浅谈初中数学教学中的最短路径问题

王素娟

摘要：中学数学中最短路径问题，生动地体现了数学来源于生活及用数学解决现实生活问题的数学应用性。在初中数学中有关最短路径的问题可分为点点之间的最短路径问题、点线之间的最短路径问题以及立体图形展开图中的最短路径问题。

关键词：初中数学；最短路径；转化；对称；展开图

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2016）18-0055-02

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”正如前辈所说，数学与我们的生活息息相关，数学的脚步无处不在。随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营、建筑中的问题，于是就出现了为省时、省力而希望寻求最短路径的数学问题。其问题主要依据是“两点之间，线段最短”、“点到直线上的所有线段中，垂线段最短”以及利用轴对称的性质、平面展开图等知识来解决，特别是要用轴对称进行转换以及将空间问题转化为平面问题来解决初中数学中的最短路径问题。初中数学中最短路径问题，生动地体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。在初中数学中有关最短路径的问题可分为点点之间的最短路径问题、点线之间的最短路径问题以及立体图形展开图中的最短路径问题。

一、点与点

如图，点A到点B的最短距离为：线段AB的长度。其中的数学道理我们都知道是“两点之间线段最短”。由此也就引出了三角形的三边关系：三角形两条边的和大于第三条边。

二、点与线

如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由垂线段最短。

三、两点一线：分为以下两种情况

情况一：两点在一条直线异侧

例：已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求。

（其依据：两点之间线段最短.）

情况二：两点在一条直线同侧

例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短。【分析】只有A、P、B在一直线上时，才能使AP+BP最小。作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点P，则点P就是所求的点。

四、一点两线（一点在两相交直线内部）

例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

【分析】：当AB，BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小。

作法：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求。

五、两点两线

例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

作法：1.作点c关于直线OA的对称点点F；

2.作点D关于直线OB的对称点点E；

3.连接EF分别交直线OA、OB于点G、H；

则CG+GH+DH最短。

六、立体图形展开图中的最短路径问题

1.在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程

将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽。可求出最短路程。

例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个轴截面，AB=8/π，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么最近的路程长为____。

【分析】：我们要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果。

解：将圆柱体展开，连接A、C，AC长即为所求。

2.在长方体中可将其侧面展开求出最短路程

例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为__cm。

【分析】：将此长方体展开，在平面内，利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求两点A、B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短路径。

解：因为平面展开图不唯一，所以我们要分三种情况进行讨论并比较大小，从而确定出最短路径。

（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB²=（5+4）²+3²=90；

（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB²=（3+4）²+5²=74；

（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB²=（3+5）²+4²=80：

总之，数学来源于生活，同时数学也服务于生活。在解决初中数学中的最短路径问题时，我们需要用数学中的“转化思想”将生活中的问题转化为“两点之间线段最短”的问题或运用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。我们还应注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法。

【责任编辑 姜华】