圆锥曲线相交切线性质再探

湖北省阳新县高级中学

邹生书　　(邮编：435200)



初数研究

圆锥曲线相交切线性质再探

湖北省阳新县高级中学

邹生书(邮编：435200)

2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛已落下帷幕，高二年级第13题也就是最后一道题，是一道抛物线双切线性质的证明题，笔者感觉似曾相识却又有几分陌生，题目与解答如下：

性质1过抛物线y2=2px(p>0)外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N、F为抛物线的焦点，则(1)FP2=FM·FN；(2)∠PFM=∠PFN；(3)∠PMF=∠FPN，∠PNF=∠FPM.

类比、推广、特殊化、化归等是数学思考的常用逻辑方法，是发现问题、提出问题，进而探索问题和解答问题的重要途径.这是笔者曾在文中所研究过的问题，下面通过特殊化、类比和归纳等思维方法对圆锥曲线两相交切线的性质进行再探讨.

对于性质1中抛物线双切线的优美性质，在椭圆和双曲线中是否仍然有类似的性质呢？

于是椭圆的两条相交切线有如下性质：

对于双曲线的两条相交切线通过探究我们有如下性质：

对于双曲线，只需将椭圆探究过程中b2换成-b2即可.与椭圆一样，FP2=FM·FN，∠PMF=∠FPN，∠PNF=∠FPM都不恒成立.

故当点M、N在双曲线的同一支时，cos∠PFM=cos∠PFN， ∠PFM=∠PFN；当点M、N分别在双曲线的两支时，cos∠PFM=-cos∠PFN，∠PFM+∠PFN=180°.

评注对于性质3中的两个角∠PFM,∠PFN，笔者在文中只有相等这个结论，高慧明老师在文中指出了这两个角还有互补的情形，并在文中用双曲线的光学性质和平面几何知识给出了证明.

综合归纳抛物线、椭圆和双曲线的以上性质，可得圆锥曲线相交切线有如下统一性质：

性质4设点F是圆锥曲线C的焦点，若过点P的直线PM、PN分别与曲线C相切于M、N两点(当曲线C为双曲线时，点M、N在同一支上)，则∠PFM=∠PFN.

1邹生书.圆锥曲线切线的一个优美性质,数学通讯(下半月),2009(1)

2高慧明.圆锥曲线的优美性质再思考，中小学数学高中版，2009(7—8)

3邹生书.圆锥曲线互相垂直切线交点的轨迹,中学数学研究(南昌),2011(4)

2016-05-26)