双分数布朗运动环境下重置期权定价

董莹莹，薛　红

（西安工程大学理学院，西安710048）

双分数布朗运动环境下重置期权定价

董莹莹，薛红

（西安工程大学理学院，西安710048）

假定股票价格满足双分数布朗运动驱动的随机微分方程，期望收益率、无风险利率和波动率均为常数，根据双分数布朗运动随机分析理论，建立双分数布朗运动环境下金融市场数学模型，运用保险精算方法，得到了双分数布朗运动环境下重置期权定价公式.

双分数布朗运动；保险精算；重置期权

重置期权是现代金融市场中广泛应用的一种新型期权［1］.当股票价格达到某一约定水平时，按照此合约规定将重新设定交割价格，以便使持有者拥有更多的获利机会，深受投资者的喜爱重视.文献［2］首次利用偏微分方程方法给出了几何布朗运动下重置期权价格的数值解.通过对金融市场大量的实证分析发现股票价格对过去价格具有依赖性，而分数布朗运动具有自相似性、长期相依性等特征，并且是一个高斯过程，因此分数布朗运动能更好的刻画股票价格变化.文献［3］利用保险精算方法给出了分数布朗运动环境下重置期权定价公式.在分数布朗运动环境下关于重置期权定价的研究可参考文献［3-4］.近几年，不少学者提出了双分数布朗运动，将其应用到金融市场中并得到了一些研究成果.文献［5］首次提出了双分数布朗运动.双分数布朗运动是更一般的高斯过程，它不仅无独立增量性，而且也不具有平稳增量性，它是分数布朗运动的一种推广，可以描述比分数布朗运动更一般的金融现象.文献［6］利用偏微分方程方法得到了双分数布朗运动环境下股本权证的定价.文献［7-8］利用双分数布朗运动随机分析理论研究了双分数布朗运动的二次变差及双分数布朗运动环境下的风险信用模型.目前，关于重置期权定价的方法有多种，如鞅方法、偏微分方程方法、Monte Carlo模拟方法、保险精算方法等.其中，保险精算方法适用范围较广，保险精算方法［9］是由Mogens Bladt与Tina Hvid Rydberg于1998年首次提出的，关于保险精算方法的应用可参考文献［9-12］，保险精算方法突出的优点是它对金融市场没有做任何要求，计算潜在损失时仅用了风险资产按期望收益率折现，无风险资产按无风险收益率折现的思想，其结果对无套利、均衡、完备市场和有套利、非均衡、不完备市场均有效.本文在股票价格满足双分数布朗运动驱动的随机微分方程的前提下，利用保险精算方法推导出双分数布朗运动环境下重置期权的定价公式.

1　双分数布朗运动环境下金融市场模型

定义1［5］｛BH，Kt，t≥0｝，0＜H＜1，0＜K≤1，称为双分数布朗运动是指为中心高斯过程，且满足：

当K=1时，｛BH，Kt，t≥0｝为参数为H的分数布朗运动；特别地，当时，为标准布朗运动.关于双分数布朗运动相关性质和随机分析基本理论可见文献［5］.

假设股票价格｛St，t≥0｝满足方程

引理1［6］随机微分方程（1）的解为

定义2［3］价格过程｛St，t≥0｝在［t，T］的期望收益率βu，u∈［t，T］定义为

引理2在概率空间P下，｛St，t≥0｝在［0，T］上的期望收益率为，βu=μ，u∈［0，T］.

证明由引理1可知

则

2　重置期权定价公式

定义3［3］假定期权的敲定价格为Y，到期日为T，用C（t，T，Y）（P（t，t，Y））表示欧式看涨（看跌）期权在时刻的价格，对于规定时间的重置看涨期权，设重置时间为T1，（0＜T1≤T），则重置执行价格，ST1为T1时刻股票价格，CRS（t， T1，T）表示重置欧式看涨期权在时刻t的价格.

定理1双分数布朗运动环境下，到期日为T，执行价格为X的欧式看涨期权在时刻t的保险精算定价为

C（t，T，X）=S（t）Φ（d1）-X exp｛-r（T-t）｝Φ（d2），其中

Φ（x）为一元正态分布函数，X为标准欧式看涨期权的执行价格.

证明因为

记

故

综上，定理得证.

定理2重置时间为T1的重置欧式看涨期权在时刻的保险精算定价为：

1）在任意时刻T1≤t≤T，CRS（t，T1，T）=C（t，T，Y）I｛ST1≥Y｝+C（t，T，ST1）I｛ST1＜Y｝；

2）在任意时刻0≤t≤T1，

其中ρ1为与的相关系数，ρ2为与的相关系数，N（x，y，ρ）dmdn为二元正态分布函数.

证明1）当T1≤t≤T时，由欧式期权的定价公式易得结论.

2）当0≤t≤T1时，记

计算I1.

因为A∩C=

计算I2.

计算I3.因为B∩D=，则

计算I4.

合并上述I1，I2，I3，I4的计算式即证定理1.

注1）当K=1时，可得分数布朗运动环境下重置期权定价公式（见文献［3］）；

2）当T1=T时，可得双分数布朗运动环境下标准欧式看涨期权的保险精算定价公式（见定理1结论）.

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Reset option pricingmodels in Bifractional environment

DONG Ying-ying，XUE Hong
（School of Science，Xi’an Polytechnic University，Xi’an 710048，China）

Assume that the option price satisfies stochastic differential equation driven by bi -fractional Brownian motion.Also，the expected rate and risk-less rate and the volatility were constants.The financialmarketmathematicalmodelwas builtby the stochastic analysis for bi-fractional Brownian motion.Using the actuarial approach，the pricing formula of reset option in bi-fractional Brownian motion environmentwas obtained.

bi-fractional Brownian motion；actuarialmathematics；reset option

O211

A

1672-0946（2016）02-0242-04

2015-11-04.

陕西省教育厅专项科研基金项目（14JK1299）；西安工程大学研究生创新基金（CX201613）

董莹莹（1992-），女，硕士，研究方向：金融数学.