Robin型边界阻尼波动方程的有限差分格式

刘建康，秦煜哲，张晓晶

(山西大学 数学科学学院，山西 太原　030006)



Robin型边界阻尼波动方程的有限差分格式

刘建康，秦煜哲，张晓晶

(山西大学 数学科学学院，山西 太原030006)

摘要：对一类具有Robin型阻尼边界条件的一维波动方程构造了一个三层隐式有限差分格式，所构造格式在每个时间层需要求解一个三对角线性方程组。通过离散能量方法证明所构造的差分格式在无穷范数意义下关于时间和空间方向都是二阶收敛的，并且关于初始条件和右端源项都是无条件稳定的。数值实验验证了理论结果。

关键词：波动方程；Robin边界；阻尼；收敛性；稳定性

0引言

波动方程在弹性力学等学科中有十分重要的作用，并且作为偏微分方程中双曲型方程的代表，对它的数值算法的研究具有极其重要的意义[1-3]。孙志忠在文献[3]中对波动方程Dirichlet型初边值问题构造了显式和隐式有限差分格式，并证明了格式的收敛性和稳定性。万正苏在文献[4]中对波动方程的Robin型初边值问题通过降阶法构造了一个二阶收敛的无条件稳定的有限差分格式。文献[5，6]研究了热方程的Neumann型初边值问题的几种紧致差分格式的收敛性与稳定性。文献[7]对一类波动方程初边值问题建立了高阶差分格式。文献[8]对带有时间分数阶导数的扩散方程建立了隐式差分格式。带有导数边界的波动方程初边值问题的有限差分格式，其理论证明要比Dirichlet边界条件的理论证明复杂得多。伴随着分布参数控制理论的发展，波动方程的稳定化控制理论得到了广泛的研究[9-13]，其中一类常见的系统就是带阻尼的波动方程的初边值问题，关于其数值算法的研究文献不多。最近，作者在文献[14]中对Neumann型的边界阻尼波动方程构造了一个二阶收敛的，无条件稳定的有限差分格式。

本文考虑如下带Robin型边界阻尼的一维波动方程初边值问题的有限差分格式：

其中w(x,t)表示弦的垂直位移，φ(x)∈C2(0,1)，ψ(x)∈C1(0,1)，f(x,t)为已知充分光滑的函数，且φ(0)=0，ψ(0)=0，φ′(1)+ψ(1)+φ(1)=0，即初始条件和边界条件相容。边界条件(2)第一式表明绳在x=0端是固定的，第二式左端为Robin型边界，右端为一阻尼项，因而称为Robin型阻尼边界条件。特别地，若f(x,t)=0，从控制论的角度讲，系统(1)-(3)在连续意义下是指数稳定的，然而在离散意义下的数值解未曾有人做过相关研究。本文将对系统(1)-(3)建立一个三层的隐式有限差分格式，并证明格式的收敛性及稳定性。

1记号和引理

其中‖uk‖为u在tk时刻的L2范数，|uk|1为u在tk时刻的半范数，或为差商的L2范数。

引理1[3]设h>0和c为两个常数，

(a)如果g(x)∈C2[c-h,c+h]，则有

(b)如果g(x)∈C2[c,c+h]，则有

(c)如果g(x)∈C2[c-h,c]，则有

(d) 如果g(x)∈C3[c-h,c+h]，则有

(e) 如果g(x)∈C4[c-h,c]，则有

(f) 如果g(x)∈C3[c,c+h]，则有

‖uk‖∞≤|uk|1。

引理3[3]Gronwall不等式

设{Fk,Gk|k≥0}为非负序列，满足Fk-1≤(1+cτ)Fk+τGk，k=0,1,2,…，其中c为非负常数，则有

2差分格式的建立

1≤i≤M-1，1≤k≤N-1

(4)

由引理 1(a)式知

(5)

由引理 1(e)式知

tk-1≤ηik≤tk+1

(6)

xi-1≤ξik≤xi+1

(7)

将(5)、(6)、(7)代入(4)式，得

(8)

其中

(9)

在节点(xM,tk)处考虑微分方程(2)的第二式，有

1≤k≤N-1

(10)

由引理1(d)和(a)，有

tk-1≤ηMk≤tk+1

(11)

tk-1≤ζMk≤tk+1

(12)

将(11)、(12)代入(10)得到

(13)

其中

(14)

将w(xi,t1)在点(xi,0)处应用Taylor公式展开，有

(15)

由φ(x)∈C2(0,1)可得

(16)

将(16)代入(15)得到

(17)

其中p(x)=φ″(x)+f(x,0)，ri=O(τ2)。观察(9)、(14)、(17)可知存在正常数c，使得

(18)

(19)

|ri|≤cτ21≤i≤M

(20)

由初值条件(3)，有

(21)

由边界条件(2)的第一式，有

(22)

其中p(x)=φ″(x)+f(x,0)。

3差分格式解的先验估计式

下面的定理给出了差分格式(23)-(27)的先验估计式。

的解，则有

(33)

证明记

(34)

(35)

现在估计 (35)中的每一项，其中左端第一项

(36)

(35)左端第二项为

首先有

(37)

同理可知

(38)

注意到

(39)

将(36)-(39)代入(35)，得到

考虑到(34)式，有

或

由 Gronwall 不等式可得

(40)

将E0的估计式代入(40)式得不等式 (33)，即得所证。

4差分格式的可解性、收敛性和稳定性

下面3个定理分别给出了差分格式(23)-(27)的唯一可解性、收敛性和稳定性。

定理2定解问题 (1)-(3)的差分格式是唯一可解的。

证明由(26)知w0已给定。改写(25)为

因为函数φ(x)和ψ(x)是已经给定的初始条件，右端源项函数f(x,t)也给定，因而有唯一解w1。

现假设已得到 wk-1，wk(k≥1)，改写(23)式为

改写 (24)式为

1≤i≤M-1，1≤k≤N-1

因而 (23)、(24)可写成矩阵形式

由于其系数矩阵是严格对角占优的，因而有唯一解 wk+1。由数学归纳法，差分格式 (23)-(27)是唯一可解的，定理证毕。

将(8)、(13)、(17)、(21)、(22)分别与(23)-(27)相减得到误差方程组

由定理1得

由(18)、(19)、(20)，并注意到(44)，得到

定理证毕。

由引理2易知

‖ek‖∞=O(τ2+h2) 1≤k≤N

的解，其中p(x)=φ″(x)+f(x,0)则对任意的网格比λ，有

证明直接利用定理1可证。

5数值实验

算例1

为了通过构造精确解验证差分格式(23)-(27)的收敛性，考虑如下初边值问题

log‖e‖∞≈logc+plogh

采用表2中的数据，得到误差e的线性拟合函数

log‖e‖∞≈1.982 3logh-0.746 7

故p=1.982 3，即差分格式在时间和空间方向都是二阶收敛的。

算例2

当右端源项f(x,t)=0时，从控制论的角度讲，系统(1)-(3)对任意的初始条件都是指数稳定的。为了说明所构造的差分格式的有效性，考虑如下齐次方程的初边值问题

表1　算例1在t=1处的数值解与精确解

表2　算例1在t=1处数值解与精确解的绝对误差

通过差分格式(23)-(27)对该初边值问题进行数值模拟，图1给出了系统的位移随t从0到10的变化状态。从图1可以看出，系统的位移随着时间的增长逐渐趋于0，系统的能量也逐渐衰减至0。这与连续意义下的解的性质相吻合。

图1　算例2的系统位移随时间变化的状态图Fig.1　The displacement change over time in the system of example 2

6结论

本文研究了带有Robin型阻尼边界条件的一维波动方程的一个有限差分格式，通过离散能量方法构造了差分解的一个先验估计式，根据先验估计式证明了差分数值解关于时间和空间都是二阶收敛，并且差分格式关于初始条件和右端源项均是无条件稳定的。对于非齐次源项f(x,t)≠0，算例1通过构造精确解验证了所构造的有限差分格式关于时间和空间均是二阶收敛的。根据理论分析可知，所构造的差分格式对于齐次右端源项f(x,t)=0的情形仍然成立，算例2模拟了当f(x,t)=0时系统的数值解，该数值解二阶收敛于系统的真实解，而根据分布参数控制理论可知，当f(x,t)=0时，系统的真实解是指数稳定的，这就可以断定我们所构造的差分格式的数值解也是指数稳定的，其理论证明有待进一步的研究工作。

参考文献：

[1] MUSKHELISHVILI N I.Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity[M].Washfou:Springer,1997:73-84.

[2] EVANS L C.Partial Differential Equations[M].America: American Mathematical Society,1997:65-85.

[3] 孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,2005:1-177.

[4] 万正苏.带导数边界条件的线性双曲方程的一个二阶收敛格式 [J].高等数学计算数学学报,2002(3):212-224.

[5] GAO G H,SUN Z Z.Compact difference schemes for heat equatio with neumann boundary conditions[J].Wiley Interscience,2009,25(6):1320-1341.

[6] GAO G H,SUN Z Z.Compact difference schemes for heat equatio with neumann boundary conditions(II)[J].Wiley Interscience,2013,29(5):1459-1486.

[7] 崔进,吴宏伟.一类波动方程初边值问题的高阶差分格式[J].应用数学,2014,27(1):166-174.

[8]马亮亮.时间分数阶扩散方程的隐式差分近似[J].贵州师范大学学报(自然科学版),2014,32(2):79-82.

[9] 赵志良,郭宝珠.自抗扰控制对边界扰动和区间内反阻尼的波动方程的镇定[J].控制理论与应用,2013,30(12):1553-1563.

[10]SUN B,GUO B Z.Convergence of an Upwind Finite-Difference Scheme for Hamilton-Jacobi-Bellman Equation in Optimal Control[J].Transactions on Automatic Control,2015,60(11):3012-3017.

[11]DENG C X,LIU Y,JIANG W S,et al.Exponential decay rate for a wave equation with Dirichlet boundary control[J].Applied Mathematics Letters,2007,20:861-865.

[12]FENG H,GUO B Z.Output feedback stabilization of an unstable wave equation with general corrupted boundary observation[J].Automatica,2014,50(12):3164-3172.

[13]ZUAZUA E.Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods[J].Siam Review,2005,47(2):197-243.

[14]刘建康,李晓旺.具边界反馈波动方程的有限差分格式[J].山西大学学报(自然科学版),2016,39(1):1-11.

文章编号：1004—5570(2016)03-0048-08

收稿日期：2016-04-28

基金项目：国家自然科学基金 (No.11471197,61374059,91430109)

作者简介：刘建康(1984-)，男，博士，讲师，研究方向：偏微分方程数值解法，E-mail:liujk@sxu.edu.cn.

中图分类号：O241.82

文献标识码：A

The finite difference scheme for wave equation with Robin damped boundary

LIU Jiankang, QIN Yuzhe, ZHANG Xiaojing

(School of Mathematical Science, Shanxi University, Taiyuan， Shanxi 030006, China)

Abstract:A class of three-level full discretized implicit finite difference scheme is constructed for one-dimensional wave equation with Robin damped boundary. The scheme is a tridiagonal system of linear algebraic equations. It is shown that the difference scheme is convergent in maximum norm by discretized energy method and the rate of convergence is of order 2. In addition, the scheme is unconditional stable with respect to initial conditions and right-hand side source term. The numerical experiments verify the theoretical results.

Key words:wave equation; Robin boundary; damped; convergence; stability