满了乐趣和美的享受，才会使得高考中运用基本不等式求解的题目层出不穷、常考不衰。

［1］ 杜伟林.用均值不等式求最值的几种常见类型［J］.数学学习与研究：教研版，2015（15）：112-113.

［2］ 万兆美.课本寻根——利用均值不等式求最值［J］.高中数理化，2015（19）：5-6.

［3］ 李培莹. 走出均值不等式求最值的误区［J］.赤峰学院学报：自然科学版，2014（1）：4-5.