基于Kachanov损伤理论的岩石蠕变模型研究

吴祝林　王　伟　朱鹏辉　陈　曦

(1. 河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室， 南京　210098； 2. 河海大学 岩土工程科学研究所, 南京　210098)



基于Kachanov损伤理论的岩石蠕变模型研究

吴祝林1，2王伟1，2朱鹏辉1，2陈曦1，2

(1. 河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室， 南京210098； 2. 河海大学 岩土工程科学研究所, 南京210098)

摘要：一般而言，岩石的蠕变全过程可以分为几个阶段，即初始的衰减蠕变阶段，到中间的稳定蠕变阶段，再到最后的加速蠕变阶段，直至岩样破坏．以往的大多数基于元件组合的模型只能有效的模拟前两个阶段，不能很好的模拟加速蠕变阶段．本文在Burgers元件模型的理论基础上，引进损伤体理论模拟加速蠕变阶段，与Burgers元件模型串联组合构建出能够有效模拟岩石全过程蠕变特征的组合模型，推导出蠕变本构方程．最后，将理论推导的蠕变本构方程用试验曲线拟合确定模型参数，并将理论曲线与试验曲线对比分析，表明所构建蠕变模型的合理性与可行性．

关键词：加速蠕变；Burgers元件；损伤体；本构方程

在岩石的全过程蠕变特征中，加速蠕变是比较难模拟的，在目前的理论研究中主要有两类方法模拟加速蠕变特征：1)构建出能够模拟加速蠕变特征的理想非线性材料元件[1-2]，再与基本元件组合即可模拟全程蠕变，如邓荣贵[2]等将非牛顿流体粘滞阻力原件与传统模型组合，模拟某大坝断层蠕变，结果良好；宋勇军[3]等将FC软体元件与弹簧元件串联结合构件构建模型，能有效描述岩石蠕变特性，且模型元件和参数较少；赵延林[4]将Hook体、黏弹塑性损伤体与Bingham串联串联组合成流变模型，有效的描述了不同应力状态下的蠕变规律；张英[5]等以粘滞系数为不定常量，构建能描述加速流变阶段的复合模型，以恒应变和恒应力分析岩石非线性蠕变和松弛特性．2)引进损伤理论，用损伤因子修正岩石的蠕变参数，并将损伤元件与传统的基本元件组合建立能够模拟全过程蠕变特征的蠕变方程[6-7]．杨圣齐[8]通过Kachanov提出损伤率，推导出衰减、稳态和加速蠕变两阶段中的损伤演化方程；朱昌星[6]等以锦屏二级水电站中的板岩为例，考虑时效损伤和加速门槛值的特点，建立蠕变损伤方程．张强勇[9]等考虑岩体流变参数的弱化效应，建立了变参数蠕变损伤模型，该模型很好反应流变参数随时间的劣化过程．基于损伤力学理论，有两类方法定义损伤因子：第一种是能量损伤中按弹性模量变化定义的损伤因子，第二种是几何损伤中从结构有效承载面积出发定义的的损伤因子即D=1-A2/A(A=A1+A2)，(A1表示材料损伤面积，A2表示材料未损伤面积，A表示材料总的横截面积)．本文采用的是第二种基于有效承载面积定义的损伤因子，从而引进由弹塑性损伤元件[10]演化而来的塑性损伤体．进而与Burgers元件模型组合，构建出能描述损伤的蠕变模型．

1模型的建立

引进弹塑性损伤体元件[10]，如图1所示．

图1　弹塑性损伤体元件

其中A1为在应力状态下的损伤面积，A2为未损伤部分面积，则损伤体总的横截面积为：

(1)

(2)

由于本文引进的损伤因子为D=1-A2/A，再联立式(1)、(2)，可得：

(3)

假设弹塑性元件未损伤部分应力应变关系满足虎克定律，则：

(4)

(5)

联立式(3)、(4)、(5)可得：

(6)

此即为岩石损伤的弹塑性体损伤本构模型．基于Kachanov[11]的研究，假设岩石的损伤是由有效承载面积的减小而导致，即岩石有效承载面积的弱化作用，从而引进基于承载面积损伤的损伤因子D，如下式：

(7)

式中，tF岩石的蠕变破坏时间，V为岩石材料参数，t为蠕变时间．

由实验研究表明，损伤并不是在任何情况下都会发生，只有当外在应力大于岩石的屈服应力σs时，才会发生损伤，因此，在考虑外界应力大小的基础上可建立岩石蠕变损伤的损伤因子：

(8)

式中α=1/(V+1)．

将式(8)代入式(6)，得到弹塑性损伤体的本构模型为：

(9)

基于此，式(9)即为推导出的弹塑性损伤体的本构模型，由式(9)可知，当损伤体所受应力小于屈服应力时，只产生弹性应变，并未产生损伤，由于需要研究的是当所受应力超过屈服应力而产生损伤的部分，也即为反应岩石的加速蠕变阶段过程，所以由弹塑性损伤体不考虑弹性部分，只研究其塑性部分，得到下式塑性损伤体：

(10)

下面再来导出反应岩石的线性蠕变阶段过程，本文引进Burgers元件模型反应线性阶段过程，Burgers元件组合模型总应变为：

(11)

瞬时弹性应变为：

(12)

开尔文体应变：

(13)

马克斯韦尔体粘性应变速率为：

(14)

式中，η1为马克斯韦尔体的粘滞系数．

由拉氏变换得：

(15)

(16)

此即为Burgers模型的蠕变方程，式中σ0为岩石应力，E1、E2为黏弹性模量，η1、η2为黏滞系数，t为蠕变时间．由式(16)可知，Burgers模型的蠕变量由3部分组成：

到这里，用以描述衰减蠕变与稳定蠕变的Burgers模型已建立，用以描述加速蠕变的塑性损伤蠕变模型也已建立，将Burgers模型与塑性损伤体模型串联组合，模拟全过程蠕变，因此：岩石在外在应力作用下引起的总应变ε由塑性损伤体应变εep和Burgers元件应变εve组成，可表示为：

(17)

组合的图形如图2所示．

图2　岩石蠕变模型

将式(10)和式(16)代入式(17)可得：

(18)

至此，模拟岩石全过程蠕变特性的蠕变方程已建立．

2模型参数的确定

岩石蠕变模型中包含E0、E1、E2、η1、η2、α、tF7个参数，其中tF为岩石的蠕变寿命，即应变曲线趋向无穷大时所对应的时间，可以根据应变试验曲线很容易的得到参数tF．其余参数的确定方法根据试验曲线数据拟合得出，拟合出参数的方法简单，可行．

本文是对砂岩进行实验，引进王伟等人的砂岩实验数据[12]，砂岩蠕变试验曲线如图3所示．

图3　砂岩蠕变试验曲线

由图3可知，砂岩的蠕变经历了初始蠕变阶段、稳定蠕变阶段和加速蠕变阶段．在100 MPa的应力作用下，砂岩还出现了瞬时弹性变形，在后续增加轴向应力时轴向应变发展缓慢．当应力加到150 MPa时，出现了加速蠕变破坏现象．

在本文建立的蠕变模型基础上，引进王伟的砂岩实验数据[12]，对各阶段应力水平下的模型参数进行拟合，求得各级应力水平下的模型参数，岩石蠕变参数见表1．

表1　砂岩蠕变模型参数

将模型理论曲线与试验曲线对比分析，如图4所示，可得到该模型不仅能模拟初始蠕变阶段与稳定蠕变阶段，还能有效的模拟加速蠕变阶段，验证了本文所建立模型的可行性与合理性．

图4　砂岩全过程蠕变理论曲线与试验曲线

3结论

本文通过对岩石的蠕变过程进行分析，对其线性阶段通过常用的元件模型来模拟，而其非线性阶段则引进损伤理论，建立起用来描述线性阶段与非线性阶段全过程的蠕变模型，最后通过试验验证该模型的合理性．得到了以下结论：

1)岩石在受外力长期作用下，主要经历了初始蠕变、稳定蠕变和加速蠕变阶段，其初始蠕变和等速蠕变用Burgers元件模型来描述，加速蠕变阶段通过引进塑性损伤体与Burgers元件串联来描述，即能有效的建立包含加速蠕变阶段在内的岩石全过程蠕变模型．

2)由砂岩的蠕变试验数据，拟合出各级应力作用下蠕变模型参数，得到各级应力水平下的蠕变方程，并将模型方程理论曲线与试验曲线对比分析，证明本文建立的模型的可行性与有效性．

参考文献：

[1]袁海平，曹平，许万忠，等．岩石粘弹塑性本构关系及改进的Burgers蠕变模型[J]．岩土工程学报，2006，28(6)：796-799．

[2]邓荣贵，周德培，张倬元，等．一种新的岩石流变模型[J]．岩石力学与工程学报，2001，20(6)：780-784．

[3]宋勇军，雷胜友，韩铁林．一种新的岩石非线性黏弹塑性流变模型[J]．岩土力学，2012,33(7)：2076-2080．

[4]赵延林，曹平，文有道，等．岩石弹黏塑性流变试验和非线性流变模型研究[J]．岩石力学与工程学报，2008，27(3)：477-486．

[5]张英．岩石流变的一种非线性黏弹塑性流变模型研究[J]．湖南工业大学学报，2015，29(3)：11-14．

[6]朱昌星，阮怀宁，朱珍德，等．岩石非线性蠕变损伤模型的研究[J]．岩土工程学报，2008，30(10)：1510-1513．

[7]佘成学．岩石非线性粘弹塑性蠕变模型研究[J]．岩石力学与工程学报，2009，28(10)：2006-2011．

[8]杨圣奇，徐鹏．一种新的岩石非线性流变损伤模型研究[J]．岩土工程学报，2014，36(10)：1846-1854．

[9]张强勇，杨文东，张建国，等．变参数蠕变损伤本构模型及其工程应用[J]．岩石力学与工程学报，2009，28(4)：733-739．

[10] 曹文贵，袁靖周，王江营，等．考虑加速蠕变的岩石蠕变过程损伤模拟方法[J]．湖南大学学报：自然科学版，2013，40(2)：16-20．

[11] Kachanov M． Effective Elastic Properties of Cracked Sdids：Cvitical Review of Some Basic Concepts[J]． Applied Mechanics Review，1992，45(8)：304-335．

[12] 王伟，吕军，王海成，等．砂岩流变损伤模型研究及其工程应用[J]．岩石力学与工程学报，2012，31(2)：3651-3658．

[责任编辑周文凯]

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.03.008

收稿日期：2015-12-30

基金项目：973项目(2011CB013504)；留学回国人员科研启动基金(51103312)

通信作者：吴祝林(1990-)，男，硕士，从事岩石力学与工程方面研究．E-mail：1206725293@qq.com

中图分类号：TU452

文献标识码：A

文章编号：1672-948X(2016)03-0032-04

Research of Creep Model of Rock Based on Kachanov Damage Theory

Wu Zhulin1，2Wan Wei1，2Zhu Penghui1，2Chen Xi1，2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechnical & Emankment Engineering, Hohai Univ., Nanjin 210098, China;2. Geotechnical Research Institute, Hohai Univ., Nanjin 210098, China)

AbstractIn general, the creep process of rock can be divided into several stages, namely the initial attenuation creep stage, the middle stable creep stage, to the last stage of accelerating creep, until the rock damage. In the past, most element combination model can effectively simulate the first two stages, but can't well simulate acceleration creep stage. Based on the theory of Burgers component model, this paper introduces the damage body theory to simulate accelerating creep stage; it can effectively simulate the whole process of rock creep characteristics with series combination of Burgers components model, and deducing the creep constitutive equation. Finally, determining model parameters of the creep constitutive equation derived from the theory with the test curve, by comparative analysis of theoretical curve with test curve, it is shown that the established creep model is reasonable and feasible.

Keywordsaccelerating creep；Burgers element；damage body；constitutive equation