提炼·抽象·简化·应用

黄红成

摘要：数学是模式的科学。把握数学模型的类型，掌握数学模型的建构方法，让学生运用数学模型解决问题以形成初步的模型思想是数学教学的应然举措和重要任务。

关键词：数学模型；类型：建构；要点

数学是模式的科学。《数学课程标准（2011年版）》在“课程设计思路”中明确指出.数学教学要让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、建构数学模型、寻求结果、解决问题的过程。同时，新课程又大力倡导“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的“问题解决”式学习模式。因此，把握数学模型的类型，掌握数学模型的建构方法.让学生运用数学模型解决问题以形成初步的模型思想是数学教学的应然举措和重要任务。

一、数学模型的呈现类型

数学模型有广义和狭义之分。张奠宙认为，“广义上讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。”狭义上理解，只有反映特定问题和特定具体事物系统的数学关系结构，才能称之为数学模型。在当下的小学数学课堂教学（或教材）中，由于受学生知识视野、认知方式等因素的影响，数学模型的呈现通常表现为这样三种类型。

1.文字描述。文字描述是数学教材呈现数学模型的重要方式。很多数学概念、性质通常都采用语言文字来进行描述。例如等式的性质呈现为“等式的两边同时加上或减去相同的数，所得结果仍是等式”和“等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），所得结果仍是等式”。

2.符号表述。符号表述也是数学教材呈现数学模型的常见方式。一些数学定律、性质也常常借助数学符号来揭示个中特定的数量关系和变化规律。例如加法结合律呈现为“（a+b）+c=a+（b+c）”，乘法分配律呈现为“a×（b+c）=a×b+a×c”。

3.图形概述。图形概述是数学模型呈现方式一种必要补充。有些数学概念较为抽象，文字描述不便于学生把握概念的本质，可以借助图形来帮助学生理解概念的意义。例如小数的意义.可以借助“把一条线段或一个长方形平均分成10份，表示其中一份或几份的部分可以写成一位小数”的方式来帮助学生理解小数的意义。

二、数学模型的建构方式

数学建模就是建立数学模型的过程，包括对实际问题进行提炼、抽象、简化，以及确立、解释、应用和拓展数学模型等过程。数学教学，需要帮助学生建立数学模型，给学生创造借助数字、字母、图形等媒介来表示各种现象或规律中的数学结构的机会.给学生搭建感悟、理解数学模型和运用数学模型解决问题的舞台，进而让学生深刻把握数学的本质和形成初步的数学模型思想。

（一）提炼问题，建构模型

从所发挥的作用角度审视，数学模型揭示了数学对象或问题的本质属性和共同特征。所以教学中，需要引导学生对数学对象或问题进行对比分析，采用合适的方式表现出对象或问题中的共同属性，利于学生把握数学问题的本质。例如在教学小数的意义时，课始笔者直接出示图1：

师：把整个正方形看做“1”，涂色部分用哪个分数表示？

生：2/10。

师：为什么可以用2/10表示？

生：因为平均分成了10份，表示其中的2份。

师：其中2份除了可以用2/10表示，也可以用小数0.2表示（板书：2/10，0.2）。

出示图2。

师：这样的7份用哪个分数表示？

生：7/10。

师：也可以用小数0.7表示（板书：7/10，0.7）。这样的5份可以用哪个小数表示呢？

生：0.5。

师：想一想，0.9用图怎样表示？

生：把一个正方形看做“1”，平均分成10份，涂其中的9份。

师：这里的9份用分数怎样表示？

生：9/10。

师：比一比这些分数，有什么相同的地方？

生：都表示十分之几。

师：分母是10的分数还可以用什么表示？

生：小数。

分析上面的片断，结合两个图形，先让学生用分数表示其中的涂色部分，然后引出小数的表示方法.再让学生思考小数用图形怎样表示等问题。这样教学，采用了直观教学的方式，避免了学生对枯燥的小数意义的掌握和理解。同时在比较表示涂色部分的分数异同的过程中，让学生迅速感悟到分母是10的分数也可以用小数来表示。并且这些图形也可以看成是这些小数的数学模型，有利于学生形象地把握小数的本质意义.为后面更复杂的小数意义的认识和小数的大小比较做了充分的铺垫。

（二）抽象对象，建构模型

在小学阶段.受小学生学习能力的左右.教学材料和教学手段通常都是直观易感的，也容易使学生对问题的认识滞于浅表，只有适时对直观的学习材料进行抽象.才能提高学生对数学问题或概念的认识.达到准确把握数学本质的教学目的。例如在教学《认识周长》让学生理解周长的意义时，笔者首先创设了灰太狼绕长方形操场一周的情境（红线是灰太狼行走的路线，如图3）。

让学生回答第一次为什么不是绕操场的一周的原因.继而初步判断什么是图形边沿的一周.然后再让学生用彩笔描下面图形的一周（如图4）。

师：第5幅图形的一周在哪儿？谁来指一指！

学生上前指示。

师：中间的竖线是整个长方形的一周吗？

生：不是！

师：比较一下，下面三个图形一周的长度一样吗？哪个最长？哪个最短？

出示图5。

生：不一样！圆形一周的长度最长，正方形一周的长度最短。

师：圆形一周的长度最长也就是指它的周长最长，那正方形什么最短呢？

生：周长。

师：谁能用一句话来说一说，什么是图形的周长？

生：图形边沿的长度叫做周长。

生：图形一周的边线的长度叫周长。

生：图形一周的长短叫做它的周长。

周长的概念是抽象的.教材通常采用“（封闭）图形一周的长短叫做它的周长”的文字来表述周长的数学模型，而且学生也难以从单一的教学材料中感悟到的周长的意义。审视上面的教学过程.笔者让学生经历了几个不同层次的学习活动，让学生先初步判断，然后感受和体验“什么是图形的一周？什么不是图形的一周？图形的一周有的长有的短”的过程，使得学生即使脱离具体的图形和学习活动，也能比较准确地理解抽象的文字所表述的数学模型的真正含义。

（三）简化背景，建构模型

数学建模的过程是一个逐步抽象、逐渐简化的“数学化”的过程。教学时，可以采用变式的方式，不断变化数学问题的背景或非本质属性，并在变化中建构出数学问题的数学模型，进而突出数学问题的本质意义。例如三年级下册的《认识分数》，要让三年级的小学生准确而深刻地理解“把一些物体看成一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份也可以用几分之一或几分之几来表示”是存在一定认知困难的。为了突破这样的教学难点.笔者进行了如下教学——

出示主题图中的问题：把一盘桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？

师：如果盘子里只有1个大桃，要平均分给4只小猴，那就需要平均分成几份？每只小猴分得几份？是这盘桃的几分之几？

生：4只小猴，平均分成4份，每只小猴分得1份，是这盘桃的1/4。

师：如果这盘桃有4个，每个一样大小。咱们是把每个桃都平均分成4份然后分给小猴.还是把它们看成一个整体来平均分？

生：看成一个整体。

师：看成一个整体，我们需要用集合圈把它们圈起来。

媒体演示。

师：还得平均分成几份？每只小猴分得几份？是这盘桃的几分之几？

生：平均分成4份，每只小猴分1份，是这盘桃的1/4。

出示图6。

师：如果这盘桃有8个。把它们看成一个整体怎样表示？

生：用个圈圈起来。

师：把这个整体平均分成几份？每只小猴分得几份？是这盘桃的几分之几？

生：平均分成4份，每只小猴分l份，是这盘桃的1/4。

出示图7。

师：如果这盘桃有12个，你能回答这个问题吗？

生：把12个桃看成一个整体平均分成4份，每只小猴分得1份，是这盘桃的1/4。

出示图8。

师：还需要再变一变吗？为什么？

生：不需要。因为不管盘子里有几个桃.只要平均分成4份，每份都是这盘桃的1/4。

师：既然跟这盘桃的数量没有关系，咱们就隐去这些桃的个数。

出示图9。

师：如果每份中都放4个桃，每份还是这个整体的1/4吗？5个桃呢？7个苹果呢？

……

在这个过程中，笔者结合“想知道这盘桃有几个吗”的问题引发学生对这盘桃的个数的思考，然后带领学生依次确定和变化桃子的个数解决“每之小猴分得这盘桃的几分之几”.使学生认识到“不管盘子里有多少个桃，只要平均分成4份，每份都是这盘桃的1/4”。如此操作，将具体的教学实例逐渐简化、抽象成数学模型（见图10中的图形），不但减小了学生的认知困难，也实现了学生对分数意义的认知飞跃，从而深刻地把握了分数意义的本质。

（四）探索应用，建构模型

建构数学模型是解决问题的需要.它是学生学习的数学思想方法和解决问题的有效手段，能够提高学生的数学能力。有些数学知识仅表示一种数学模型的一个方面，学生初步认识时不便建构出数学模型，而在应用过程中逐渐体现数学模型的作用，生发建构数学模型的需要。例如公倍数和公因数，教材呈现了这样两个问题：

例1 用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺右边的两个正方形。

例2 分别用边长6厘米和4厘米的正方形纸片铺右边的长方形。

可以说，两个例题中的两个图形（左图中边长6厘米的正方形和右图中的长方形）就是公倍数和公因数的数学模型。在教学时，为了让学生清晰地理解公倍数的意义，教材通常从文字叙述“某数既是一个数的倍数又是另一个数的倍数，那么某数就是这两个数的公倍数”和“某数既是一个数的因数又是另一个数的因数，那么某数就是这两个数的公因数”出发，让学生弄明白什么是公倍数，什么是公因数。然而机械记忆这样的叙述，并不利于学生解决类似“用一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸剪同样大的正方形.正方形的边长最大是多少？可以剪出几个”的问题，少数学生分辨不清先求公倍数还是公因数。对此，每当遇到类似的问题，笔者都让学生结合教材中的这两幅图形，让他们自己感悟和确定问题求什么。由于有了这样的应用、对比和强化的过程，这样两个图形就自然成为学生解决问题的数学模型，且在头脑中建立清晰的数学表象，从而能够借助数学模型正确而熟练地解决问题。

三、建构数学模型的教学要点

1.注重数学模型呈现方式的丰富

片面的教学手段、单一的数学模型建构方式，不利于学生对数学问题本质的掌握和理解，所以在教学中，我们要兼用多种呈现数学模型的方式.让学生采用不同的方式理解数学问题或概念的本质.运用不同的方法掌握数学知识。例如分数的基本性质，教材通常采用文字予以描述其数学模型的。如果照本宣科难免显得枯燥，而且记忆单一的文字也显得乏味，所以在总结阶段.我们可以在文字表述的基础上.增加诸如“a/b=（a×k）/（b×k）（k≠0）”的符号表述方式等.

2.关注数学模型呈现形式的选择

数学模型的呈现方式虽然需要多样化，但是有的也存有呈现方式的局限性。恰当的呈现方式能够帮助学生理解问题，数学教学要关注数学模型呈现形式的选择。例如一一间隔排列的规律有“两端相同和两端不同”情况.采用“两端相同，两端物体的个数-1=中间物体的个数，中间物体的个数+1=两端物体的个数：两端不同，两端物体和中间物体个数相同”的呈现方式显然不尽科学，因为在两端不同的情况下不存在“中间物体”。教学时，可以借助字母和符号来进行建模，如“首尾相同：ABAB……ABA，那么A的个数-1=B的个数，B的个数+1=A的个数：首尾不同：ABAB……AB，那么A和B的个数相同”，这样既直观又科学。