高中数学教学如何培养学生的数学应用意识和能力

陈启智

摘 要： 本文通过高中数学《函数应用》的教学片段，探讨了数学应用和能力的培养策略，利用课堂教学活动，使学生能够了解数学是重要的，是有广泛应用的，让学生利用学到的知识解决实际问题，从而增强数学应用意识，培养他们的实践和创造能力。

关键词： 高中数学 《函数应用》 应用意识 应用能力

现代信息技术的飞速发展，极大地推进了应用数学与数学应用的发展，使得数学几乎渗透到了每一个科学领域及人们生活的方方面面。例如自然科学的深入发展越来越依赖于数学，而社会科学、人文科学也越来越多地借助数学知识及其思想方法。比如方程化学中化学方程式的计算应用，地理学中的降水量、温度问题，在物理学中的运动问题，数学知识不仅解决了这些学科中的一些问题，而且有力地推动了这些学科的发展。

现在数学的最大变化反映在它的应用，而数学教学应该把这种变化反映给学生，使学生能够了解数学是重要的，是有广泛应用的，让学生通过学到的知识解决实际问题，从而增强数学应用意识，培养他们的实践和创造能力。下面就高中数学必修一《函数应用》的教学片段谈谈在实际教学中怎样体现数学应用意识和培养数学应用能力。

首先数学应用包括两个方面的应用，一是函数里的应用，就是用函数认识其他数学，如方程、不等式、随机现象等，函数是贯穿数学的一条主线；二是实际中的应用，就是应用学习过的数学知识解决一些简单的实际问题。

片段一：用二分法求方程的近似解

（一）创设情境，导出课题。

教师问学生是否还记得中央台曾经有个节目叫《购物街》，然后组织学生做“猜价格”游戏。教师给出某件物品的价格区间，让学生猜价格，然后教师告诉学生猜的价格高了还是低了，学生再根据老师的提示继续猜。随着猜的次数增加，结果就越逼近正确价格。今天这节课就要用类似的方法求方程的近似解。然后板书课题“用二分法求方程的近似解”。这样引入，不仅贴近生活，而且让学生明白二分法来源于生活，来源于实际。符合新课改倡导的理念：数学在生活中是有用的。

（二）引导探究，获得新知。

探讨：函数在区间（2，3）内有零点，那么如何将零点的范围缩小呢？（书上例题）共同讨论，相互补充，得出结论。（结论略）

此环节要解决的问题是如何找出这个零点。具体对策是如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们便可以得到零点的近似值，这种逐步缩小零点范围的具体方法就是二分法。我们可以遵循循序渐进的原则，从生活中学生感兴趣的问题——猜价格入手，并借助大屏幕演示几何图形缩小零点范围的具体过程，让学生从直观上感觉零点被无限逼近。这样有助于学生从几何直观转化为代数关系得出二分法的定义进而再利用定义转化为二分法的操作程序。可以通过信息技术的应用使学生亲身经历动手操作解决实际问题的过程，并从中体验函数与方程的联系，体会二分法无限逼近的思想并掌握用二分法求解方程近似解的方法和步骤，培养用函数思想解决问题的意识。

片段二：函数模型的应用实例

讲解高一数学必修一104页例题5以后，引入例题：某医学专家提醒：人们日常饮用水时既不能喝生水，又不能喝过烫的水。生水含有大量寄生虫，过烫的水不仅会损伤牙釉质，还会强烈刺激咽喉、消化道和胃的黏膜，长期饮用热水会导致各种器官起变化。因此推荐：饮用的最佳水温为18℃～45℃。

问题提出：在室温下，一杯烧开的水从初始温度开始，大约经过多长时间可以冷却到45℃？

采取数据：在化学实验室，室温为29.2℃的条件下，利用温度传感器采集了1～12分钟范围内的水温数据，具体过程见视频。1～12分钟之间每隔1分钟采集一次水的温度（单位℃），数据分别如下：

时间min 1 2 3 4 5 6？摇？摇 温度℃ 90.6 89.0 87.3 85.8 84.5 83.2

时间min 7 8 9 10 11 12？摇？摇 温度℃ 81.9 80.7 79.6 78.5 77.5 76.5

请根据以上数据预测，经过多长时间水温可以冷却到45℃？

教学步骤1：收集数据

仔细观察这组数据，在观察过程中你能发现什么？你又能想到什么？是函数关系吗？为什么？谁是谁的函数？每一个时刻对应几个温度？这种关系，我们该怎么称呼呢？我们能否用确定的函数模型刻画它们的关系？（为了研究规律，我们能否用学过的函数模型近似地刻画它们之间的关系呢？这在数学上称为函数的拟合。）

教学步骤2：画散点图

师生共同利用图形计算器画出散点图。观察散点分布特点，与学过的常见函数图像对比，说明应该选择怎样的函数模型？

教学步骤3：分别求解可能的函数模型

师生合作挨个求解模型并验证。

（1）先从直线开始尝试，思考：如何求出直线方程？

（2）为了减少误差，我们想选择一条离点最近的直线，又该如何解决？教师带着学生一起用图形计算器的拟合功能，求出直线方程。

（3）以4人为一组，组内自由分工合作，分别选择二次型和指数型拟合。

教学步骤4：比较各模型拟合的优劣，初步确定函数模型。

每组4位同学把图形计算器拟合出的指数型和二次型函数图形放一起，并与黑板上的直线型比较，看看哪种拟合的效果更好？

结果：经过比较初步确定选用二次函数模型y=ax2+bx+c来拟合，其中a=0.0343906，b=-1.7194555，c=92.2386363

利用图形计算器的解方程功能，求y=45时对应的x值，结果发现方程无实数根。

师生共同讨论，发现二次函数最小值远比45大，故不可能有实数解。不得不重新选择，绝大多数比较后选择y=aebx进行拟合。

提问：是否都同意这个看法？激发学生思考。

预设1：学生发现问题，并提出方案。让其说明理由并上台演示。

预设2：学生没有发现。教师可通过问题串启发：水温可以降到室温以下吗？渐近线可以是x轴吗？应该是什么？应该如何改进？让学生自己提出：y=aebx+c这个模型。再让学生操作。求出了a=62.4374282，b=-0.0，236356，c=29.2。

此环节学生通过参与这个过程，真正体会到数学在实际生活中的应用，要给他一个思考的空间跟你一起交流互动，用哪个比较好，什么才叫好，我们都给出了一些解释，为学生将来碰到类似的问题增加一些经验。

总之，学生数学应用意识和能力的培养是高中数学教育中的重要课题，这种意识和能力的培养并非一朝一夕之事，更不是靠讲几节数学函数应用就能解决的。教师要在适当的时机有意识地通过各种途径增强学生数学应用意识，达到学以致用的目的，从而使新课程下的高中数学教育目标得以实现。