埃博拉流行病的传染动力学

徐恭贤，张　静

(渤海大学 数理学院，辽宁 锦州　121013)



埃博拉流行病的传染动力学

徐恭贤，张静

(渤海大学 数理学院，辽宁 锦州121013)

针对埃博拉流行病的传染动力学问题，首先用确定型logistic模型描述埃博拉流行病，然后构建了可以确定埃博拉logistic模型参数的辨识优化模型，最后根据几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个国家的累积感染病例数据对埃博拉logistic模型进行数据拟合和参数辨识分析。结果表明：各地区的埃博拉流行病传染情况不同，而且埃博拉流行病的染病者增长率与抑制常数也具有较大的差异。

埃博拉流行病；传染动力学；logistic模型；数学模型；参数辨识

identification

1976年首次出现一种急性严重传染病，它的先期主要症状为发热、乏力、肌肉疼痛、头痛和咽喉痛，随后会出现呕吐、腹泻、皮疹、肾脏和肝脏功能受损症状，某些情况下会有内出血和外出血，并且会严重影响到生命安全[1-2]。经世界卫生组织检查认定后称为埃博拉病毒感染(又称埃博拉出血热)。2014年再次爆发埃博拉疫情，并且这是历史上最严重的一次。本次疫情出现的病例和死亡数字超过了之前所有疫情的总和。疫情首先在几内亚发生，随后快速蔓延到其他国家。世界卫生组织指出，这次疫情传播较快的主要原因是：第一，当地人们根据习俗偷埋病死人员；第二，疫情暴发地人口稠密；第三，几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个疫情国家存在边贸活动。埃博拉的传播方式主要是通过血液传播或者通过破损的皮肤直接传播。虽然疫情主要爆发在非洲，但是随着经济的发展中国与非洲国家的联系日益密切，因此有必要对它进行研究和预防。目前已有学者对埃博拉流行病的数学建模、传染动力学、最优控制等进行了广泛研究，取得了一系列成果[3-11]。

本文针对埃博拉流行病的传染动力学问题，首先建立了埃博拉流行病的logistic模型，然后提出了可以确定埃博拉logistic模型参数的辨识优化模型，最后根据几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个国家的累积感染病例数据，对埃博拉Logistic模型进行数据拟合和参数辨识分析，并分析了埃博拉流行病的传染特征。

1　埃博拉流行病的数学模型

目前有多种数学模型可以用来描述流行病的传染动力学[12-13]。本文根据埃博拉传染病的流行特点，采用Logistic 模型描述埃博拉流行病的动力学特征。

假设某国家第t天患有埃博拉流行病的累积染病人数为N(t)，染病者增长率为μ，抑制常数为λ，则由logistic确定型增长模型可得如下埃博拉流行病的数学模型：

(1)

(2)

染病初期，人们不太重视埃博拉病毒，没有采取任何预防和控制措施，所以病人数目增长很快。式(1)右边第1项代表了埃博拉传染病的自然传播情况。当疫情严重爆发后，人们会采取许多措施控制疫情，例如杀菌、注射疫苗等，因此式(1)右边的第2项会占据重要地位。直到埃博拉传染病后期，由于人们不断研究预防和治疗措施，导致传染病人数不再上升，即dN/dt→0，疫情得到控制。

式(2)中，N0为埃博拉流行病在传染初期时的患者数量，一般情况下某地区或某国家的原始染病人数为N0=1，但是对于国家边贸地区和人口密集地区，初始值N0可能满足N0>1。参数t0表示第1个埃博拉流行病患者的初始染病时间，当t0=0时分别表示本文模型中对几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个国家统计数据的第1天，但并不是病毒真正爆发的时间，而是本文根据世界卫生组织统计数据确定的时间，即分别表示：几内亚2014年4月1日，塞拉利昂2014年5月27日，利比里亚2014年6月16日。

Logistic模型经常用于表达指数型增长模型的统计规律，因此当式(1)中的dN/dt=0时，可得埃博拉流行病的最大染病人数Nmax为

(3)

埃博拉流行病与很多传染病类似，其疫情的发展规律不仅与人们所采取的控制力度有关，还与病毒本身的特性有关。埃博拉病毒发生的早期，由于还没有有效的预防和控制措施，也就是抑制率λ趋近于0，导致疫情发展很快，所以有

(4)

根据式(4)还可得埃博拉病毒的倍增周期T为

(5)

2　埃博拉流行病模型的参数辨识

为方便起见，将式(1)中的参数μ和λ简记为

由埃博拉流行病的实际情况易知：参数μ>0，λ>0；初始值N0>0，且μ，λ和N0均为有界变量，即存在

电压变换电路的作用是将整流电路输出的直流电压转换为系统供电所需的12 V直流电压。电压变换电路包括MOSFET功率开关管、功率二极管、脉冲发生器、储能电感、滤波电容、负载等组成,其中负载选用10 Ω电阻,电路仿真模型如图5所示。电路输入端接整流电路输出的直流电压,输出电压加载在负载R上,通过测量仪表检测负载两端电压电流情况。

0

0

0

另设 f (N,u)=N(u1-u2N)=N(μ-λN)，则式(1)～ (2)可重新写为如下问题：

(6)

(7)

(8)

设某国家第ti(i=1,2,…,n)天的实际埃博拉流行病累计患病人数为Ne(ti)。为了使logistic模型(1)～(2)能较好地描述埃博拉流行病的传染过程，本文以各天的理论值与实际值之差的总和为优化目标函数，建立了如下埃博拉流行病的参数辨识问题：

(9)

(10)

N(t0)=N0

(11)

u∈U

(12)

3　结果与分析

根据世界卫生组织提供的几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个国家的埃博拉流行病累计病例数据，通过Matlab软件中的最小二乘法可以求得各埃博拉疫情国对应式(1)的染病者增长率μ和抑制常数λ的值，如图1～2所示，其中几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个国家的数据起始时间分别为2014年3月22日、6月1日和6月16日，结束时间均为2015年12月30日。

图1　不同国家染病者增长率的比较

图2　不同国家抑制常数的比较

从图1中可以看到，在所有3个埃博拉疫情国中，几内亚的染病者增长率μ最低，塞拉利昂次之，利比里亚最高。染病者增长率主要受某些因素的影响，比如国家的经济状况、卫生条件、人口数量和流动情况等。如果国家经济状况比较富裕、人民的生活水平较高，就会有更多的精力和时间注意卫生情况。如果卫生习惯较好，就能及时或者经常做杀菌处理，民众的身体状况良好，染病者增长率较低，埃博拉病毒传播的速度就不会很快。相反，如果人们的生活水平比较落后，公共卫生条件差，那么染病者的增长率就越高。从图1也可以看出，虽然几内亚、塞拉利昂和利比里亚的染病者增长率μ都在同一个数量级内，但是利比里亚的染病者增长率是几内亚的2倍还多，这是因为μ值不仅与国家的实际情况有关，更与埃博拉病毒自己的传染特性有关。

从图2可以看到：在所有3个埃博拉疫情国中，塞拉利昂的抑制常数λ最低，利比里亚次之，几内亚最高，这与实际情况还是比较一致的。当然传染病抑制率与一些人为控制因素有关，如及时接种疫苗和拥有优越的公共卫生团队、能快速对患者做出诊断、减少他人与患者之间的接触等都会大大提高传染病的抑制率。总之，抑制率大的国家，埃博拉疫情相对来说能得到较好的控制。在西非埃博拉疫情最严重的就是几内亚、塞拉利昂和利比里亚这3个国家，它们相互邻近，彼此又有贸易往来，经济条件普遍都比较差，卫生措施也都很落后。3个国家中，几内亚对埃博拉流行病非常重视，不仅增长率相对比较低，而且抑制常数也是相对比较大的，因此该国与其他两国相比，疫情得到了比较好的控制，患病人数相对比较少。塞拉利昂虽然不是染病者增长率最高的国家，但由于抑制常数最小，所以染病者人数最多。

表1给出了几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个国家的埃博拉病毒倍增周期T。从表1中可以看到：T值位于16～38 d；几内亚的埃博拉病毒倍增周期T最长，为38 d；塞拉利昂次之，为24 d；利比里亚最短，为16 d。这与实际情况还是比较一致的。

表2给出了几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个国家的埃博拉流行病的最大染病人数Nmax。从表2中可以看到，几内亚、塞拉利昂和利比里亚3个国家的埃博拉流行病的最大染病人数Nmax与实际染病人数之间的差值分别为26，857和586，与实际染病人数的相对误差分别为0.68%，6.07%和5.49%，说明本文计算获得的埃博拉流行病的最大染病人数Nmax与实际情况还是比较接近的。

表1　各疫情国的埃博拉病毒倍增周期

表2　各疫情国的埃博拉流行病的最大染病人数

图3～5分别是几内亚、塞拉利昂和利比里亚的埃博拉流行病仿真结果。从图3～5中可以直观地看出模拟结果和实际埃博拉流行病累计感染人数之间吻合性较好。

图3　几内亚的埃博拉流行病仿真结果

图4　塞拉利昂的埃博拉流行病仿真结果

图5　利比里亚的埃博拉流行病仿真结果

4　结束语

本文针对埃博拉流行病的传染动力学问题，构建了可以描述埃博拉流行病传染动力学特征的logistic模型，并根据几内亚、塞拉利昂和利比里亚等典型疫情国的累积感染病例数据，对埃博拉logistic模型进行数据拟合和参数辨识分析。结果表明：各地区的埃博拉流行病传染情况不同，而且埃博拉流行病的染病者增长率和抑制常数也具有较大的差异。

通过对埃博拉流行病的研究发现其增长率还是比较高的。本文所采用的模型对解释埃博拉流行病还有一些局限性，比如模型中的增长率和抑制率可能不是常数，而是关于人口接触情况、地理条件、时间等其他因素的一个可变参数。几内亚、塞拉利昂和利比里亚相互邻近，彼此有着密切的联系，且都位于海边，所以若要采取控制措施，政府可以限制人员跨区域流动，加强人员密集地方的卫生安全。为了防止疫情向其他地区蔓延传播，应该加强对外出人员的严格检查，有效遏制大规模人口流动。埃博拉疫情的传播情况也可能不同，因为每个患者接触的人数也是不相同的，这样就为其传播规律的确定带来了极大的挑战，因此将来对埃博拉流行病的传染动力学还需进行更深入的研究。

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[13]徐克学.生物数学[M].北京:科学出版社,1999.

(责任编辑何杰玲)

Infectious Dynamics of Ebola Epidemic

XU Gong-xian，ZHANG Jing

(College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper addressed the infectious dynamics of Ebola epidemic. The determined logistic model was first used to describe the Ebola epidemic. Then an identification optimization model that can determine the logistic model parameters of Ebola epidemic was established. Finally, both data fitting and parameter identification for the logistic model of Ebola epidemic were done by using the cumulative infection data of Ebola epidemic situation in Guinea, Sierra Leone and Liberia. The results show that these countries have different infection situations of Ebola epidemic. In addition, there are big differences in the growth rate and inhibition constant of these infected countries.

Ebola epidemic; infectious dynamics; logistic model; mathematical model; parameter

2016-06-01

国家自然科学基金资助项目(11101051); 辽宁省自然科学基金资助项目(2015020038).

徐恭贤(1976—),男,辽宁庄河人,博士,副教授,主要从事最优化方法与应用研究，E-mail:gxxu@bhu.edu.cn。

format：XU Gong-xian，ZHANG Jing.Infectious Dynamics of Ebola Epidemic[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(8):76-80.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.08.012

O29

A

1674-8425(2016)08-0076-05

引用格式：徐恭贤,张静.埃博拉流行病的传染动力学[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(8):76-80.