浅谈参数方程在解决数学问题时的优越性

梁小江（甘肃省临夏回族自治州和政县和政中学）



浅谈参数方程在解决数学问题时的优越性

梁小江
（甘肃省临夏回族自治州和政县和政中学）

摘要：随着我国教育改革不断的推进，学生学习的效率也逐渐提高；尤其是数学习题中的解题技巧，更是随着知识的延展，变得更加简洁和优化；像数学中的参数方程，对比传统的方程解题更加简单和明确，对此参数方程也受到了师生广泛的关注和应用；对此就参数方程在解决数学问题时的优越性，结合参数方程的意义和实例进行分析，并提出相关的见解，希望对于国家教育发展有促进的意义。

关键词：参数方程；数学；解决问题；优越性

因为参数方程与普通方程具有一定的互换关系，所以学生理解参数方程的内容时，并不是很难接受；但是在实际应用过程中，往往会受到数学思维等多方面的影响，使其参数方程不能很好地建立和应用；对此学生应不断注重解题思维的培养，首先要从最基础的转化、分析、归纳以及建立等基础的思维锻炼抓起，然后再逐渐意识到参数方程解题的益处和价值，从而更好地意识到参数方程对于解题的优越性。

一、参数方程解决距离长度问题的优越性

很多学生对于求距离长度的问题，会有一定的难度，很多学生会利用距离公式或是使其转化为直线间距的方式进行求解，但是都没有利用椭圆参数方程，在此说明参数方程在解决距离长度问题时的优越性。例如“，在椭圆，求出椭圆上的点酝到直线x+2y-10=0的距离最小值d”；通过题意设点酝坐标为（4cosα，3sinα），此时确定该题中的唯一参数为α，并且α∈［0，2π），此时得知d=，并且当α=α0时d为最小值，所以此时可得出4cosα与3sinα的值，再将值带入直线方程中，就可以求出d的值为；对此通过参数的确定并进而简化，从而更好地解决距离长度的数学习题。

二、参数方程解决周长面积问题的优越性

例如，“求证圆的内接矩形中，正方形的面积最大”此时列出宽为2Rsinx，与长为2Rcosx的参数方程，可以确定出面积与长宽之间的关系，对此面积S=4R2sinxcosx整理得2R2sin2x，此时当2x 为90°时，则x=45°，S是最大值；当用另一种方式，即设圆的半径为r，内接矩形对角线的夹角为A，此时矩形的面积为S=2r2sinA所以只有当sinA为1时，矩形面积最大，所以只有A为90°时，才能满足条件，并验证正方形面积最大；这两种都准确，但是第二种方法更加需要数学思维和逻辑，给学生增加难度，对此利用参数方程不仅可以减少时间，也能轻松地解决周长面积等题型。

三、参数方程解决点轨迹方程的优越性

参数方程是解决轨迹方程的关键途径，其主要的原则，在于参数的准确选择和引进；同时参数的选择，还要坚持一定的原则，即动点的变化随着参数的改变而改变；对此参数在题目中，能够准确地反映出质点的变化规律，并且与题中给出的变量有一定的联系；所以证明出此方程是参数的轨迹方程，就可以得知参数方程对于点轨迹方程的优越性。

例如，一架飞机在距地面500 m高处以100 m/s的速度沿水平作直线飞行，为了保证物资准确地落在地面上，飞行员应当如何投放，如图所示：

利用普通方程很难用满足于实数对于（x，y）之间的对应关系，以及不能明确物资的运动规律；对此利用参数方程来解决，首先建立x=100 t与y=500-1/2 gt2的参数方程，其中t为参数；可以知道某一时刻物资所在的位置，而且可以进一步知道物资飞行的时间，即当y=0时，t=500/2g，又由于m点的坐标x，y由t决定，所以可知当t在连续运动时，x，y也在连续变化，对此明确出物资的运动规律；并且此题明显利用参数方程，比较简单且明确参数与给出量之间的关系；对此说明参数方程对于点轨迹方程有一定的优越性。

综上所述，通过对参数方程在解决数学问题时的优越性的分析，发现参数方程与普通方程存在某种必然的联系，可以相互进行转换，但是参数方程比普通方程更加简易和明了，因为参数方程和普通方程都是由于参数与变量x，y有指定的函数关系，对此比较容易列出函数关系式。而参数方程转化为普通方程时，只要将方程中的参数去掉就可以了，同时题中提到的变数范围还是固定不变的。

参考文献：

于文华.数学问题解决中模式识别的影响因素研究［D］.南京师范大学，2012.

·编辑乔建梅