基于数学方法的伊斯兰图案设计研究

王　婉，罗戎蕾，刘成霞

(1.浙江理工大学 服装学院，杭州 310018； 2.浙江省服装工程技术研究中心，杭州 310018)



基于数学方法的伊斯兰图案设计研究

王婉1，罗戎蕾2，刘成霞3

(1.浙江理工大学 服装学院，杭州 310018； 2.浙江省服装工程技术研究中心，杭州 310018)

摘要:为了丰富图案的表现形式，拓展传统图案的设计思路，为设计师提供更便捷的设计方法和途径。首先，运用科学可视化方法，对部分数学公式形成图形的原理和方法进行研究。然后通过对伊斯兰图案的特点和传统作图方法的分析，运用计算机辅助设计，对数学模型中各个参数的控制生成一系列的基础图形，结合平面设计、图像处理软件等对生成的图形实现对伊斯兰图案的模拟，做出能够运用到织物上的纹样图案。结果表明，利用数学方法可以实现对传统经典图案的设计创造，设计出既经典又时尚的图案。

关键词:米拉公式；伊斯兰；伊斯兰图案；图案设计

伊斯兰图案艺术是与纹饰艺术紧密结合的艺术形式，其规则的排列和节奏感、对称、均衡的表现形式富于装饰性。当伊斯兰图案经典图案遍布清真寺和工艺品上时，足以表现其影响力，然而伊斯兰图案传统的作图方法却异常繁琐。近代随着计算机技术的发展，数字化图案为图案设计提供了新的思路和平台，为图案的设计提供了崭新的角度。

目前，国内外对数字图案的研究主要集中在分形理论、混沌理论的应用。Neves Jorge等[1]，Hudec G等[2]从20世纪90年代就研究了分形图案的生成方法及其在印花和织造设计中应用的可能性与前景。2002年以来，张聿[3]研究了非线性图案(包括各类分形与混沌图案)在纹织设计与印花图案设计中的应用。Attilio Maccari[4]也对分形理论在艺术设计中的应用进行了研究。Loai M Dabbour[5]在研究几何比例过程中分析了伊斯兰几何图案的结构与作图方法。但是，对于用数学方法对伊斯兰图案进行设计应用的相关报道很少。笔者通过对大量数学公式产生的不同造型图形进行了分析和研究，发现某些函数生成的图形具有伊斯兰图案的部分特征。本文主要介绍玫瑰曲线、运动曲线等数学曲线和米拉图形对伊斯兰图案的模拟设计。通过对数—形的转换，将抽象的数学理论运用到实际设计应用中，为图案设计提供了一种较便捷的设计方法，最后通过实例来验证基于数学方法做出的图案的实用价值。

1　基本理论

1.1玫瑰曲线

玫瑰曲线是一种以三角函数为基础，包络线为圆弧的非多项式参数曲线，其几何结构十分规则，并且具有明显的周期特性，因其形状极像玫瑰花，所以命名为玫瑰线。

在极坐标中，玫瑰曲线常用的表达方式为：

ρ=asin(nθ)或ρ=acos(nθ)

(1)

式中：参数a取实数控制花瓣的长度；n取整数，控制花瓣的个数，当n为奇数时有n个花瓣，当n为偶数时有2n个花瓣；当n为非整数时，将产生圆盘状图形，且花瓣也为非整数。

玫瑰曲线中的参数a、n的改变控制着玫瑰曲线的形状。如图1所示的玫瑰曲线图形，是当n分别取奇数3、偶数2、非整数6/5时生成的三叶玫瑰、四叶玫瑰、圆盘线。

1.2运动曲线

运动曲线指的是点在运动过程中的形成的轨迹图形，本文主要介绍线段上点的运动。

图1　玫瑰曲线Fig.1　Rose curves

图2中的点A、B、C分别为圆周O上的任意一点，点D和点E分别为线段AB和线段CD上的任一点，当点A、B、C分别在圆周上做匀速圆周运动时，点E在这一运动过程中的轨迹可以用下式表示：

(2)

式中：a、b、c、d、e为可调参数。

图2　线段上点的运动Fig.2　Movement of points on a line segment

式(2)中的参数有五个，在这些参数中，一个参数的微小变化就会使图形产生巨大的变化，因此，可以通过对各参数的调节做出成千上万种造型各异的曲线图形。图3所示的就是当给各个参数赋予不同数值时所形成的曲线图形。

图3　点E运动形成的曲线图形Fig.3　Curve graph of point E motion

1.3米拉(Mira)公式

1.3.1Gumowski-Mira公式原理

米拉(Mira)公式，又称顾莫乌斯基-米拉公式(Gumowski-Mira)，其迭代算法如下：

(3)

式中：b取值在1附近(一般取值为[0.998,1.001])，控制轨道是膨胀还是收缩，如果b稍大于1，比如1.002，则轨道就会膨胀；反之若b稍小于1，比如0.998，轨道就会收缩。

其中一个经典函数：f(x)=ax+2(1-a)x2/(1+x2)。

常用的函数有：f(x)=ax+2sign(x)(1-a)x2/(1+x2)，f(x)=-0.05ax+a(π-ax)x2/(1+x2)，f(x)=asign(x)+sin(1/x)，f(x)=2πasign(x)+π+sin(π+sin(π+x))等。其中sign是符号函数，当x>0时，sign(x)=1;当x=0时，sign(x)=0;当x<0时，sign(x)=-1。

通过式(3)迭代的结果是坐标位置，即绘图点，影响图案生成的参数有a、b、迭代次数n，以及函数f(x)的选取。米拉公式每迭代运算一次，生成一个新点，迭代完成后，将所有的坐标点绘制出，便得最终图形。

1.3.2Gumowski-Mira公式

选取经典函数f(x)=ax+2(1-a)x2/(1+x2)，通过对其不同参数值设置生成的图形变化来研究各个参数(参数n、b、a)的物理意义。图4中(a)(b)两个图形的对比可以看出，参数n代表点的个数，即循环的次数，决定着图像的清晰程度，n越大点数越多，图像越清晰。图4中(c)(d)(e)的对比可以发现，参数b通常在1附近，是一个非常敏感的常数，当b由0.999增大到1时，图形轨迹会膨胀；如果b轻微减小至0.985时，图形的轨迹收缩至奇异吸引子。图4中(f)(g)(h)的对比可以看出，参数a也很敏感，a的值对图形的舒展影响很大，a的值增大，图形周围类似花瓣的图案会收敛。

图4　Mira公式参数及其图形Fig.4　Mira formula parameters and patterns

2　伊斯兰图案分析

2.1伊斯兰图案造型及艺术特征

伊斯兰装饰图形大致可分为文字、几何、植物三类，其中几何图形绘成的图案艺术被称为“几何纹样”，伊斯兰民族是世界上最早使用几何纹样的民族[6]。其中圆形、三角形、菱形、四边形、星形、多边形等是构成伊斯兰图案的主要几何元素(图5)，通过对这些基础图形以不同方式反复循环、变换、相互交叉等构成繁琐复杂、变化无穷的精妙纹样。伊斯兰的艺术家们在艺术方面的创造主要体现在充分、灵活地运用几何图案上，他们将线条、多角形、环形等图案混合运用，创造了许多抽象的几何图案，其对世界装饰图案的影响具有深远意义[7]。

图5　伊斯兰几何图案Fig.5　Islamic geometrical patterns

伊斯兰植物纹样的造型形式都是基于模仿大自然形成的(图6)，意在重现自然，体现了穆斯林对于自然的向往之情。伊斯兰植物纹样是通过装饰的艺术手法提练出抽象、简化的植物纹样，不是对自然界生物的一种简单的临摹。伊斯兰艺术家们在设计花草图案时将其原有的形貌抽象化，抽取自然花草的要素和特点而非整株植物的形貌加以运用，妙在似与不似之间。

图6　伊斯兰植物纹样Fig.6　Islamic plant pattern

伊斯兰特有的宗教思想和信仰使伊斯兰装饰艺术非常丰富多彩，伊斯兰图案最大的特点就是密集繁复，呈现密不透风，满地锦绣之形态，使得人们瞬间即能辨认出“伊斯兰血统”[8]。其特有的宗教思想使穆斯林人喜爱“繁复艺术”，不喜欢留空白。伊斯兰纹样的艺术特征突出，可归纳为以下几点：

1)抽象性。由于伊斯兰教禁止偶像崇拜，伊斯兰艺术家们用抽象的几何图案来表达伊斯兰世界的思想，于是风格化的卷须纹、藤蔓纹样等对植物母体进行抽象勾勒包含高度抽象化的含义。此外，伊斯兰世界在中古时期有很多数学家，他们在天文表的编纂、三角表的制作，数字研究等方面研究都有杰出成就。阿拉伯人把对数学和天文的精深研究运用到艺术装饰中，创造出了许多抽象的几何图案。

2)繁密精巧。伊斯兰图案最大的特点就是密集繁复，不留空白。在伊斯兰文化的引导和制约下，“无限联系”的方式作为其独特的艺术表现形式，来表达穆斯林的自由不受约束，也构成了伊斯兰纹样的艺术风格特点，在清真寺的墙面装饰中，这种艺术特点随处可见。

3)均衡统一。伊斯兰装饰艺术是以规整统一勾勒出共性特征，因纹样的线条多采用螺旋线、抛物线等缠绕穿插，所以即使图案繁琐复杂但仍然能够保持脉络的清晰不杂乱，在艺术形式法则上注重整体与局部、简洁与繁缛、文字和形象的统一。

2.2传统伊斯兰图案设计方法

传统的伊斯兰图案设计运用的是尺规作图和镶嵌原理的方法，做出的图案不仅连贯还能自由扩展和随时改变方向，以适合整体布局的需要[9]。尺规作图就是只用一把没有刻度的尺子和一只圆规进行作图，直尺只是用来连接两点之间作直线或者延长线段，圆规则是用来画弧线或做圆，通过有限次使用直尺和圆规，力图用最简单的方法做出图形。其中“作圆、画线、求交点”是尺规作图中最常用的方法，伊斯兰图案就是通过这三种方法有限次复合而成。

镶嵌艺术最早的做法是在沥青的木材上用阴刻法刻上图案，再将贝壳填充进去。阿拉伯几何图案的镶嵌与古罗马时代的马赛克镶嵌画有关，不再是将一种材料填充到另一种材料里，而是将不同材料如贝壳、石子、玻璃等按色彩分类平铺到地板或墙壁上。通过对伊斯兰几何图案构造的研究不难发现，伊斯兰几何图案虽然面貌各异，但它们的起点都是一个圆，其变化始于对圆的分割会形成几种多边形或其他图形，这些不同的图形在很多步骤上是相同的，只是最后一步不同。

图7所示的伊斯兰图案的作图方法就是以圆为基本单位，各个圆之间形成许多如图7(a)所示的交点，然后通过对交叉点连线构造出艺术图案造型。由于交叉点数目繁多，会产生不同的连接方式，对交叉点连线的不同就会产变化无穷的精妙纹样，图7(b)(c)分别为不同连线构造出的不同图形。

图7　传统伊斯兰图案作图方法Fig.7　Traditional Islamic pattern graphing methods

3　伊斯兰图案模拟设计

3.1玫瑰曲线

玫瑰曲线的数学表达式简单，但曲线变化众多，具有抽象性和均衡统一的特性。图8(a)所示的是用传统伊斯兰设计方法做出的图案，以三叶玫瑰作为基础图形，经过旋转、变换等做出如图8(c)所示的图案，再经过其他变换后得到图8(d)，完成图案的模拟。详细流程如下：

1)根据玫瑰曲线图形的绘制原理，通过对基本参数值的设定，plot输出曲线图形；

2)设置其中一个花瓣顶点为中心点，确定该点的点坐标，利用旋转矩阵A，设置旋转角度，对基础图形进行旋转设计；

3)根据对RGB值的确定对曲线进行着色；

4)循环重复上述旋转操作，直至形成连续完整的图案。

最后对生成的曲线图形进行缩放、拼接，即生成如图8(d)所示的图案模拟效果。

图8　玫瑰曲线图案模拟Fig.8　Simulation of rose curve patterns

3.2运动曲线

运动曲线不仅在运动过程中形成了千变万化的造型，其结构具有对称性、节奏感和律动性。伊斯兰教哲学认为，运动体现了真主生命力的无限性。伊斯兰图案艺术本身就非常注重节奏和韵律美，例如富有流动感的抽象卷草纹。在伊斯兰图案纹样中，无数重复的、流动的线条在艺术表现上充满了活力和动态。

根据图9所示的运动曲线程序流程图，对图10(a)所示的伊斯兰几何图案进行模拟，得到图10(b)所示的几何图案，可以作为单独纹样应用于装饰中；图11(b)是在运动曲线做出的几何图案的基础上，对其进行重复排列形成连续纹样效果，再运用图形处理软件对其进行一些特殊效果处理，完成对图11(a)所示的伊斯兰植物图案的模拟。

图9　运动曲线程序流程Fig.9　Motion curve program flowchart

图10　伊斯兰几何图案模拟Fig.10　Simulation of Islamic geometric patterns

图11　伊斯兰植物图案模拟Fig.11　Simulation Islamic plant patterns

3.3米拉图形

菱形是构造伊斯兰几何图案的主要图形之一，图12所示的是在伊斯兰建筑、服饰品和地毯上菱形图案的应用。根据图13所示的米拉公式迭代流程，当函数为f(x)=2πasign(x)+π+sin(π+sin(π+x))时，运用Mira迭代公式，对参数n、b、a取不同值迭代生成了图14所示的具有类似伊斯兰风格的菱形图案，体现了伊斯兰“密集繁复”的图案特征。随着a的值的增大图形越收敛，其中通过对RGB值调节变换颜色，生成色彩更丰富的图案。

图12　伊斯兰菱形图案Fig.12　Islamic diamond patterns

图13　米拉公式迭代流程Fig.13　Mira formula iteration flow chart

米拉公式迭代计算出的图形本身就具有很强的对称性，可以作为单独纹样运用到装饰中，也可以作为适合纹样和连续纹样的单位纹样。通过对米拉公式迭代算法生成的图形，结合计算机图形设计做出的纹样图案，可运用数字印花技术打印到丝绸或其他面料做出具有伊斯兰风格的丝巾。

图14　米拉图形Fig.14　Mira graphics

4　模拟图案应用实践

4.1丝巾图案设计

本文从图14中选取(a)和(c)作为丝巾图案的基本元素，并对图14(a)进行提取出得到如图15(a)所示的花边，通过对这些元素组合再设计获得图15(b)的丝巾图案。图15(c)是通过图14(b)控制n的取值范围获得的局部图形，图15(d)是伊斯兰三叶纹，它是被广泛应用于伊斯兰装饰中的一种纹样，图15(e)是通过对Mira公式图形和伊斯兰纹样的提取、变形、重组设计出的丝巾图案。

图15　丝巾图案设计Fig.15　Silk scarf pattern design

4.2丝巾印花效果

丝巾的生产试验借助数码打印机进行，将设计好的丝巾印花图案以bmp文件的形式，选用素绉缎为材料，所生产的样品如图16所示。

图16　丝巾效果Fig.16　Effects of silk scarf

5　结　论

本文对数学方法在伊斯兰图案设计中的应用进行了初步探索，与传统伊斯兰图案设计方法相比，数学方法更加方便、快捷。运用玫瑰曲线、运动曲线和米拉图形实现对伊斯兰图案的模拟，做出能够运用到织物上的图案效果，通过实践证明了该方法的可行性。此举为传统图案的设计提供了一个新的设计方法和思路，丰富了图案设计的素材库，具有一定的实用价值。

参考文献：

[1]NEVES J, NEVES M, JANSSENS K.Fractal geometry:a new tool for textile design development applications in printing[J].International Journal of Clothing Science,1994,6(1):28-36.

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ZHANG Yu.Study on fabric pattern design method base on weak chaos theory[J].Journal of Textile Research,2004,25(4):22-23.

[4]ATTILIO M.Chaos, solitons and fractals in hidden symmetry models[J].Chaos, Solitons and Fractals,2006,27(2):363-376.

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TENG Xiaobo.Research on Islamic decorative graphics[J].ZHUANGSHI,2004(3):86-87.

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[9]仇春霞,周建朋.阿拉伯几何图案的艺术原理及画法研究[J].新疆社会科学,2011(6):117-124.

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DOI:10.3969/j.issn.1001-7003.2016.04.008

收稿日期:2015-06-03; 修回日期:2016-03-14

基金项目:国家自然科学基金资助项目(51405446)；浙江自然科学基金项目(LQ12F02018)；浙江省重点科技创新团队计划资助项目(2011R50004)

作者简介:王婉(1990—)，女，硕士研究生，研究方向为服装计算机辅助设计。通信作者：罗戎蕾，副教授，博士，luoronglei@163.com。

中图分类号:TS941.26

文献标志码:A

文章编号:1001-7003(2016)04-0041-07引用页码:041108

Research on the design of Islamic pattern based on mathematical method

WANG Wan1, LUO Ronglei2， LIU Chengxia3

(1.School of Fashion Design and Engineering, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China; 2.Garment Engineering & Technology Research Center of Zhejiang Province, Hangzhou 310018, China)

Abstract:In order to enrich the demonstrating approaches for pattern forms and to expand design ideas for traditional pattern and provide more convenient design methods for designers.Firstly, the principle and method of the graphics formation by some mathematical formulas were studied by scientific visualization method.And then, the characteristic of Islamic pattern and the traditional drawing method were analyzed, and with computer to aide design and control of various parameters in mathematical model, a series of basic graphics were generated; in combing graphic design, image processing software and other tools, simulations on the generated Islamic patterned were made, from which applicable patterns for fabric can be made.All these have fully reflected that the use of mathematical methods can achieve creative design of the traditional classical pattern, both classical and fashionable patterns can be created.

Key words:Mira formula; Islam; Islamic pattern; pattern design