浅谈高中数学的等价转换

徐君红（浙江省杭州市建德市梅城严州中学梅城校区）

浅谈高中数学的等价转换

徐君红
（浙江省杭州市建德市梅城严州中学梅城校区）

等价转换是高中数学的重要解题思想，其通常是根据数学知识间的相互联系，把未知解的问题转换到学生的已有知识范围内，变为可解的问题，通过不断转换，把那些学生不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题，从而简化解题思路与过程，提高解题效率。在历年的高考题中，利用等价转换的思想进行解题也是重要的考点，因此要不断培养和训练学生自觉转换意识，强化学生解决数学问题的应变能力，提高学生的思维能力与技能、技巧。主要说明等价转换在高中数学中的灵活运用。

高中数学；等价转换；思维

高中数学的知识点繁多，数学问题复杂多变，如果学生只是注重数学知识的学习，注重解题的结果，而忽视了对数学问题的解题技巧与方法的分析探索，他们很难学好高中数学。在高中数学的学习过程中，最常见的学习方式就是采用“题海战术”，学生通过多做题来巩固知识点，这种方法对于数学学习基础薄弱的学生比较适用，能够在一段时间内提高他们的数学成绩，但是对于那些学习成绩中等或是优秀的学生却没什么太大的帮助，大量的数学题反而会促使他们尽量采用最短的时间来完成每一道题，这就减少了学生在做题时思考的时间，有些学生在做题时几乎没有思考分析，只是按照惯性思维来解题，而使得解题过程烦琐复杂，造成学习效果不理想，同时也限制了学生思维能力的发展。这就要求学生在数学学习中不能一味地注重知识的学习，还要能够掌握数学问题的解题技巧与方法，并逐渐形成数学思维，从而提高学生的数学学习能力。而等价转换作为数学问题的一种重要解题思路，不仅能让学生将所学的知识进行灵活运用，巩固数学知识，还能够锻炼学生的思维敏捷性，有效地提高学生的思维能力。下面我就通过一些例子来分析等价转换在高中数学解题中的灵活应用。

一、掌握转换思想，提高转换的自觉性

高中数学问题中的转化思想都是师生在长期的数学教与学的实践过程中，在知识与方法的不断运用中总结出来的。如在立体几何中将空间问题转化为平面问题来求解等。通过对题目中的式子进行等价转换，可以将复杂的数学问题简单化，从而简化解题过程。因此，教师在课堂教学时要积极引导学生进行转换，使学生掌握等价转换的思想，提高转换的自觉性。

（1）求sin x－cos x的值。

【分析】由于该题已知条件较少，教师在进行例题讲解时，就要引导学生将三角函数部分的其他公式进行运用。通过对题目与所求问题式子进行观察，我们发现可以对该题中的原式进行平方，就可以得到我们熟悉的三角函数关系式，即sin2x+cos2x=1。然后通过自变量的取值范围，得到所求式子的值。

小结：三角函数的求值问题是几年来高考的重要考点之一，为了让学生熟练掌握并将其运用，教师在进行课堂教学时就要让学生积极动脑思考，并进行总结。由于三角函数部分的公式较多，对于这些公式，学生不能只知其一，不知其二。所谓“授人以鱼，不如授人以渔”，教师要将公式的推导过程向学生演示，或是让学生根据已知的公式自己进行推导，一方面可以加深学生对所学知识的印象，并将其进行巩固，另一方面，在推导过程中学生能逐渐提高逻辑性思维能力，并且若是学生没有记住这些公式，在需要用的时候，他们也可以自行推导，而不会觉得解题毫无头绪。

【分析】很多学生在初看到这道题时，觉得很简单，只是直观地认为该题考查的主要知识就是tanθ与sinθ、cosθ之间的关系，即tanθ=，便匆匆得出答案A。但在我们仔细分析过后，发现答案A是错解，正解应为答案C。三角函数问题还有一个重要的已知条件，即sin2θ+cos2θ=1，而很多学生做错就是因为忽略了这个隐藏的条件，而解不出m的值。

小结：由上题可知，教师在教学时不仅要让学生记住做题的思路，还要让他们能够将公式灵活进行运用。

结合我的教学经验，我觉得高中数学教师，尤其是高三数学教师，最好将数学的各部分知识以专题的形式进行讲解，以便于学生对每部分知识的整体掌握，并且由于数学知识的关联性，我们在讲解一道例题时，涉及的知识点会有很多，逐渐让学生对数学知识进行综合运用，使学生掌握转换的思想，提高转换的自觉性。另外，数学问题的灵活多变，使得每道题的解法不一，学生就可以开拓思路进行解题，并在不断思考中培养自己的数学思维，提高数学能力。

二、注重转化研究，实行转换的多样性

高中数学问题的灵活多变与各知识点间的相互联系，使得利用等价转换思想进行解题也具有相应的灵活性与多样性。利用等价转换解决高中数学问题，没有统一固定的一个解决模式，学生可以根据自己对所学数学知识的掌握与运用情况，选择适合自己的转换方法，从而使学生的解题效率大大提高。教师在进行课堂教学时，可以将一道题利用多种不同的转换思想来讲解，既将数学知识建立了联系，综合运用，又开拓了学生的解题思路，培养了学生的发散性思维，使他们能够从不同的角度、不同的方面出发，去解决问题，并在这个过程中逐渐提升自己的能力。

例3.设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范围。

【分析1】该题要直接求值比较复杂，但是通过变量替代，就能将复杂的问题简化。通过设k＝x2＋y2，再代入消去y，转化为“关于x的方程有实数解时，求参数k范围”的问题，该题就变得简单多了。在做题时要尤其注意其中的隐含条件，即x取值范围的确定。

【分析2】分析原题中的方程式，我们发现经过变形后的方程式可以表示椭圆的方程。因此，我们就可以采用数形结合法，将该问题转换为解析几何问题来求解。

【解法2】由3x2＋2y2＝6x得（x－1）2＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x2＋y2的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0，距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x2＋y2＝k，代入椭圆中消y得x2－6x＋2k＝0。由判别式Δ＝36－8k＝0得k＝4，所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。

【分析3】该题中含有两个未知数，而且最高次项为二次，且所求的式子与已知条件变量前的系数都不相同，若是采用纯代数的方法，该题的解题过程可能会有些繁琐，那么我们就可以将已知条件进行变形，然后采用三角代换的方法来解题。即将已知条件与所求式子都进行转化，将代数问题转化为三角问题来解决。

所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。

小结：利用适当的三角函数进行代换，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质解决问题。可以大大简化解题的过程，并容易帮助学生理清思路，使学生将三角函数的知识与方程知识进行有机融合，有助于学生整体掌握数学知识，并开拓学生的思路，通过对各种转换思想的讲解与运用，学生能够将数学知识融会贯通，使其能够学会从不同的方面去思考并解决问题，从而提高学生的思维能力，提高数学分析与学习的能力，促进学生自身的发展与进步。

【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。这两种解题思路可以有如下三种解法。

（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）

（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）

（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）

小结：由于等价转换时采用的思路相同，即将函数名化为同名，但是不同的转换过程与步骤，使得转换时采用的公式不同，实现了转换过程的多样性。

三角函数部分是高中数学学习的主要内容之一，其具有众多的公式，其中常用的有两角和与差、和差化积、积化和差、和差化积、万能公式等。利用三角函数的等价转换解题的关键是通过适当的三角代换，将代数表达转化为三角函数表达，进而把代数式的证明或解答转化为三角函数式的证明或解答，从而起到理顺思路、简化题目的作用。三角函数除了公式多之外，还有另外一个特点，就是三角函数值可以与实数值相联系，充分利用他们之间的等价关系，可以给我们解题带来方便，尤其是在遇到一些难以求值的三角函数时，利用特殊的三角函数值进行巧妙代换，能够大大地简化我们的解题过程。

以上两道例题都利用了数学知识之间的相互联系，以及转换思想的多样性，通过将题目进行不同的转化，开拓了不同的解题思路与方法。教师在教学时一定要着重培养学生的发散性思维，使其将转换思想灵活运用，提高学习能力。

三、遵循转换的原则性，做到解题的简捷性

在利用等价转换思想解高中数学题时，我们要注意转换的原则性，即将我们感觉陌生、复杂的数学问题转换为熟悉、简单的问题来处理，然后通过对数学知识的整体掌握和灵活运用，做到解题的简捷性。下面我举两个例子来简单说明一下。

分析：本题主要考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值。通过对上题解法二的分析，采用的特值代入方法，学生能够很容易就想到将该题中一些数与特殊三角函数相联系，从而能够快速地解答此题。其解题过程如下：

小结：三角函数问题的解题方法不能拘泥于一种，学生在学习时要注意灵活运用。我们在求三角函数的问题时，有如下三个原则，我将其简称为“三看”，即一看角，尽量把角向特殊角或可计算的角转化；二看名称，尽量把一道等式化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切通过公式都转化为相应的弦，或把所有的弦都转化为相应的切；三看式子，看式子是否满足三角函数的某些公式，如果满足则可以直接使用，如果不满足则需要转化一下角或转换一下名称，再进行使用。

运用三角函数的特殊值代入的等价转换，能将复杂的问题简单化，并有助于明确解题思路，简化解题过程。要想让学生将其熟练运用，教师在进行数学题目的讲解时，就要注意将各部分的知识点串联起来，让学生对数学知识在脑中形成整体的框架，并能够根据题目的不同变化，选取合适的解题思路与方法，从而提高解题效率，提高学生对数学学习的兴趣，并更好地发散思维，进行研究探索。

例6.若x、y、z∈R+，且x＋y＋z＝1，求的最小值。

【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后变成含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理变形，即通过等价转化，简化所求式子，从而明确解题思路，简化解题过程。

【注】对所求式进行等价变换，该解题过程为：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在变形中保持其值不变。

小结：在我们求代数式的最值时有多种方法，如利用函数的单调性、数形结合等方法，以及运用不等式的定理公式。通过对题目的观察与分析，采用合适的解题方法，可以有效地简化解题过程，通过等价转换，将复杂的问题转换为简单易解的问题来解决。

运用等价转换进行解题的关键一点就是尽可能将复杂问题简单化，通过对题目进行分析观察与思考，学生要能够采用最合适的转化思想，利用最短的时间解决问题，从而实现解题效率的最优化。我们都知道高中生的时间是很紧迫的，但正是由于学生的学习时间有限，精力有限，学生更要在做题时勤动脑思考，以达到举一反三，而不必通过大量的练习题来提高成绩。教师在课堂教学中要不断渗透数学解题的技巧与方法，从而使学生掌握解题的思路，并在练习与总结中实现解题的简捷性与准确性，有效地提高数学思维与学习能力。

四、重视转换的等价性，提高解题的正确性

等价转换最重要的一点就是要保证转换前后所表示的意义是一样的，即转换前后的式子互为重要条件。很多学生在进行转换时，由于对数学知识点的掌握不透彻，经常会造成转换后的结论与原式不相等，从而造成解题的错误。下面我们来看一道例题。

很多学生在做这道题时都会这样做，但实际上这样解题是错误的。

【分析】事实上，由已知可得0≤x≤1，0≤y≤1，而上题假设将原函数的定义域扩大了，且条件中没有x2+y2=1，就导致了错解，正确的解法是重新换元，再求x+y。

小结：该题的错解告诉我们，在进行转换时，一定要进行等价转换，如果将原题中自变量的取值扩大或缩小，都会造成解题错误。因此，等价转换的最基本也是最重要的一点，就是在进行转换时，一定要保证转换条件的等价性。

等价转换的前提条件就是等价，在进行转换时只有保证了转换的等价，才能保证做题的准确性，否则很容易因为开始转换的失误而使得解题结果错误。因此，学生在做题时，教师要进行指导，强调学生对转换的等价性引起注意，避免出现类似的错误，进而有效地提高数学学习成绩，提高对数学学习的热情与兴趣。

在高中数学的学习中，等价转换不仅仅是一种解题方法，还是一种重要的解题思想。利用等价转换对题目进行转化，可以有效地简化运算过程，而且能够帮助学生分析解题思路，培养学生的发散思维能力。在解高中数学题的过程中，学生通过灵活运用多种不同形式的等价转换，能够将复杂繁琐的数学问题进行有效简化计算，收到良好的学习效果，进而使学生不再畏惧数学的学习。所以教师在进行课堂教学时，要综合运用等价转换的各种解题思想与技巧，将数学知识进行有机结合，使学生能够将所学的知识熟练掌握，并能够融会贯通，将其综合运用，从而提高学生的学习兴趣与思维能力，促进学生数学学习能力的有效提升。

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·编辑 孙玲娟