基于不确定理论的风险中性测度及其在欧式期权定价中的应用

王国帅　赵佃立

摘要首先运用不确定理论推导了相应的不确定风险中性测度，修正了已有文献中涨跌期权不满足无套利原则的问题.然后将所得的风险中性测度用于欧式看涨和看跌期权的定价，并验证了涨跌期权价格之间的平价关系.最后研究了一类利差期权的定价问题，结合定义的风险中性测度给出了期权的定价公式.所推导的不确定风险中性测度与经典的无套利原则相吻合，而且考虑到了问题描述过程中存在的不精确性，弥补了单纯依赖随机理论的不足，可广泛地应用于金融衍生品的定价过程，为投资分析提供一定的理论依据.

关键词应用数学；期权定价；风险中性测度；不确定理论；利差期权

中图分类号F830.9O212. 1文献标识码A

AbstractBased on the uncertainty theory， the corresponding uncertainty risk neutral measure was derived firstly by using the risk free rate， which agrees with the noarbitrage principle. Then the established risk neutral measure was applied to price the European Call and Put options， and the parity relationship was verified. Finally， this paper gave the pricing formula for a Spread Option by the risk neutral measure. The derived risk neutral measure confirms the classical noarbitrage principle， takes into consideration the inaccuracy in the description process， and makes up for the inadequacy of stochastic pricing theory， which can be widely used in financial derivatives pricing and provides the reliable theoretical basis for investment analysis.

Key wordsapplied mathematic； option pricing； riskneutral measure； uncertainty theory； spread option

1引言

近年来，我国金融市场发展迅速，衍生品市场也在逐步完善，上证50ETF期权的上市标志着我国风险管理体系建设迈出了重要的一步.如何对期权进行合理定价将是本领域研究重要课题之一.期权定价研究主要集中在以Black、Scholes（1973）提出的BlackScholes定价公式为基础，

建立更加符合实际的基础资产模型和研究更加新颖的期权种类两个方面.

这些传统的定价方法都假设标的资产价格服从几何布朗运动或者相关过程，进一步推出期权价格的关系式，如：肖庆宪、肖喻（2007）考虑了信用价差的动态模型并将其应用于期权定价问题[1]；Shi、Yang （2014）给出了含跳过程随机波动模型的亚式期权定价[2]；袁国军、肖庆宪（2014） 基于近似对冲的方法对亚式期权进行定价并进行了实证分析[3]；柯政、秦梦（2015）基于期权定价的保险精算方法研究了同质信念与BlackScholes公式定价偏差的关系[4]；evovi itňanská （2016）则讨论了具有交易费用的非线性欧式期权定价问题[5]. 然而，现实中期权的价格依赖于复杂的社会环境，具有很大的不确定性，已有的模型和理论并不能给出完全解释.近来，刘宝碇（2004）提出了一类不确定理论[6]，在处理人类行为的不确定性问题上具有优势，从而在一定程度上弥补了已有定价模型上存在的不足.因此本文将基于不确定理论来推导满足无套利原则的风险中性测度，然后结合该测度求解几类欧式期权的定价问题.

2问题的提出

首先列举一些将要用到的不确定理论知识.

定义1设ξ是一个不确定变量，则其的不确定分布为：Φ（x）=M{ξ≤x}.

定义2设ξ是一个不确定变量，如果其分布函数满足Φ（x）=（1+exp （π（e-x）3σ））-1.则称其为正态不确定变量，记作ξ～N（e，σ），其中e和σ都是实数，且σ>0.

4结论

首先推导了基于不确定理论的风险中性测度.在该测度下，欧式看涨和看跌期权的价格满足平价关系，说明了该风险中性测度与无套利原则定价相吻合.然后利用所求的测度建立了不确定环境下的利差期权定价模型.基于该风险中性测度的资产定价考虑了问题描述过程中存在的不精确性问题，弥补了单纯依赖随机理论进行定价的不足，所得结论更加贴近实际情况.所推导的不确定风险中性测度使得资产定价过程与经典的无套利原则相吻合，为将不确定理论广泛地应用于金融衍生品的定价过程提供了理论基础，对实际投资分析具有一定的参考价值.

参考文献

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[3]袁国军， 肖庆宪. 基于近似对冲的亚式期权定价模型与实证分析[J]. 上海理工大学学报， 2014， 36（5）： 416-424.

[4]柯政， 秦梦. 同质信念与Black-Scholes公式定价偏差——基于期权定价的保险精算方法[J]. 经济数学，2015， 32（2）：15-20.

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