轴向磁通电机三角棱镜牛顿非线性二维有限元离散求解

吴卫萍，任莹晖

(1.广东松山职业技术学院 机械工程系，广东 韶关　512126;2.湖南大学 机械与运载工程学院，长沙　410082)



轴向磁通电机三角棱镜牛顿非线性二维有限元离散求解

吴卫萍1，任莹晖2

(1.广东松山职业技术学院 机械工程系，广东 韶关512126;2.湖南大学 机械与运载工程学院，长沙410082)

摘要：针对轴向磁通电机存在的非线材料特性，导致饱和发生时，会出现具有特定依赖性径向坐标上的磁矢量具有潜在损失的问题，提出一种轴向磁通电机三角棱镜牛顿非线性二维有限元求解方法。首先，对轴向磁通电机非线性静磁方程进行研究，并设计基于牛顿迭代的模型线性化求解过程；其次，针对轴向磁通电机存在的三维容易导致非线性求解过程过于复杂的问题，提出一种基于径向对称的降维方法，并在此二维模型基础上进行有限元离散化，然后利用锥形三角棱镜方式对模型积分域进行分解，结合加权残值法求取磁场强度的二维垂直分量，实现模型求解过程简化；最后，通过四个测试案例及永磁轴向磁通电机进行模拟，验证了算法的有效性。

关键词：轴向磁通电机；三角棱镜；牛顿迭代；有限元；离散模型

0引言

在诸如电机等电磁装置中使用的铁磁性磁芯材料一般要求处于早期饱和工况下[1]。这类系统可通过静磁场或Maxwell方程准静态子集进行描述。而在饱和材料存在情况下，该公式可由固定点技术进行线性化，例如，偏振方法[2]，连续替换技术[3]或牛顿方法[4]，但是线性化后的模型精度并不能很好的保证。非线性所带来的问题是有显著的计算成本增加，因此相对于三维模拟，二维模拟更受青睐的原因是[5]，对于任何情形下的几何形状，模型激发以及边界条件在本质上都是二维的，或者可通过引入可容忍建模误差构建其二维模型，这样可有效降低模型求解的计算复杂度。

在二维模型中，笛卡尔和二维轴对称模型是使用最多的，并且有提供的商业以及免费的软件工具包[6]。对于径向对称情况，其特征是磁通线限制在圆柱壳内，由径向电流产生。例如，轴向磁通机[7]，盘电机、圆柱磁刹车以及多线圈感应系统。文献[8]表明，选择专用的有限元(FE)形状的可保证分区的统一，以及重要的数值一致收敛性。特别是，有限元形状函数需要依赖于径向坐标。然而在笛卡尔和轴对称的情况下[9]，并不存在这样的对称方向上的依赖关系。

基于上述分析，在本文中为降低轴向磁通电机有限元分析过程的计算复杂度，利用牛顿非线性材料处理方法构建径向对称性，进行二维有限元求解器设计，并根据径向对称性的特殊性要求，设计特定的非线性更新方案以及Jacobian矩阵进行求解方案设计。

1非线性公式及牛顿过程

轴向磁通电机静磁方程形式如下[10]：

(1)

(2)

图1　BH特性示意图

如图1，考虑具有标量BH特性的各向同性钢体结构，其线性化特征描述过程为：

(3)

(4)

上述牛顿求解过程停止迭代的收敛准则为：存储磁场能量的相对变化低于用户定义阈值。

2径向对称降维

(5)

场对磁通半径r的特殊依赖性被称为径向场对称性，在标准直角坐标轴对称情况下，材料和场的对称性具有相同的类型，而在径向对称及在螺旋状对称情况下，材料和磁场的对称性不一定具有相同的类型。

如图2所示的轴向磁通机器示意图，径向剖面和圆柱剖面可构建二维平面。该机器的磁活动部件具有一个径向对称的几何形状，r1≤r≤r2，并带有径向取向的电流密度。对称性会受到线圈端部和边缘效应的影响。然而，这些终端影响对于r1≤r≤r2的磁场是假定为可忽略不计的。磁通线被限制在圆柱壳内。考虑r=r1和r=r2间的二维模型是有意义的，其径向范围为lr=r2-r1。参考半径为req，参考外壳为Seq，磁矢势可降低到其径向分量Ar。

图2　轴向磁通电机的三维模型

3有限元离散化

不建议将矢量偏微分方程(1)限制到其r分量，然后引入Ar的节点有限元形状函数。一个更好的方法是定义一个径向对称和笛卡尔或轴对称的转换模型，作为另一个选择，建议定义专用矢量有限元形状函数。定义在元素e上的最低阶有限元形状函数we,j形式为：

(6)

(7)

式中，er是径向单位向量，Se为参考平面上的三角形截面积，系数ae,j，be,j和ce,j满足如下关系：

(8)

有限元形函数(6)可用来衡量线性化公式和离散矢量磁位，可获得公式(5)的离散对应形式：

(9)

根据有限元集成技术，可得矩阵和向量项形式为：

(10)

(11)

(12)

4非线性更新

图3　三角形棱镜高斯积分点

尽管如此，文献[6]指出与r呈现反比例的特征会阻碍Gauss型求积规则的收敛性。这种方式不但未增加算法准确度，反而增加自适应集成技术的计算成本，在这里，基于如下两个连续步骤进行积分过程求解：对r的积分进行数值模拟，同时对θ和z向的积分进行解析，可获得如下计算形式：

(13)

(14)

(15)

其中，

(16)

(17)

在饱和情况下，原先假定的径向材料对称性丢失。然后，磁场从一个圆柱壳迁移到另一个，即使是完全对称的几何体。不过对于we,j的选择，应使中间解决方案具有特定的场对称性。磁通密度服从：

(18)

(19)

(20)

5模型验证

5.1测试案例验证

利用四个测试案例验证上述非线性有限元求解器的径向对称性的正确性，如图4所示。每一个模型考虑一个矩形截面环段，即：

(21)

并通过一个径向电流激发。测试用例a和b包含一个线性材料，而测试用例c和d包含非线性材料。测试工况a和c下，边界条件仅允许一个轴向磁通，而测试工况b和d下，只允许一个外部磁通。通过计算出的磁能量进行模型验证，见表1所示。在非线性情况下，磁通密度有一个简单的空间分布，根据BH特性可利用半解析方法计算磁场能量。

图4　半解析的测试用例

根据表1可知，在上述四个测试案例上，采用本文二维有限元求解器获得的模型与半解析模型对比分为两种情况：①在线性情况下，可获得确切的协议。对于非线性情况下，对轴向磁通和外部磁通进行区别分析。磁通沿轴向进行空间分布，因此，材料饱和不依赖于半径r。②在非线性情况下，非线性模型保留了径向材料对称性，并且数值、半解析结果能够很好地吻合。在另一方面，外周磁通密度是径向不均匀的，并导致不同程度的饱和。然后，径向材料对称性丢失，二维模型求解获得结果不再与半解析结果相匹配。

表1　二维有限元求解器和半解析模型对比

上述结果表明，在线性情况下，半解析模型可获得与本文二维有限元求解器极为近似的结果，但是在非线性情况下，半解析模型的效果较差，与真实模型相差较大。

5.2永磁轴向磁通电机模拟

通过计算永磁轴向磁通电机饱和线圈的性能，对径向对称的二维模型的非线性有限元求解方法进行阐述。所采用的永磁轴向磁通电机实验装置如图5所示。

图5　永磁轴向磁通电机

该轴向磁通电机是腾达电动科技公司开发的高功率密度驱动电机，具有体积小、重量轻以及效率高等优点，电机参数见表2所示。

表2　电机参数

该轴向磁通电机定子共包含六个线圈，以及位于适当定子绕组上的局部饱和铁轭。两个转子都在前后相对180°位置上移动，这样可保证磁极的相对性。径向对称的二维模型通过有限元磁方法进行构建，并利用三角棱镜轴向压缩技术，和MATLAB二维非线性有限元求解器进行实现。类似于二维笛卡尔模型的情况，仅考虑位于r=r1和r=r2之间的磁活性部分，如图2所示。因此，对于末端绕组的影响予以忽略。此二维有限元模型可用于轴向磁通电机的电动势和力矩计算。绕组端部效应可以通过附加电阻和电感进行电路模型建模。转子位置对磁场能量和转矩的影响曲线如图6所示。

图6　转子位置对磁场能量和转矩的影响

采用二维有限元求解器对轴向磁通电机振动频率进行测试。振动实测频谱见图7。根据图7可知，该轴向磁通电机振动峰值主要集中于2000Hz频率段范围之内。该振动峰值由4次以内的力波生成。随电机振动频率升高，转子和定子之间存在的磁场谐波幅值同时也在下降，但电机的振动能量一直在增加，这会对轴向磁通电机产生影响。

图7　振动实测频率

图8所示为定子模态实测的频率响应图，根据图8可知定子模态频率为1790Hz。与轴向磁通电机径向位置的电磁力波1682Hz及其接近，在此会产生共振现象，并且有很大的振幅存在。

图8　定子实测频率响应

根据图7可知，轴向磁通电机的振幅最大值是60Hz，第二振幅是1682Hz。前者是轴向磁通电机的转动频率值，其由机械力源启动过程生成，可利用动平衡进行振动抑制。后者振动频率产生原因是共振。因此在轴向磁通电机研发时，可基于在转子附设隔磁桥，更改磁极结构，更改定子槽形等形式，对电极的磁通密度形状进行重构，起到消除1682Hz电磁力的效果，从而降低电机共振。

表3　电磁频率情况(Hz)

表3所列为选取的轴向磁通电机振动实测值、文献[1]及本文算法的电磁频率情况对照。根据表3数据可知，因为电机材料存在非线性特征，且本文方法考虑了材料的非线性特性，故而其所获得的电磁频率值与真实测得的振动频率峰值基本一致，但是文献[1]方法所获得的电磁频率值与实测振动频率峰值有一定差距，并且随着频率值增大，这种差距也在增大，与材料的非线性相吻合。因此本文的计算方法相对于文献[1]方法可更为有效的预算出电机振动的主要原因，为轴向磁通电机预估和振动抑制奠定基础。

6结束语

提出一种轴向磁通电机三角棱镜牛顿非线性二维有限元求解方法，用于解决轴向磁通电机存在的非线材料特性导致的磁矢量潜在损失问题，该方法通过锥形三角棱镜方式对模型积分域进行分解，并结合加权残值法求取磁场强度的二维垂直分量，实现模型降维简化模型计算。通过四个测试案例及永磁轴向磁通电机进行模拟，验证了算法的有效性。

[参考文献]

[1] 于慎波，姜菲菲，王辉.永磁同步电主轴分数槽电机的径向电磁力分析[J].组合机床与自动化加工技术,2014(6):15-18.

[2] Hantila F I,Preda G,Vasiliu M. Polarization method for static fields[J].IEEE Transactions on Magnetics, 2000,36(4):672-675.

[3] Dlala E,Arkkio A.Analysis of the convergence of the fixed-point method used for solving nonlinear rotational magnetic field problems[J].IEEE Transactions on Magnetics,2008,44(4):473-478.

[4] Silvester P,Chari M. Finite element solution of saturable magnetic field problems[J].IEEE Transactions on Power Application System,1970,89(7):1642-1648.

[5] 张幼军，张辰昌.几种螺杆泵模型在非均匀压力下的有限元分析与比较[J].组合机床与自动化加工技术,2014(8):5-8.

[6] 张健，陈琳，张祺.“S”形齿轮参数化设计及有限元分析[J].组合机床与自动化加工技术,2015(3):44-47.

[7] Vansompel H,Sergeant P,Dupre L.A Multilayer 2-D-2-D Coupled Model for Eddy Current Calculation in the Rotor of an Axial-Flux PM Machine[J].IEEE Transactions on Energy Conversion,2012,27(3):784-791.

[8] Vanoost D,De Gersem H, Peuteman J.Two-Dimensional Magnetostatic Finite-Element Simulation for Devices With a Radial Symmetry[J].IEEE Transactions on Magnetics,2014,50(5):7400204.

[9] 夏百战,于德介,姚凌云.二维稳态辐射声场的光滑有限元一完美匹配层解法[J].力学学报,2012,44(2):460-463.

[10] Li Huayang,Shen Jianxin.FEA-Based Design and Comparative Study of Axial Flux Permanent Magnet Machines with Various Topologies[J].TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICALSOCIETY,2015,30(14):32-39.

(编辑李秀敏)

文章编号：1001-2265(2016)07-0041-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.07.012

收稿日期：2016-02-06

作者简介：吴卫萍(1979—)，女，河北丰润人，广东松山职业技术学院高级讲师，工程硕士，研究方向为机械设计，(E-mail)gdzyxy_wwp@sina.com。

中图分类号：TH164;TG506

文献标识码：A

Triangular Prism Based Newton Nonlinear two Dimensional FiniteElementDiscreteSolutionforAxialFluxMotor

WU Wei-ping1,REN Ying-hui2

(1.Department of Mechanical Engineering,Guangdong Songshan Polytechnic College,Shaoguan Guangdong 512126,China;2.College of Mechanical and Vehicle Engineering,Hunan University,Changsha 410082,China)

Abstract：Because of the nonlinear material properties, there will be specific dependence of the radial coordinate of the magnetic vector,which has problems with potential magnetic vector losses when saturation occurs,so here proposed then triangular prism based Newton nonlinear two dimensional finite element discrete solution for Axial flux motor. Firstly,the nonlinear static magnetic equations of axial flux motor are studied, and the solution procedure of the model based on Newton iteration is designed;Secondly, the axial flux motor in three-dimensional model will easily lead to too complex for solving the nonlinear problem,so here proposed a dimensionality reduction method based on radial symmetry,and based on this two-dimensional model,here conduct the finite element discretization,then with the integral model of domain decomposition and the tapered triangular prism method,and combined the weighted residuals method to get the two-dimensional vertical component,which realized the model simplify;Finally, through four test cases and double rotor permanent magnetic bearings to simulate the flux which verify the effectiveness of the algorithm.

Key words：axial flux motor; triangular prism;Newton iteration;finite element method;discrete model