小学估算教学的内涵、脉络与实施

王海峰

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将估算作为发展学生数感和应用意识、培养学生运算能力和推理能力的重要途径和手段。尽管从宏观课程的层面来看，估算越来越被重视，但从微观教学的层面来看，一线教师对估算教学仍然存在很多困惑，往往浮光掠影、浅尝辄止。究其原因，是未能真正理解小学估算教学的内涵，厘清估算的脉络，把握估算教学的实施策略。下面笔者以苏教版小学数学教材中的估算为例，尝试对小学估算教学的内涵、脉络与实施进行解读。

一、 估算教学的内涵

估算主要是指在计算或者测量中，无法或无须精确计算时所采用的一种数学方法。广义的估算包括对于计算的估算、对于数量的估算以及对于测量的估算，分别简称估算（狭义）、估数、估测。估算是小学阶段数学学习的重要组成部分。作为教师，不能仅仅将估算作为一种计算方法教给学生，其教学内涵还应包括通过估算培养数感、锤炼数学思维、提高问题解决的能力。苏教版教材在设计编排估算教学内容时，就充分体现了这三个方面的内涵。

1.以数感培养为目标

数感是课程标准提出的十个关键词中的第一个，足见其对学生数感培养的重视。苏教版教材在编排估算教学内容时，将培养学生的数感作为首要目标。例如，一年级上册安排了数量估计的教学内容，在20以内的数的认识之后，设计了一个实践活动，让学生抓一把黄豆，估一估大约有多少粒黄豆，再数一数，丰富学生对20以内的数的实际感受。四年级下册安排了估计10 000张纸的厚度、推算1 000 000张纸的厚度等估算活动，丰富学生对大数的体验和感知。再如，在学习两、三位数的乘法时，教材常常要求学生先估算再计算，通过估算形成对结果的初步判断，再通过精确计算得出准确结果，并与估算结果进行比较。精算与估算紧密配合、相得益彰，在提高学生对运算结果进行估计的能力的同时，培养和发展了学生的数感。

2.以锤炼思维为核心

数学教育不仅要让学生掌握现代生活和学习所需要的知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。[1]估算是对数与数量的体验和感悟，是对运算过程的加工改造和对运算结果的预测估计的过程。可以说，在估算过程中蕴含着复杂的思维活动，估算对培养学生的逻辑推理能力具有不可忽视的作用。苏教版教材充分把握估算的特点，尊重估算目标的主观性、估算策略的开放性、估算结果的或然性[2]，通过精心设计估算教学内容，引导学生经历观察、猜测、计算、推理和验证等活动过程，启迪数学思维方式，锤炼数学思维能力。例如，教材在三年级下册安排了这样一道估算问题。（见图1）

这个问题对于三年级学生来说并不简单，需要经历严谨的思维过程才能作出判断。学生可以先将48估作50，50×5=250，实际座位数应该比估算出的250个少一些，而估计的座位数250又比村民人数272要少，由此判断5辆车不够坐。在将估算结果与精确结果以及实际需要进行比较的过程中，学生不仅掌握了估算的基本方法，数学思维能力也得到了较好的锻炼。

3.以问题解决为载体

问题解决是课程标准具体阐述的四个方面的目标之一，旨在让学生通过数学学习，获得分析问题和解决问题的一些基本方法。苏教版教材在安排估算教学内容时，以问题解决为重要载体，以儿童的生活现实、数学现实为生长点，精心选择学生喜闻乐见的问题情境，让学生在解决问题的过程中增强应用能力、发展创新意识。例如，教材有多处安排了类似下面的问题。（见图2）

学生凭借生活经验就知道，这个问题不需要笔算出精确结果，直接估算就能解决。然而这个问题又不只是简单地估算出结果就行了，在估算出5辆儿童车的总价是1 000元后，还要思考因为把210看作200估小了，所以准确的总价应该比估得的1 000元要多，因此1 000元不够买5辆儿童车。买2张儿童床的问题与此类似。这里，学生是以解决实际问题为目标，他们的思维就不会只停留在估算方法与结果的层面。教材一以贯之地将估算包含在问题解决的过程中，既有利于学生体会估算的实际意义与应用价值，也有利于学生解决问题能力的培养。

二、 估算内容的脉络

要全面认识和把握小学估算教学，就必须明确课程标准对于各学段估算内容的具体要求，了解估算在小学各年级的分布，理清估算在小学数学中的脉络，把握前后知识之间的联系和区别。笔者对估算内容各学段的目标与要求进行了梳理。

第一学段：1.在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计；2.能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用；3.能估测一些物体的长度，并进行测量；4.会估计给定简单图形的面积。

第二学段：1.结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计；2.在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算；3.会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值；4.会用方格纸估计不规则图形的面积。

两个学段均安排了估数、估算和估测三个方面的内容，随着学段的提升，教学内容保持了很好的连贯性，且在难度要求上有所增加。苏教版教材按照课程标准关于估算教学的课程目标，基于学生的认知规律、知识背景和活动经验，合理地安排估算内容，通盘考虑，分步实施。笔者对苏教版教材例题及习题中与估算（包括估数和估测）有关的内容进行了细致地统计，发现估算内容主要集中在二至五年级，在这四个年级教材中出现的次数占总数的91.2%。这种分布情况与小学生数学学习的进程有关。在二至五年级，学生重点学习了整数、小数、分数四则运算以及平面图形的周长和面积，与之相关的估算内容也就自然而然地伴随着这些知识的学习。五年级之后，学生的数学学习即将进入代数学习阶段，因此估算的内容也随之减少。

此外，基于对估数、估算和估测三个类别出现次数的统计，笔者得出，苏教版教材中估数内容约占20.4%，计算估算约占57.5%，估测内容占22.1%。计算估算在小学估算内容中占了过半的比例，足见小学阶段对学生计算能力培养的高度重视。

三、 估算教学的实施

与估算在课程标准中地位的提升相适应，估算教学的实践愈来愈受到关注。而要真正提高估算教学的实效，教师须对教材编写的意图与特点有很好的理解和把握。对于苏教版教材估算内容的编排与教学，笔者以为应领会以下几点。

1. 整体与局部统一

估算内容的教学必须以与之相关的其他教学内容相融合，这也决定了估算内容的安排不可能特立独行，而要围绕小学数学课程内容的核心与主线，将估算内容合理穿插其中，逐级递进、螺旋上升，做到整体与局部的有机统一。

通过对苏教版教材估算内容的梳理和统计不难发现，教材对估算内容的安排并不是平均分布、平均用力的。一方面，在小学阶段，由于数与量的认识相比数与量的运算要少得多，所以估数和估测相比估算的内容安排也要少得多。另一方面，小学二至五年级是学习数的运算的重点时段，因而对于估算内容的安排相对其他年级也就比较密集。苏教版教材不同年级对估数、估测和估算都有选择、有重点地进行安排，很好地体现了教材从整体谋划到局部刻画的有机统整。

教师应整体认识小学阶段估算内容的安排及不同年段的教学要求，在相应年段完成预定的教学目标，做到不越位、不缺位，从而在整体上达成估算教学的总目标。

2.意识与能力并重

估算教学不能满足于仅让学生掌握估算的方法，而是要通过估算教学，让学生理解估算的意义，体会估算的作用，从被动估算过渡到自觉估算、自主估算，从而增强应用能力与反思意识。苏教版教材在安排估算教学内容时，往往选择学生身边的实际问题作为教学素材，借助生活经验启发估算意识，使学生的估算能力与估算意识一起发展。例如，三年级上册教材安排了这样一个问题。（见图3）

这个问题安排在整十数乘一位数之后，普通两位数乘一位数之前，学生无法通过计算出48×4的精确结果来判断200元够不够买，这就“逼迫”学生另想它法。学生基于已有经验自然地联想到将48元看作50元，因为50×4=200，所以48×4<200，200元够买4箱西瓜。教材精心安排估算内容的位置，让学生在面对这一情境时，自发地产生估算的需要，进而获得估算解决问题的成功体验。在问题解决的过程中，学生不仅掌握了基本的估算技能，估算的意识也随之得到发展。

3.过程与结果兼顾

由于不同问题对估算的要求有所不同，不同主体对估算的理解也不同，因此估算的过程相比精算更加开放，估算过程的差异也会导致估算结果不尽相同。这就要求教师在估算教学中既要重视估算过程中方法的选择与指导，尊重估算方法的差异性，鼓励估算方法的多样化，又要承认估算结果与精算结果的不一致（有时估算结果与精算结果可能相去甚远，但只要估算的目的是明确的，估算的方法是可取的，教师就要肯定估算结果的价值），让学生既体会到估算的简捷高效，又明白在某些特定问题中估算的局限性，客观地处理好估算过程与结果的关系。

例如，教材在三年级上册安排了这样一个问题。（见图4）

在估算3张特快列车总票价时，学生将312看作300，300×3=900，小于1 000元。此时，教师还应启发学生思考：如果特快列车票是340元一张，1 000元够买3张吗？学生通过估一估、算一算发现，虽然这个问题的估算过程和结果与刚才的问题相同，但实际上，1 000元是不够买3张单价340元的车票的。这里，在估算出300×3=900之后，学生还需考虑12×3的结果小于100元，才能确定1 000元够买3张312元的特快列车票。在解决这个问题的过程中，通过对估算过程的比较以及对估算结果的辨析，学生对估算的优势和局限会有更全面、更客观的认识。

4.情境与活动支撑

通过对估算内容的整理，笔者发现苏教版教材几乎没有单纯地给出算式让学生估算得数的题目，绝大部分估算问题都是镶嵌在情境中的。情境架起了抽象的数学知识与具象的儿童思维之间的桥梁，它联结起数学与生活，让理性和感性相趋近，使抽象与具象相映照。[3]教材精心选取了生活中需要估算的问题情境，有利于激发学生认知结构中的已有经验，促使他们积极主动地解决实际问题。此外，教材还精心设计了很多估算（估测）的实践活动。例如，“升与毫升”单元就有很多类似下面的实践活动。（见图5）

这些估算（估测）活动寓教于做，让学生在做一做、估一估、算一算和想一想的过程中，感悟估算的意义和价值、积累估算的经验、培养估算的能力。正如杜威所说，教学过程应该就是“做”的过程，如果儿童没有“做”的机会，那必然会阻碍儿童的自然发展。

作为小学数学教师，必须认真研读课程标准和教材，领会课程标准对于估算教学的要求，把握教材对于估算内容的编排意图，以教材为蓝本但又不囿于教材，适时拓展、开发估算教学资源，创设适当的问题情境，引导学生在运用估算解决实际问题的过程中，体会估算的意义与价值，提升估算的意识与能力、发展数学思维、培养创新品质。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 郜舒竹，刘莹，王智秋.“估算”在数学课程中的矛盾分析[J].课程·教材·教法，2013（1）.

[3] 成尚荣.通透情境数学的哲学意蕴和操作要义[J].小学教学，2013（4）.

【责任编辑：陈国庆】