基于均龄理论高效计算萃取塔轴向混合分布

陈　杭，孙　泽，宋兴福，于建国

（华东理工大学国家盐湖资源综合利用工程技术研究中心，上海 200237）



基于均龄理论高效计算萃取塔轴向混合分布

陈杭，孙泽，宋兴福，于建国

（华东理工大学国家盐湖资源综合利用工程技术研究中心，上海 200237）

在验证了CFD单相流场模拟的基础上，采用均龄理论计算了中试转盘塔内的轴向混合分布，并将计算结果和理论平均停留时间以及组分输运模型计算值进行对比。结果表明：均龄理论能准确预测转盘塔内的轴向混合信息，且其计算时间只需数十秒，远小于传统组分输运模型所需的两周时间，具有低计算量的特点；同时均龄理论克服了传统组分输运模型无法模拟轴向混合空间分布的缺陷，为萃取塔内部结构优化提供了更多信息，是一种高效的模拟方法。后续均龄理论模拟结果的分析预示着转盘塔内的流动近似呈现出级内全混、级间平推的特点，符合萃取操作的需求；而相对于转盘间良好的混合作用，静环间存在明显的流动死区，造成一定的非理想性，其结构有待于进一步的优化。

萃取；转盘塔；计算流体力学；均龄理论；数值模拟；轴向混合；

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151476

引　言

转盘塔是一种重要的萃取设备，因其结构简单，处理量大，安装维修方便的优点而广泛应用于化工分离过程［1］。相比较于其他搅拌型萃取塔，转盘塔的能耗较低，但其萃取效率也明显偏低［2］，这与塔内轴向混合有着密切的联系［3］。萃取塔内的搅拌混合在保证两相充分接触的同时也会引起返混、前混、沟流等各种非理想性流动，进而降低传质推动力及萃取效率［4］。大型工业塔中，通常有60%以上的塔高专门用于补偿轴向返混所引起的传质效率的降低［5］。因此，转盘塔内轴向混合的研究对于萃取塔的设计和强化具有重要意义［6］。

目前，关于轴向混合的研究主要基于轴向混合模型，即采用单一的轴向混合系数来描述流动的非理想性［7］。一般在获得停留时间分布后，可利用轴向混合模型近似解计算得到轴向混合系数，进而评估塔内轴向返混程度。该方法已成功应用于转盘塔内轴向混合系数的计算［8-9］，且其中停留时间分布曲线的获得也从传统的示踪法实验测量［10-12］发展到更为高效的计算流体力学（CFD）模拟［13-16］。但依据停留时间分布计算得到的轴向混合系数只体现了进料点与监测点之间轴向混合的整体信息，无法反映塔内轴向混合的具体分布情况，因而，其结果可用于整塔设计及校核计算［17］，但对塔内内构件的开发和改进并无针对性的指导意义。另外，相比于实验测量，CFD模拟确实提高了轴向混合的评估效率，但停留时间分布的模拟意味着长时间的非稳态计算，故其应用仍受到高额计算成本的限制，尤其是对于大规模塔器而言。

均龄理论［18-19］的提出为轴向混合的计算提供了一种新的途径。其基本思想是从轴向混合模型出发，推导得出停留时间分布各阶矩量的控制方程，并利用CFD求解进而直接计算得到轴向混合结果。由于各阶矩量是停留时间分布随时间积分处理后的结果，其应用将控制方程内原有的非稳态项转化为稳态源项，因此，均龄理论避免了停留时间分布的直接模拟，在提高了计算效率的同时获得了轴向混合的分布信息。简而言之，均龄理论通过牺牲意义较小的时间信息得到了更多、更有用的空间分布信息，从而克服了传统组分输运模型的缺点。

目前，均龄理论已成功应用于搅拌槽反应器［20-22］及静态混合器［23］的混合研究，但未有应用于萃取塔的相关报道，且有关萃取塔内轴向混合的研究大都基于传统的停留时间分布计算方法，缺乏塔内轴向混合空间分布的探索，另外，不同于传统的二维或三维模型，转盘塔的模拟往往采用二维旋转轴对称假设［24］，在此简化条件下均龄理论是否仍适用亦未可知，为此，本文利用均龄理论研究了中试转盘塔内的轴向混合。

1　数学模型

1.1几何及物理模型设置

图1　中试转盘塔几何模型及网格方案Fig.1　Geometry and grid scheme of pilot-scale RDC（a） column geometry； （b） geometrical sizes； （c） grid layout

中试转盘塔塔径为150 mm，转轴直径54 mm，模型采用二维旋转轴对称假设，其具体几何及内部尺寸如图1所示。计算域采用四边形网格进行离散，根据前期计算结果［15］，网格无关性尺寸选定为0.5 mm。模拟的流体介质为水，其塔顶入口和塔底出口均采用速度边界条件，除特殊说明外，其流量为200 L·h-1，转盘转速为150 r·min-1，所有壁面采用无滑移边界条件。数值离散采用QUICK格式，模型计算收敛标准为10-4（组分输运模型为10-7），时间步长为0.001 s，以保证Courant数小于1。

1.2CFD单相流模型

CFD流场模拟是组分输运模型及均龄理论计算的基础，为此建立了转盘塔的CFD单相流模型，其控制方程主要包括连续性方程和动量守恒方程

式中，ρ为流体密度，t为时间，u为流体速度，p为压力，τ为切应力，g为重力加速度。

Drumm等［25］对不同湍流模型的模拟结果进行了比较，并推荐采用雷诺应力模型（RSM）计算转盘塔单相流场，故本文直接采用RSM封闭时均化后的动量方程，其具体模型可见文献［26］。

1.3组分输运模型

在CFD流场的基础上进一步建立组分输运模型，作为均龄理论的对比验证。其控制方程为

式中，Y为组分浓度，D为扩散系数，Dm为分子扩散系数，μt为湍流黏度，Sct为Schmidt数。

在CFD流场稳定后，采用0.5 s时间间隔内纯组分进样的方式模拟脉冲信号，同时，在图1中点P1、P2、P3、P4、P5、P6及出口处开始监测组分浓度，从而得到各监测位置离散化的停留时间分布曲线。萃取塔轴向混合以量纲1 Peclet数（Pe）表示，其计算［27］如下

式中，ta表示平均停留时间，σ表示停留时间分布的方差，u表示特征速度，L表示特征长度。

1.4均龄理论

Liu等［18］以一阶矩量为例给出了均龄理论的推导过程，本文则列出了其通用形式。

首先，式（3）两边同乘以tn并积分可得

根据分部积分，式（8）左边第1项有

在无限长时间域上，塔内浓度终将为0，故有

式（10）代入式（8）则有

停留时间分布的n阶矩量（Mn）定义为

则根据式（11）可得均龄理论的控制方程为

由矩量定义可知，停留时间分布零阶矩为量纲1单元1，其一阶矩为平均停留时间，求解得到一阶和二阶矩量值，即可利用式（6）和式（7）计算Peclet数。控制方程式（13）在壁面和出口采用零通量边界，而在入口处，组分刚进入计算域，因此有

所有模型均采用商业软件Fluent 14.0求解，均龄理论则通过其中的自定义标量方程（UDS）和自定义函数（UDF）功能实现。

2　实验结果与讨论

2.1转盘塔单相流场模拟结果

无论是组分输运模型还是均龄理论，都是基于CFD稳定流场进行计算的，因此，有必要对转盘塔单相流场模拟结果进行验证和讨论。

Drumm等［25］利用粒子图像测速仪（PIV）测量了中试转盘塔内沿直线L1（图1）的速度分布，本文模拟结果与其报道实验数据之间的对比如图2所示。结果显示模拟和实验值有着较好的吻合，说明模型能合理预测转盘塔的单相流场，为后续组分输运模型和均龄理论计算提供了基础保障。

图3为转盘塔内单相流场的速度云图及矢量图，其中图3（a）表示塔内流体总速度，图3（b）则表示径向和切向合成的平面速度。从图中可以看出，转盘塔内流体速度从转轴至塔壁逐渐减小，转盘之间的流速明显大于静环之间的速度，这主要归因于转盘转动引起的显著切向运动。其次，图3（b）显示转盘及静环间存在明显的涡流结构，这是搅拌所引起的离心力和重力共同作用的结果，也是图2中速度分布近似呈现出M形状的主要原因。由于涡流结构和塔体几何结构存在一定差异，可以看出静环角落处存在明显的流动死区。

图2　转盘塔单相流场速度分布验证Fig.2　Validation of CFD simulated velocity distribution for RDC

2.2均龄理论的模型验证

为充分说明均龄理论模型的准确性，本文采用两种方式进行了验证，一是与理论平均停留时间计算值的对比，二是与传统组分输运模型计算结果的对比。

对于转盘塔而言，在几何与流量恒定的条件下，组分从进入塔体到离开塔体的理论平均停留时间（ta）可由式（15）计算

式中，V为转盘塔有效体积，Q为转盘塔操作流量，且该式已得到理论和实验双重验证［28-29］。

通过均龄理论计算了中试转盘塔在不同流量条件下出口处的平均停留时间，并与式（15）的理论计算值进行对比，其结果如图4所示。可以发现计算值和理论值有着非常好的吻合，模型计算误差均小于0.1%，有效说明了均龄理论的合理性和准确性。

图4　均龄理论计算值与理论平均停留时间的对比Fig.4　Comparison of mean residence time data calculated by mean age theory with theoretical values

图5　不同位置模拟得到的停留时间分布曲线Fig.5　Simulated residence time distribution curves at different positions

与此同时，均龄理论计算结果也与传统组分输运模型进行了对比。采用组分输运模型，得到了点P1、P2、P3、P4、P5、P6（图1）及出口处的停留时间分布曲线，其模拟结果如图5所示，根据分布曲线所得的各位置处平均停留时间计算结果则如表1所示。通过对比发现，均龄理论模拟值和组分输运模型计算值有着很好的吻合，两者之间相差不超过0.5%，这进一步说明了均龄理论的准确性，并确保模型能用于转盘塔内轴向混合的考察。

表1　R均龄理论和组分输运模型计算结果对比Table 1　Comparison of mean age theory and species transport model

根据上述结果，均龄理论在模拟精度上和传统组分输运模型大致相当，但其计算量得到了大幅度的下降。在惠普工作站（Xeon W3520，16GB内存）上模拟图5所示的停留时间分布曲线需要两周时间，而利用均龄理论，在同样计算条件下耗时不到1 min，其主要原因在于均龄理论将传统组分输运模型的非稳态模拟转化为了稳态计算。因此，均龄理论在获得轴向混合空间分布信息的同时大大提高了计算效率，是一种高效的计算方法。

2.3转盘塔内的轴向混合

均龄理论计算结果提供了转盘塔内有关于轴向混合空间分布的详细信息。图6显示了中试转盘塔内平均停留时间的分布情况，为更清晰地体现塔内平均停留时间分布状况，采用了三维作图方案。从图中分布可以看出，在塔节间，平均停留时间从塔顶到塔底逐渐增加，而在塔节内，平均停留时间则大致相当。近似来说，整个萃取塔呈现出塔节内全混流、塔节间平推流的特点，这对于萃取操作而言是有利的，塔节内的混合使得两相充分接触传质，而塔节间的平推又抑制了轴向混合所带来的推动力的降低。

相比于转盘之间的结果，静环之间平均停留时间的分布存在明显的不均匀，角落和中心处的平均停留时间值明显偏高，这主要归因于流动死区的存在。从2.1节关于流场的讨论可知，静环角落处的流动死区主要归因于流场结构和塔节几何不一致所导致的低流速；而静环隔室中心的流动死区则由循环涡流结构引起，当流体被卷入静环间的涡流时，循环作用会导致其拥有更大的停留时间，从这个角度讲，流动死区不一定都是低流速引起的，而相比于流场分析，均龄理论在流动死区识别方面更具优势［18］。

图6　转盘塔内平均停留时间的分布Fig.6　Distribution of mean residence time in RDC

图7　转盘塔内轴向混合系数及Peclet数分布Fig.7　Distributions of axial mixing coefficient and Peclet number in RDC

图7为转盘塔内轴向混合系数和Peclet数的分布云图。从图7（a）可以看到，转盘间的轴向混合系数明显大于静环间的结果，这预示着转盘间的隔室具有更为明显的搅拌作用，主要用于流体混合，而静环间的隔室混合较弱，主要起分相作用，这也是转盘之间平均停留时间分布更为均匀的原因。根据均龄理论一阶矩M1和二阶矩M2计算得到的塔内Peclet数分布如图7（b）所示，从图中可以看到，静环间的Peclet数要大于对应转盘间的结果，且其分布更不均匀。由定义可知，Peclet数是对流和扩散作用相对强弱的综合描述，静环间Peclet数较大主要是因为静环间轴向混合系数小，湍流扩散作用弱，另一方面则是由于静环间涡流结构所导致的强对流。实际上，静环间涡流结构的本质可认为是重力和离心力双重作用导致的流量分配不均匀性，进而形成了强对流与流动死区并存的流场结构，由于静环间扩散作用相对较弱，故这种流量分配的不均匀性最终亦体现在了Peclet数的分布上。因而， Peclet数的分布进一步说明萃取塔内转盘间的混合作用较好，而静环间流动存在明显的非理想性，有待于结构上的优化。

3　结　论

本文将均龄理论应用于转盘塔内轴向混合的研究，在CFD模型验证的基础上对塔内轴向混合的计算结果进行了讨论，主要结论如下。

（1）流场与均龄理论计算的验证结果表明基于CFD模拟的均龄理论能有效应用于萃取塔内轴向混合的评估，且均龄理论通过矩量定义巧妙地将非稳态项转化为稳态源项，其计算时间不到1 min，远远小于传统组分输运模型的两周，具有低计算成本的优势。

（2）传统组分输运模型对于塔内轴向混合的计算主要是基于停留时间分布的模拟，这意味着其计算结果只能反映塔内轴向混合的平均信息。相比之下，均龄理论能提供塔内轴向混合的空间分布信息，为萃取塔内部结构的设计优化提供更多依据，具有信息量大的特点。

（3）均龄理论计算结果显示转盘塔内的流动近似呈现出级内全混、级间平推的特点，符合萃取塔的操作需求。但相比于转盘间充分的混合作用，静环间的隔室存在两种类型的流动死区，造成了明显的非理想性，其结构有待于进一步的优化。

上述结果说明均龄理论能高效应用于转盘塔的轴向混合研究，下一步工作应在现有基础上将模型进一步推广至多相流，以满足实际工业的设计优化需求。

符号说明

D，Dm——分别为总扩散系数及分子扩散系数，m2·s-1

g ——重力加速度，m·s-2

L ——特征长度，m

Mn——停留时间分布n阶矩，sn

Pe——Peclet数

p——压力，Pa

Q——流量，m3·s-1

Sct——湍流Schmidt数

t——时间，s

ta——平均停留时间，s

u——流体速度，m·s-1

u——特征速度，m·s-1

V——有效塔体积，m3

Y——组分浓度（质量分数）

μt——湍流黏度，kg·m-1·s-1

ρ——密度，kg·m-3

σ——停留时间分布方差

τ——切应力，kg·m-1·s-2

References

［1］ MOHANTY S. Modeling of liquid-liquid extraction column： a review［J］. Rev. Chem.， 2000， 16（3）： 199-248. DOI： 10.1515/REVCE. 2000.16.3.199.

［2］ TORAB-MOSTAEDI M， SAFDARI J， MOOSAVIAN M A， et al. Stage efficiency of Hanson mixer-settler extraction column ［J］. Chem. Eng. Process.， 2009， 48（1）： 224-228. DOI： 10.1016/j.cep. 2008.03.010.

［3］ 王运东， 费维扬， 刘小秦， 等. 新型转盘萃取塔研究开发与工业应用 ［J］. 化学工程， 2008， 36（4）： 1-5. DOI： 10.3969/j.issn.1005-9954. 2008.04.001. WANG Y D， FEI W Y， LIU X Q， et al. Research， development and industrial application of new rotating disc contactor ［J］. Chem. Eng.（China）， 2008， 36（4）： 1-5. DOI： 10.3969/j.issn.1005-9954. 2008.04.001.

［4］ 费维扬. 萃取塔设备研究和应用的若干新进展 ［J］. 化工学报，2013， 64（1）： 44-51. DOI： 10.3969/j.issn.0438-1157.2013.01.007. FEI W Y. Progresses of study and application on extraction columns［J］. CIESC Journal， 2013， 64（1）： 44-51. DOI： 10.3969/j.issn. 0438-1157.2013.01.007.

［5］ LI H B， TANG X J， LUO G S， et al. Development of two-point dynamic method for evaluating extraction columns ［J］. Can. J. Chem. Eng.， 2004， 82（3）： 471-477. DOI： 10.1002/cjce.5450820307.

［6］ FEI W Y， WANG Y D， WAN Y K. Physical modelling and numerical simulation of velocity fields in rotating disc contactor via CFD simulation and LDV measurement ［J］. Chem. Eng. J.， 2000， 78（2）：131-139. DOI： 10.1016/S1385-8947（00）00156-X.

［7］ BART H J. Reactive extraction in stirred columns—a review ［J］. Chem. Eng. Technol.， 2003， 26（7）： 723-731. DOI： 10.1002/ceat. 200306102.

［8］ ZHANG S H， NI X D， SU Y F. Hydrodynamics， axial mixing and mass transfer in rotating disk contactors ［J］. Can. J. Chem. Eng.， 1981，59（5）： 573-583. DOI： 10.1002/cjce.5450590503.

［9］ ZHU J W， ZHANG S H， ZHOU X K， et al. Hydrodynamics， axial mixing and mass transfer in open turbine rotating disc contactor（OTRDC） ［J］. Chem. Eng. Technol.， 1991， 14（3）： 167-177. DOI：10.1002/ceat.270140304.

［10］ STEINER L， KUMAR A， HARTLAND S. Determination andcorrelation of axial-mixing parameters in an agitated liquid-liquid extraction column ［J］. Can. J. Chem. Eng.， 1988， 66（2）： 241-247. DOI：10.1002/cjce.5450660208.

［11］ MORÍS M A， DÍEZ F V， COCA J. Hydrodynamics of a rotating disc contactor ［J］. Sep. Purif. Technol.， 1997， 11（2）： 79-92. DOI：10.1016/S1383-5866（96）01003-9.

［12］ MURUGESAN T， REGUPATHI I. A correlation for dispersed phase axial mixing coefficients in rotating disc contactors ［J］. J. Chem. Technol. Biotechnol.， 2006， 81（4）： 721-726. DOI： 10.1002/jctb.1389.

［13］ DESHMUKH S S， SATHE M J， JOSHI J B. Residence time distribution and flow patterns in the single-phase annular region of annular centrifugal extractor ［J］. Ind. Eng. Chem. Res.， 2009， 48（1）：37-46. DOI： 10.1021/ie800231d.

［14］ CHARTON S， DUHAMET J， BORDA G， et al. Axial dispersion in pulsed disk and doughnut columns： a unified law ［J］. Chem. Eng. Sci.，2012， 75： 468-477. DOI： 10.1016/j.ces.2012.04.011.

［15］ CHEN H， SUN Z， SONG X F， et al. Key parameter prediction and validation for a pilot-scale rotating disk contactor by CFD-PBM simulation ［J］. Ind. Eng. Chem. Res.， 2014， 53（51）： 20013-20023. DOI： 10.1021/ie503115w.

［16］ 毛在砂， 杨超. 化学反应器宏观混合研究展望 ［J］. 化工学报，2015， 66（8）： 2795-2804. DOI： 10.11949/j.issn.0438-1157.20150628. MAO Z S， YANG C. Perspective to study on macro-mixing in chemical reactors ［J］. CIESC Journal， 2015， 66（8）： 2795-2804. DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20150628.

［17］ NETO A P， MANSUR M B. Transient modeling of zinc extraction with D2EHPA in a Kühni column ［J］. Chem. Eng. Res. Des.， 2013，91（12）： 2323-2332. DOI： 10.1016/j.cherd.2013.05.014.

［18］ LIU M， TILTON J N. Spatial distributions of mean age and higher moments in steady continuous flows ［J］. AIChE Journal， 2010，56（10）： 2561-2572. DOI： 10.1002/aic.12151.

［19］ LIU M. A method for computing the degree of mixing in steady continuous flow systems ［J］. Chem. Eng. Sci.， 2011， 66（13）：3045-3048. DOI：10.1016/j.ces.2011.03.049.

［20］ LIU M. Quantitative characterisation of mixing in stirred tank reactors with mean age distribution ［J］. Can. J. Chem. Eng.， 2011，89（5）： 1018-1028. DOI： 10.1002/cjce.20563.

［21］ LIU M. Prediction of tracer concentration and mixing in CFSTRs with mean age distribution ［J］. Ind. Eng. Chem. Res.， 2011， 50（9）：5838-5851. DOI： 10.1021/ie2002395.

［22］ LIU M. Age distribution and the degree of mixing in continuous flow stirred tank reactors ［J］. Chem. Eng. Sci.， 2012， 69（1）： 382-393. DOI：10.1016/j.ces.2011.10.062.

［23］ LIU M. Age distribution in the Kenics static micromixer with convection and diffusion ［J］. Ind. Eng. Chem. Res.， 2012， 51（20）：7081-7094. DOI： 10.1021/ie200716v.

［24］ CHEN H， SUN Z， SONG X F， et al. A pseudo-3D model with 3D accuracy and 2D cost for the CFD-PBM simulation of a pilot-scale rotating disc contactor ［J］. Chem. Eng. Sci.， 2016， 139： 27-40. DOI：10.1016/j.ces.2015.09.023.

［25］ DRUMM C， BART H J. Hydrodynamics in a RDC extractor： single and two-phase PIV measurements and CFD simulations ［J］. Chem. Eng. Technol.， 2006， 29（11）： 1297-1302. DOI： 10.1002/ceat. 200600212.

［26］ GIBSON M M. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer ［J］. J. Fluid Mech.， 1978， 86（3）： 491-511. DOI： 10.1017/S0022112078001251.

［27］ LEVENSPIEL O. Chemical Reaction Engineering［M］. 3rd ed. New York： John Wiley & Sons， Inc.， 1999： 293-310.

［28］ GAO H， FU Y. Mean residence time of Markov processes for particle transport in fluidized bed reactors ［J］. J. Math. Chem.， 2011， 49（2）：444-456. DOI： 10.1007/s10910-010-9751-x.

［29］ GAO J， WALSH G C， BIGIO D， et al. Mean residence time analysis for twin screw extruders ［J］. Polym. Eng. Sci.， 2000， 40（1）： 227-237. DOI： 10.1002/pen.11155.

Efficient estimation of axial mixing distribution for extraction in rotating disc contactor based on simulation using mean age theory

CHEN Hang， SUN Ze， SONG Xingfu， YU Jianguo
（National Engineering Research Center for Integrated Utilization of Salt Lake Resource， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China）

In this study， on basis of verification of single-phase flow field simulation by computational fluid dynamics （CFD）， the mean age theory was employed to estimate axial mixing distribution in a pilot-scale rotating disc contactor （RDC）. In order to validate the mean age theory， two results of theoretical mean residence time and the simulated values by species transport model were compared. It showed that the mean age theory is capable to relatively accurately predict the axial mixing distribution in RDC within ten seconds of computional time， far shorter than two weeks by traditional species transport model， hence possesses the advantage of low computational cost. Moreover， the mean age theory is also capable to provide the spatial distribution information of axial mixing distribution， while the traditional species transport model does not. Hence， the mean age theory can provide more information for structural optimization， and is an efficient method to calculate the axial mixing distribution for extraction. Subsequent analysis on hydrodynamics in RDC showed that it is appropriately mixed flow in compartments and plug flow between compartments， which is favorable for extraction operation. Compared with the well mixing between rotors， the flow field between stators has apparent dead flow zones，which are mainly attributed to two factors of low flow velocity and cyclic vortex structure. The dead zones cause acertain flow non-idealities and are disadvantage for extraction efficiency. Hence， the structure of the stators in RDC needs to be further improved.

date： 2015-09-21.

Prof. SUN Ze， zsun@ecust.edu.cn； Prof. YU Jianguo， jgyu@ecust.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China （21206038）.

extraction；rotating disc contactor；CFD；mean age theory；numerical simulation；axial mixing

TQ 021.1

A

0438—1157（2016）05—1694—07

2015-09-21收到初稿，2016-01-26收到修改稿。

联系人：孙泽，于建国。第一作者：陈杭（1989—），男，博士研究生。

国家自然科学基金项目（21206038）。