“土密度计”问题的两种解法及其辨析

储理才

(集美大学理学院　福建 厦门　361021)



“土密度计”问题的两种解法及其辨析

储理才

(集美大学理学院福建 厦门361021)

对北京市2008年中考物理试卷中的“土密度计问题”的两种解法进行辨析，揭示为什么“近似”解法却可以得到精确结果的原因.

北京市中考土密度计浮力

1　问题的由来

北京市2008年中考物理试卷有这样一道题[1].

欢欢利用平底试管、小螺母和细线制成一个“土密度计”，用如图1所示的方法测量液体的密度．“土密度计”在酒精(ρ酒精=0.8×103kg/m3)中静止时露出液面的高度为2 cm，“土密度计”在水中静止时露出水面的高度为3 cm，“土密度计”在硫酸铜溶液中静止时露出液面的高度为3.8 cm．则此硫酸铜溶液的密度为______kg/m3． (答案：1.25×103)

图1　“土密度计”

2　两种解法

“百度 作业帮”网提供了以下两种解法[2,3].

解法1[2]: “近似”解法——假设螺母的体积可以忽略不计

设试管的横截面积为S，长度为L，假设螺母的体积可以忽略不计，则“土密度计”在3种液体中所受的浮力分别为

F酒精=ρ酒精gS(L-h1)

(1)

F水=ρ水gS(L-h2)

(2)

F硫酸铜=ρ硫酸铜gS(L-h3)

(3)

式中h1=0.02 m，为试管在酒精中静止时露出液面高度，h2=0.03 m，为试管在水中静止时露出液面的高度，h3=0.038 m,为试管在硫酸铜溶液中静止时露出液面的高度(下同).

因为“土密度计”在3种液体中都呈漂浮状态，可知土密度计在3种液体中所受浮力都等于试管和螺母的重力之和，因此这3个浮力相等，即

F酒精=F水=F硫酸铜

由此可得如下两个等式

ρ酒精gS(L-h1)=ρ水gS(L-h2)

(4)

ρ水gS(L-h2)=ρ硫酸铜gS(L-h3)

(5)

由式(4)可解得

(6)

由式(5)可解得

(7)

将式(6)代入式(7)，得

(8)

将酒精和水的密度代入，得ρ硫酸铜=1.25×103kg/m3，与答案相同.

解法2[3]: 精确解法——假设螺母的体积不能忽略

设试管的横截面积为S，试管和螺母的总体积为V，则“土密度计”在3种液体中所受的浮力分别为

F酒精=ρ酒精g(V-h1S)

F水=ρ水g(V-h2S)

F硫酸铜=ρ硫酸铜g(V-h3S)

因为“土密度计”在3种液体中都呈漂浮状态，可知“土密度计”在3种液体中所受浮力都等于试管和螺母的重力之和，因此这3个浮力相等，即

F酒精=F水=F硫酸铜

由此可得如下两个等式

ρ酒精g(V-h1S)=ρ水g(V-h2S)

(9)

ρ水g(V-h2S)=ρ硫酸铜g(V-h3S)

(10)

由式(9)可解得

(11)

由式(10)可解得

(12)

将式(11)代入式(12)，得

(13)

将酒精和水的密度代入，得ρ硫酸铜=1.25×103kg/m3，与答案相同.

3　两种解法的辨析

解法1和解法2步骤可以说是完全相同，但列方程的依据是有差别的：解法1在计算浮力时，忽略了浸没在液体中的螺母所排开的液体体积，从图形中看，螺母相对于试管，其体积并不算小，计算浮力时忽略掉螺母的体积是会带来误差的，因此解法1似乎是一种近似解法.解法2在计算浮力时考虑了浸没在液体中的螺母所排开的液体体积(土密度计所排开的液体体积等于试管和螺母的总体积减去试管露出液面部分的体积)，因此解法2是一种精确解法.但比较式(8)和式(13)，解法1与解法2却有着相同的计算结果，也就是说，用“近似解法”却得到了精确结果，这又是为什么呢？

先来计算试管的准确长度L*.根据解法2的式(11)可得

由此可计算试管的准确长度

(14)

比较解法1中的试管长度式(6)和这里的试管长度式(14)，可知解法1中求得的试管的长度是不准确的，它与准确长度相差一个常量，二者之间的关系是

(15)

再来计算“土密度计”在3种液体中所受到的浮力.“土密度计”在液体中所受的浮力等于试管排开的液体重量和螺母排开的液体重量之和，即

F酒精=ρ酒精gS(L*-h1)+ρ酒精gV螺母=

ρ酒精gS(L-h1)

(16)

F水=ρ水gS(L*-h2)+ρ水gV螺母=

ρ水gS(L-h2)

(17)

F硫酸铜=ρ硫酸铜gS(L*-h3)+ρ硫酸铜gV螺母=

ρ硫酸铜gS(L-h3)

(18)

则解法1中的浮力计算公式就是准确无误的.

至此，我们可以对解法1中浮力的计算给出一种新的解释，在这种解释下，解法1中的浮力计算就是精确的，由此推导的硫酸铜密度公式自然也是准确无误的了.

设试管的横截面积为S，长度为L*，螺母的体积为V螺母，记

由此式就可得式(1),(2),(3)了.

1百度文库. 2008年北京中考物理试题和答案[EB/OL]. http://wenku.baidu.com/view/7fd1fc92dd88d0d233d46a44.html, 2012-06-04/2016-04-28

2百度 作业帮. 欢欢土密度计[EB/OL]. http://www.zybang.com/question/2db78db73981299e849ec7b424a2883c.html. 2014-11-07/2016-04-28

3百度.作业帮.欢欢土密度计[EB/OL]. http://www.zybang.com/question/5e60c39bbae68b405c5d80e96af523be.html. 2014-11-25/2016-04-28

储理才(1969-)，男，博士，副教授，主要研究方向为应用数学.

2016-04-28)