Hilbert C＊－模中g－框架的新的等式和不等式

相中启，张慧慧

（上饶师范学院数学与计算机科学学院，江西上饶334001）

Hilbert C＊－模中g－框架的新的等式和不等式

相中启，张慧慧

（上饶师范学院数学与计算机科学学院，江西上饶334001）

利用算子理论方法给出了Hilbert C＊－模中g－框架的新的等式和不等式，所得结果包含了已知的一些结果。

Hilbert C＊－模；g－框架；等式；不等式

Hilbert空间中框架（经典框架）的概念诞生于上世纪50年代［1］，它是标准正交基的自然推广。1986年，Daubechies等［2］重新引入并进一步发展了框架理论，他们的研究成果表明框架理论与小波理论之间存在紧密的联系，自此框架理论开始成为小波分析中的一个重要分支并得到了国内外众多学者广泛而深入的研究［3－6］。由于冗余性和灵活性，如今框架已经被应用数学家和工程师广泛应用于信号处理、图像处理和抽样理论等方面［7－9］。近些年来，一些数学家将框架概念进行广义化，提出了多种离散框架形式，其中Sun W C教授［10］引入的g－框架更具一般性，它包含了诸如融合框架和外框架等一些框架推广形式。2008年，文献［11］又将g－框架和融合框架的概念推广到Hilbert C＊－模上去。文献［12－17］继续研究了Hilbert C＊－模中g－框架和融合框架的一些性质。

尽管Hilbert C＊－模是Hilbert空间的自然推广，但是它们之间还是存在一些本质的不同。例如，Hilbert C＊－模中拓扑可补的闭子模可能不是正交可补的；Hilbert空间上关于有界线性泛函的著名的Riesz表示定理在Hilbert C＊－模中并不成立，这表明Hilbert C＊－模上的某些有界算子可能不存在伴随算子，等。同时需要强调，由于C＊－代数的复杂性，以及Hilbert空间中的一些经典结果及有用的技巧在Hilbert C＊－模中没有对应物或者无法类比，从而使得Hilbert C＊－模中的框架（g－框架）问题比Hilbert空间更难以处理，因此将Hilbert空间中的框架（g－框架）理论推广到Hilbert C＊－模的工作并非平凡。另外，越来越多的证据表明Hilbert C＊－模理论与小波理论特别是框架理论在许多方面都有着密切的联系，两个研究领域都将因彼此的发展而受益，因此Hilbert C＊－模中框架（g－框架）的研究就显得很重要和有意义。

在计算重构的有效算法时，Balan等［18］构建了Parseval框架的新的等式和不等式，随后杨晓慧等［19，20］将其推广到了g－框架和对偶g－框架的情形。最近，肖祥春等［12］证明了上述文献中的等式和不等式对Hilbert C＊－模中的g－框架依然有效。本文从算子理论的角度得到了Hilbert C＊－模中g－框架的新的等式和不等式，所得结果包含了文献［12］的一些结果。

1 预备知识

先约定一些记号。本文中，J是有限或可数指标集，A指有单位元的C＊－代数，H和K是A上的Hilbert C＊－模，｛Kj｝j∈J是K的闭子模序列，IH表示H上的恒等算子。任意f∈H，记f〉。用记号（H，K）表示H到K的可伴算子全体组成的集合，而EndA＊（H，H）则简记为（H）。用l2（｛Kj｝j∈J）表示由下式定义的Hilbert C＊－模：

定义1.1［11］任意j∈J，设Λj∈End＊A（H，Kj）。如果存在常数C，D＞0使得

则称｛Λj｝j∈J是H关于｛Kj｝j∈J的g－框架，C，D称为框架界。如果C＝D，则称｛Λj｝j∈J是紧的g－框架，特别地，若C＝D＝1，则称｛Λj｝j∈J是Parseval g－框架。如果只有（1.1）式右端的不等式成立，则称｛Λj｝j∈J是界为D的g－Bessel序列。

定义1.2［11］设｛Λj｝j∈J是H关于｛Kj｝j∈J的g－框架，则其框架算子定义为：

令K⊂J，记KC＝J＼K，定义可伴算子SK，SKC：H→H如下：

设Λj｛｝j∈J，Γj｛｝j∈J和Θj｛｝j∈J均是H关于Kj｛｝j∈J的g－Bessel序列，定义算子如下：

由文献［12］可知L是定义好的可伴算子。类似可知算子

是定义好的可伴算子。

2 主要结论及其证明

为了证明主要结论，需要下面的引理。

进一步，若T和Q＊TL是正的自伴算子，则任意f∈H有

证明 由于P＋Q＝L，则

故等式（2.1）成立。现证明不等式（2.2）。由于T和Q＊TL是正的自伴算子，则任意f∈H有

定理2.2 设Λj｛｝j∈J，Γj｛｝j∈J和Θj｛｝j∈J均是H关于Kj｛｝j∈J的g－Bessel序列，算子L，Q分别由（1.4）式和（1.5）式定义且T∈End＊A（H），则对任意的f∈H，

由（2.1）式，对每个f∈H有

另一方面，若T和Q＊TL是正的自伴算子，则由引理2.1可知

推论2.3 设Λj｛｝j∈J是H关于Kj｛｝j∈J的g－框架且设Λ～j｛｝j∈J是Λj｛｝j∈J的典范对偶g－框架，则对任意的K⊂J，f∈H有

证明 令T＝S－1。任意j∈J，令Γj＝Λj，则L＝S，且令显然Θj｛｝j∈J是H关于Kj｛｝j∈J的g－Bessel序列且任意j∈J，Γj－Θj具有如下形式：

任意f∈H有

类似地有

因此由引理2.1可得

若Λj｛｝j∈J是H关于Kj｛｝j∈J的Parseval g－框架，则S＝IH。任意K⊂J，f∈H，由于

类似地有

所以由推论2.3立即可得如下结论：

推论2.4 设Λj｛｝j∈J是H关于Kj｛｝j∈J的Parseval g－框架，则对任意的K⊂J，f∈H有

注2.5 推论2.3和2.4分别是文献［12］中的定理4.1和定理4.2。

［1］Duffin R J，Schaeffer A C.A class of nonharmonic Fourier series［J］.Transactions of the American Mathematical Society，1952，72（2）：341－366.

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［17］相中启，黄时祥.Hilbert C＊－模中融合框架的新刻画［J］.纯粹数学与应用数学，2015，31（5）：456－463.

［18］Gavruta P.On some identities and inequalities for frames in Hilbert spaces［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，321（1）：469－478.

［19］杨晓慧，李登峰.G－框架及其对偶框架的一些等式和不等式［J］.数学学报，2009，52（5）：1033－1040.

［20］肖祥春，朱玉灿，曾晓明.Hilbert空间中g－Parseval框架的一些性质［J］.数学学报，2008，51（6）：1143－1150.

New Equalities and Inequalities for g－Frames in Hilbert C＊－Modules

XlANG Zhong－qi，ZHANG Hui－hui

（School of Mathematics and Computer Science，Shangrao Normal University，Shangrao Jiangxi 334001，China）

A new equality and a new inequality for g－frames in Hilbert C＊－modules were obtained by utilizing the method of operator theory and it was shown that those results cover some known results.

Hilbert C＊－module；g－frame；equality；inequality

O177.1

A

1004－2237（2016）03－0006－04

10.3969／j.issn.1004－2237.2016.03.002

2016－04－13

国家自然科学基金资助项目（11561057）；江西省自然科学基金资助项目（20151BAB201007，20151BAB211002）；江西省教育厅科学技术研究项目（GJJ151061，GJJ151054）

相中启（1979—），男，山东临沂人，讲师，博士，研究方向：分形理论与小波分析。E－mail：lxsy20110927＠163.com