定时截尾试验零故障时的MTBF估计方法

付兴中，李　伟，王晋忠，李　晔

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081；2.空军驻石家庄地区军事代表室，河北 石家庄 050081)



定时截尾试验零故障时的MTBF估计方法

付兴中1，李伟2，王晋忠1，李晔1

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081；2.空军驻石家庄地区军事代表室，河北 石家庄 050081)

摘要针对产品定时截尾试验中零故障时无法进行平均故障间隔时间(Mean Time Between Failures，MTBF)估计的问题，分析了不同情况下点估计方法选用的注意事项，并通过公式推导得出了零故障时置信下限的计算公式。对置信下限计算公式进一步推导，得到了便于实际应用的简化计算公式。通过在多个可靠性试验中应用该方法进行MTBF估计，结果表明该方法可行有效。

关键词可靠性试验；零故障；MTBF；验证区间

0引言

随着订购方对产品可靠性越来越重视，产品的可靠性试验也相应地备受各方关注。根据国军标(GJB)899A-2009《可靠性鉴定和验收试验》的要求，可靠性试验不仅要判定被试产品是否通过试验，而且还需要根据试验数据进行MTBF[1]估计，即计算MTBF值的点估计与验证区间。

在产品可靠性试验方案选择时，由于定时截尾试验方案具有很强的计划性和可操作性，因此在实际工程中，订购方与承制方常常选择定时截尾试验方案开展可靠性试验[2]。同时，随着产品设计不断优化、元器件质量水平逐步提高，在可靠性试验中出现零故障的概率也在逐步提高[3]。

在可靠性试验数据处理过程中，当故障数大于0时，可以方便地应用GJB899A提供的方法进行MTBF的估计，而对于零故障时的情况，则在标准中没有明确描述[4]。在工程实践中遇到零故障时，要么直接接收不进行估计，要么依据惯例和经验公式进行估计[5]，估计结果的正确性无法使人信服。本文通过公式推导与理论分析，提出了适合实际项目使用的估计方法，具有一定的工程应用价值。

1故障数为r(r>0)时的估计方法

1.1故障数为r时的点估计

(1)

1.2故障数为r时的验证区间

MTBF的验证区间只有在确定的置信度下才有意义。一般情况下，订购方会在合同或技术协议等相关文件中规定MTBF置信区间的置信度，若没有明确规定，则可以采用GJB899A的建议，取置信度C=1-2β。

置信度为C的MTBF验证区间为(θL,θU)，其中置信下限θL和置信上限θU计算公式如下[6]：

(2)

(3)

式中，C′=(1+C)/2为单边置信限的置信度；θL(C′,r)与θU(C′,r)分别为置信下限系数和置信上限系数，计算公式为：

(4)

(5)

在GJB899A的表A.12《定时试验接收时MTBF验证区间的置信限系数θ(C′,r)》中，已分别列出了置信度为40%、60%和80%，故障数为1～37的各种不同情况的置信下限和置信上限系数。在总试验时间T、置信度C和故障数r已知的情况下，通过查表计算，可得出MTBF的验证区间。

2零故障时的估计方法

2.1零故障时的点估计

当试验达到规定的试验时间T，并作出接收判决时，若责任故障数r=0，则MTBF的点估计值依据式(1)无法计算。比较保守一点的作法是将此时的试验时间T作为产品的MTBF点估计值，即认为如果继续进行可靠性试验，会立即出现一个故障，应用此方案订购方承担风险较小，生产方承担了较大的风险[7]。

针对这一问题，订购方与生产方可以采取提前约定的方式加以解决。如果进行可靠性试验的产品采用较多高新技术，实际使用中需要极高的可靠性，或者定时截尾试验选用了短时高风险、鉴别比又较大的试验方案，在进行MTBF的点估计计算时，订购方可以选择比较保守的点估计方案。如果进行可靠性鉴定试验的产品属于成熟产品，或者基于可靠性试验的数据有理由相信产品的可靠性较高，则可以选择比较激进的点估计方案[9]。

2.2零故障时的置信下限

2.2.1置信下限计算公式推导

根据GJB899A的公式推导MTBF验证区间的置信下限。将式(1)、式(4)代入式(2)，可得：

(6)

消去r，可得：

(7)

零故障时，r=0，带入可得：

(8)

式(8)为定时截尾试验零故障时，MTBF验证区间置信下限的计算公式(其单边置信限的置信度为C′=(1+C)/2)。

若采用默认置信度C=1-2β，则可将式(8)进一步简化，可得，

(9)

2.2.2引理证明

证明：服从自由度为n的χ2分布的随机变量的密度函数为Γ(t,n/2,1/2)，即此随机变量的分布函数为形状参数为n/2，尺度参数为1/2的gamma分布，因此随机变量的密度函数为：

式中，Γ(n/2)是gamma函数在n/2处的函数值。

证毕。

2.2.3计算置信下限的简化公式

根据引理，式(9)可以写为：

θL=2T/(-2lnβ)。

即

θL=T/(-lnβ)。

(10)

式(10)为定时截尾试验零故障时计算MTBF验证区间置信下限的简化公式(其单边置信限的置信度为C′=(1+C)/2=1-β)。在总试验时间T和使用方风险β已知的情况下，带入数据即可计算得出MTBF验证区间的置信下限。应用式(10)进行定时截尾试验零故障时MTBF验证区间置信下限的计算，无须查表，可针对任意β值进行计算，大大简化了计算过程。式(10)在置信度C=1-2β的条件下才成立，若选取置信度为其他值，则应按照式(8)进行求解计算。

3实例应用

例如，某频段电台的可靠性指标为MTBF的最低可接收值θ1=100h，在产品验收阶段提交进行可靠性试验。采取定时截尾试验方式，选择标准型定时试验统计方案17号试验方案进行(参数如表1所示)，试验总试验时间T=4.3*100=430h。

表1　标准型定时试验统计方案17号试验方案参数

试验完成后，统计责任故障数为0，结论为接收，订购方要求对其可靠性指标进行估计。

本次可靠性试验无故障发生，只需计算MTBF验证区间的置信下限[11]。由于订购方未明确规定置信度，按照国军标推荐置信度取值C=1-2β=60%，应用式(10)进行置信下限的计算，可得

θL=430/(-ln0.2)=267.2h。

即某频段电台MTBF验证区间的置信下限为θL=267.2h(单边置信限的置信度C′=80%)。

在以往的工程惯例中，试验结果为零故障时只做出“合格”判定，不进行可靠性指标计算。而随着订购方对产品可靠性要求越来越具体化，对结果只进行定性判断已远远不能满足订购方要求，需要定量计算得出具体数值[12]。在本例中，应用文中所述方法计算得出此电台的MTBF估计结果，较好地解决了这一问题，得到了承制方与订购方的认可。

4结束语

本文提出了定时截尾试验中零故障时MTBF估计的工程计算方法，分析了所述方法中点估计的局限性，推导出了零故障时的置信下限计算公式并对其进行了化简，为工程实践提供了理论依据。通过工程应用表明，该方法可以解决零故障时无法进行MTBF估计的问题，对工程实践具有一定的指导意义。

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doi:10.3969/j.issn.1003-3106.2016.07.25

收稿日期：2016-03-22

中图分类号TN710

文献标志码A

文章编号1003-3106(2016)07-0098-03

作者简介

付兴中男，(1984—)，硕士，工程师。主要研究方向：项目质量管理。

李伟男，(1983—)，工程师。主要研究方向：质量管理与产品可靠性。

EstimationMethodofMTBFforZero-failureDatainReliabilityTimeTruncatedQualificationTest

FUXing-zhong1,LIWei2,WANGJin-zhong1,LIYe1

(1.The 54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang Hebei 050081,China;2.Military Representative Office of PLA Air Force Stationed in Shijiazhuang Region,Shijiazhuang Hebei 050081,China)

AbstractFor the problem that there is no estimation method of MTBF (Mean Time Between Failures) for zero-failure in reliability time truncated qualification test,the notices of selecting point estimation methods in different situation are analyzed,and the formula for lower confidence limit of MTBF is presented in this paper.A simplified formula convenient to be used in practice is put forward through further derivation.The practical application results of several reliability tests show that the method is feasible and effective.

Key wordsreliability test;zero-failure;MTBF;verification interval

引用格式：付兴中,李伟,王晋忠,等.定时截尾试验零故障时的MTBF估计方法[J].无线电工程,2016,46(7):98-100.