用与不用不一样

张志勇

【摘 要】发挥技术的数学教育价值，离不开技术与数学的深度融合。可以从情境创设、实验探究、流程再造三个方向探索融合途径。在可视化中理解数学本质，在数学活动中提升思维水平，在互动环境中变革学习方式。导数运算、复合函数等教学案例告诉我们，用与不用不一样，而HP Prime以其手持特点、符号计算优势、无线环境构建等，恰可彰显技术于数学教学的独有价值，正成为学习和解决数学问题的强有力的工具。学生视角可探索在技术浸润中自觉寻求技术帮助，教师层面则关注知识境脉、进行活动进阶设计，课程维度离不开技术潜力的挖掘和课程资源的开发。

【关键词】技术融合；教学策略；HP Prime；CAS系统；探究实验

【中图分类号】G434 【文献标识码】A

【论文编号】1671-7384（2016）01-0063-03

技术与数学融合的途径与方向

数学学科独有的形式化抽象特征，如精深的数学概念、烦琐的演算过程、复杂的数形关系和多变的几何位置关系等，往往由于教与学手段的限制而令人“望而却步”。引入学科软件于数学教学，便是要变革传统教学“重形式定义，轻意象表征”的弊端；进一步地，从整合走向融合，需要实现图形图像、符号表达与数值处理间的多元表征联系，需要严谨、精确和形式化的数学活动过程描述，需要构建与数学研究相适应的、丰富的探索性认知环境。

途径1：情境创设——可视化中理解数学本质

教学实践表明，数学过于形式化的表达反而看不清数学知识的本来面貌，学生对抽象知识的内部表征应该以丰富、独特、具体的形象而存在，因此理解是学好数学的关键。“说一个数学概念、方法或事实是彻底地理解了，是指它和现有的‘智力网络’是由更强的或更多的联系联结着”。HP Prime集数、形、表于一屏，形成方程、图形、数据、模型（函数）、算法等的多元关联，实现代数、几何、数据、算法等不同数学分支的真正融合。更重要的是，它能创设“多元联系表征”的学习情境，在符号语言与表格、图象间形成有效的理解通道，从而帮助学生洞察所学数学内容本质，寻找解决复杂问题的途径。

案例——分段函数及导函数的可视化实现

对于分段函数，初学者往往为其形式所困扰，很难认同“这是一个函数”。有了图形计算器，可以让学生自行绘制函数图象，当他们见到“庐山真面目”（图1）后自然对“整体”有了切身感受，其后的单调性、值域也随之“水落石出”。如果再借助HP的函数分析功能，必然可以演绎别样的精彩。又如导函数的学习，如能创设图2所示的可视化情境，通过原函数 y=（x2-2x）ex与导函数图象的对比观察，可以清楚地发现原函数的零点与导函数的极值点间的对应关系，这样的学习效果显然非传统纸笔运算所能比拟，可谓“用与不用不一样”。

事实上，HP内置有18个应用APP（如函数、高级绘图、几何学、参数等）和400多种操作命令，能够很好地实现重要数学概念或活动过程的符号（符号视图Symb）、图形（绘图视图Plot）和数值（数字视图Num）的表征与关联，促进“顿悟”与理解。

途径2：实验探究——数学活动中提升思维水平

数学教学的目的不仅是帮助学生理解、掌握数学知识，更重要的是发现知识、探寻规律。而实验无疑是丰富学生体验的重要手段和路径，在对实验素材进行数学化操作中产生归纳假设，在分析、修改、验证猜想中形成认知体验，从而实现在做（建构）数学中学（理解）数学、用（解释）数学。图形计算器最大特点是“手持”，可以让学生的数学学习和研究变得随时随地。

案例——复合函数的探究情境的构建

复合函数是在函数概念的基础上以形式语言直接定义的。许多学生最初只在字面上靠背诵接受这个定义，在意象上认为就是把两个函数“套”起来，并没有真正理解“复合”的意义。在HP的支持下，我们可以构建图3所示的“模块化研究”的实验环境，其中F1（x）、F2（x）为基本函数，F1（F2（x））、F2（F1（x））则为相应的复合函数（图例中，F1（F2）=sin3x 、F2（F1）=sin­（x3），它们的内、外函数正好颠倒）。应用时只要改变基本函数的输入，便可看到基本函数的变化对复合函数图象的影响。有了这样的平台，对学生而言复合函数不再不可触摸，更可以从定义域、值域、单调性、周期性等角度全面考察内函数、外函数对复合函数的影响。

技术于数学学习活动可以提供演示、验证和探究三种水平的支持，HP图形计算器充分体现数学多元关联、数形相融、动态变化的特点，其教育价值不仅在演示，更利于验证和探究。通过对由静到动、微观到宏观的知识形成过程的观察和思考，不仅看到数学外在形式的“美”，还感受到了内在实质的“真”； 获得的不仅是知识本身，更有在探究发现过程中的情感体验；可谓“数山有路趣为径，学海无涯美作舟”。

需要提及的是，HP Prime配以Connkit课堂管理系统、无线模块，可以搭建课堂无线环境形成“e-数学”实验室，实现课堂动态管理和师生的即时顺畅互动。

途径3：流程再造——互动环境中变革学习方式

数学教学的目的绝非仅传授数学知识，更重要的是改善学生的学习方式；只有经历丰富的数学活动，数学学习才能积累足够的原始经验，于是实现“使用技术学习和研究数学”很有必要。

HP Prime的突出特点是视觉化、操控化、瞬时化，可谓立竿见影、一触即发，特别是它内嵌有符号代数系统（Computer Algebra System，简称CAS系统），可以方便实现符号计算功能。将HP Prime交到学生手中，可以成为学习和解决数学问题的强有力的工具，保证“使用技术学习和研究数学”成为可能。在真实体验指尖上的美妙数学和探究乐趣之余，超越传统意义上纸笔学习数学的窠臼，实现“人人通过视觉化学习数学”。

案例—— CAS系统中导数运算法则的学习

由于极限概念的缺失，现有教材对和差积商的导数法则只能采用“告诉”的方式，于是教学流程也很机械，只能是法则记忆+法则应用。有了CAS系统，则可实现流程再造：具体事例→归纳法则→识记应用，图4为积的导数法则发现场景。因为有具体事例的支持和发现过程的展示，规则（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）更易于“深入人心”。

事实上，计算机计算包括数值计算和符号计算（即CAS系统）两种，前者是近似计算，后者则是没有舍入误差的绝对精确的计算。从算法上讲，符号计算才是真正的数学，无论是输入、处理还是显示，它能更好地与注重形式化、符号化的数学学科相匹配，满足在计算器上推导数学公式的需求。如对表达式进行因式分解、化简、微分、积分、解代数方程、求解常微分方程等。图5中的第3行实现的是因式合并，第4行为求解函数零点，第5行、第6行则是将解析式赋值给F1（x）、F2（x），绘制图象后即可得到图2；进而满足学生在更高抽象层次上的思考与探究，使形式化的符号也能成为学生高层次的数学认知基础。换言之，带CAS功能的图形计算器本身就是数学，我们可以实现“向技术学习数学”，从而做过去课堂中完全做不到的事情。

实现融合的教学策略和建议

应用信息技术固然可以改进我们的课堂，但教育技术在数学教学中的优势并不是天然就有的，因为教育技术本身只是工具，实现技术与数学教学的深度融合、迎接数学教学革新的重要机遇，需要我们有开阔的数学视野，真正从促进学生对数学本质的认识和数学思想方法的感悟出发去应用技术。

策略1： 学生视角——技术浸润，自觉寻求技术帮助

“工欲善其事，必先利其器”。只有让学生接触技术，形成对技术的亲近感，知道技术能干什么，才能在需要时想得到“请技术帮助”；也唯有将技术交到学生手中，接受技术的真正浸润，才能最大限度地发挥技术的作用，感受“技术不仅是工具，也是数学的一部分”。

随时随地“学”“做”“用”数学是HP的设计理念之一。以其为媒介可以为学生的数学学习提供“应用套件”，生动地展示数学对象的动态变化过程、实现动态与静态间的适时切换；更为学生创设可完全自主移动学习的新环境。在这一无围墙学习环境中，学生自主地在“问题空间”里进行探索，看他们以往只能“想象”的数学，“做”他们以往不能做的数学，为数学学习的形式和空间带来了新的气象和新的内涵。

策略2：教师层面——关注知识境脉，设计活动进阶

对于教师而言，首要的是用技术提高信息技术操作水平，否则就不知道在什么地方可以用，既要了解其在教学中的优势与缺陷，又要防止“功能固着”。但教师学会技术，并不意味着就会自然而然地把技术融入自己的教学，教师应用技术进行有效教学的前提是，教师对技术融入教学的境脉（Context）及复杂性保持敏感，深刻理解技术与学科教学之间相互作用的微妙关系，进而创造性地理解和赋予技术在课堂教学中的功能和价值。

我们知道，信息技术的应用是一个劣构问题，因此更好地理解数学教学中的信息技术，要求关注“技术一教学一内容”三类知识之间的关联，而它们交叠部分TPACK（融合技术的学科教学知识）正是应用技术时应当指向的核心。一方面，需要关注知识境脉的整体性，充分考虑具体内容的教学及课堂情境，始终围绕技术知识与学科教学知识的复杂互动，来设计开放式的、灵活的任务，以帮助学生理解数学本质、促进学生高水平思维参与。另一方面，需要关注活动设计的进阶性，通过丰富多样、层层递进的活动设计帮助学生积累足够的原初经验，提供即时验证、反馈环境，在增进理解、强化应用和培养创新能力上下功夫。我们不能止步于学生的浅层学习和机械学习，而要适应培养学生高阶思维的教学需求，保持学生应有的数学思考水平和强度，在促进知识水平的垂直增长上下功夫。

策略3：课程维度——挖掘技术潜力，开发课程资源

发挥技术的教育价值、实现技术与数学的真正融合，需要我们从具体教学内容出发，研究学生的认知难点和技术优势，进而设计环节架、设桥梁以启发思维，或理解数学内容，或探索、发现和解决问题；需要明晰技术具体用在哪里、如何使用、为什么要使用。显然并没有多少固定程式和现成资源可直接应用，需要我们自己来挖掘技术、开发资源，如前面提及的复合函数的“模块化研究”、导数运算法则的教学流程再造等，便是对技术在课堂教学中的功能和价值的一种理解和赋予。

借助Connkit课堂管理系统、无线模块所搭建的HP e-数学实验室环境，教师可以预设实验素材（图6为三角函数图象生成实验，图7为椭圆的中点弦轨迹探究实验）即时发送学生，支持学生开展数学实验活动，在“创设情境─活动与实验─讨论与交流─归纳与猜想─验证与数学化”中理解数学、发现知识。

图6 图7

交互式、多样化实验学习环境的构建，离不开教师的精心设计和斟酌思考，而实现用“火热的思考”融化“冰冷的美丽”的教学任务，也离不开对“技术”“设计”和“学习”的意义的不断追问和深刻理解：技术不是机械刻板的工具，而是极具可塑性的“社会的行动者”；学习不是“一锤子买卖”和简单接受的过程，而是个体发展转换性思维的过程。

技术融入教学，要求在教育和技术之间自由穿梭，真正把信息技术看成与黑板和粉笔一样的教与学工具，切实改进传统数学教学的不足；要求实现技术与课程的流畅互动，真正促进学生对概念和数学问题的整体理解，帮助其洞察内容本质，寻找解决复杂问题的途径。

项目资助：江苏省教育科学“十二五”规划2015年度重点课题《高中数学可视化教学的实践研究》，编号B-a/2015/02/010。

（作者单位：江苏常州市第五中学）