噪声在双稳和生物系统中非线性效应的应用研究

王国威，付　燕

(1南昌工学院 基础教学部，江西 南昌 330108;2南昌工学院 民族教育学院，江西 南昌 330108;3南昌工学院 非线性力学重点实验室，江西 南昌 330108)



噪声在双稳和生物系统中非线性效应的应用研究

王国威1,3，付燕2

(1南昌工学院 基础教学部，江西 南昌 330108;2南昌工学院 民族教育学院，江西 南昌 330108;3南昌工学院 非线性力学重点实验室，江西 南昌 330108)

摘要：回顾了噪声对双稳系统非线性效应影响的理论发展历程；根据生物系统中比较常见的Logistic模型和Levins模型，分别针对肿瘤细胞增长系统和集合种群系统的研究现状和进展，指出噪声在双稳、生物系统当中的若干应用，总结概括出噪声对生物系统中非线性效应影响的积极作用和消极作用，并对后期的工作做出一定的预测。

关键词：噪声；双稳系统；非线性效应；生物系统；应用

物理学中，把引起宏观变量演化的原因可以唯象地分为2部分：一部分是对宏观变量的动力学过程持续起作用的因素;另一部分性质极为复杂，这一部分通常反映的是微观粒子的运动对宏观变量所带来的影响，而且这些影响通常情况下又各自独立，互不关联[1]。这一作用与宏观变量比起来是非常小的，它反映微观世界的运动对宏观变量的影响，它变化的时间尺度与宏观运动相比要小得多，因此这一影响可以看成是快速变化、随机、不可预言的[2]。所以，“噪声”又被称为“随机力”、“涨落力”或者“涨落”。这是物理学中对介于微观和宏观层次之间的复杂系统的一种描述，我们把它叫做随机层次描述[3]。

在物理学中，把由线性函数描述的系统称作线性系统，而把由非线性函数描述的系统称为非线性系统。对于线性系统，由于系统内部相互作用为线性，所以系统的整体性质就是各子系统孤立存在时性质的简单叠加，即整体等于部分之和。而非线性系统通常也是由大量子系统组成，但是由于子系统之间的相互作用为非线性，系统不再满足叠加原理，系统整体表现出来的现象也不再是个体行为的简单叠加，而可能是一种个体不具有的行为。从子系统层次到系统层次，不仅有量的积累，更主要的是发生了质的飞跃[2-5]。

由于一个小的随机力并不仅仅对原有的确定性方程结果产生微小的改变，在一定的非线性条件下，它还能对系统的演化起决定性作用。通常，人们认为噪声总是起着消极的破坏作用，它产生杂乱无章的运动、破坏序、破坏功能，抹去相与相之间的差别。但是近年来的大量研究表明，它能对体系的演化起着关键性的作用。

Benzi等[4]在1981年提出“随机共振”概念之后，随机共振及其相关问题的研究引起大量研究者的兴趣，在理论和实验当中取得重大的突破。随后，在随机共振的研究中，双稳系统进入人们的视线，并引起广泛的关注，它在近30年里不断发展和扩展，从理论上噪声的非线性效应在双稳系统得到发展，在生物系统体现了其实用价值[10-12]。

1噪声在双稳系统的发展历程

1.1双稳系统的白噪声

J.P.Jung等[5]在1987年对乘性色噪声驱动的双稳模型进行研究，并推导出一致有色噪声近似(UCNA)；1989年L.Gammaitoni等[6]人分析双稳系统中的随机共振现象，讨论低频率周期力驱动的双稳系统的弛豫时间。1992年3月，秦光戎等[7]人借助双稳系统的方程，用模拟电路的方法对随机共振现象进行多方面的实验研究，并指出随机共振的理论和实验研究很可能为科技发展形成一个新的、良好的前景。之后的20年间，关于双稳系统的研究，在噪声统计性质方面，由白噪声到色噪声;在噪声关联形式上，从白关联、无关联到色关联，大量的研究层出不穷[8-10]。1994年，吴大进等[11]人给出一种求解一维随机方程的Fokker -Planck的方法，并分析关联白噪声驱动的双稳系统的稳态性质，而在该研究中得到的Fokker-Planck方程的表达式，基本可以充当求解相应的非线性系统的Fokker-Planck方程的公式使用。在1996年Jia Ya等[12]介绍推导色关联白噪声驱动的双稳系统的Fokker -Planck方程的方法，并分析该系统的稳态性质；同年，他们又分析关联白噪声驱动的双稳系统的瞬态性质。

1.2双稳系统的色噪声

在上述研究当中所考虑的噪声统计性质基本为白噪声。众所周知，白噪声的功率谱为白谱，需要有无穷大的功率才能产生，实际并不存在。现实中，色噪声更加接近实际。随着研究的深入，更多关于色噪声的研究引起人们的关注。2005年，Jin Yanfei等[13]研究乘性色噪声和色关联的噪声对双稳系统的瞬态性质的影响。之后，色噪声和色关联吸引大量的研究者，并取得多项研究成果，例如，噪声可以导致系统发生相变，可以使稳态概率分布函数发生双峰和单峰之间的转换。

1.3双稳系统的非对称性

在随后的研究中，部分学者注意到，之前大多数的研究模型都集中在对称的双稳系统。但是在许多实际的物理系统中，对称性是难以保证的，因此，势阱的非对称性问题摆在科学家和研究者面前。于是，关于非对称双稳系统，从白噪声到色噪声，从零关联、白关联到色关联，从稳态性质到瞬态性质，从随机共振到多重随机共振等，双稳系统又得到一次新生。而且，可以在系统中加入信号，例如周期信号或者矩形信号，然后再考虑信号对系统的非线性效应的影响。2007年，周丙常等[14]研究周期混合信号、关联的乘性和加性噪声联合激励下的非对称双稳系统的随机共振现象。运用两态理论，给出基频和高阶谐频信噪比的理论结果，发现在基频和高阶谐频情形下均出现随机共振，并且高阶谐频存在抑制现象。

1.4双稳系统的时间延迟

时代在变迁，科学在发展，技术在进步。随着研究的深入，人们研究问题的眼光和深度也在不断变化。自从“时间延迟效应”被提出之后，双稳系统中的延时效应又引起人们的思考。对于任何一个系统而言，噪声对系统的影响必然不是立刻就产生的，必定有一个时间延迟的过程，因此研究者把延时的影响带进了双稳系统。双稳系统自此又进入一个新的发展阶段，关于该系统的理论研究部分逐渐趋于成熟，但又不断催生出新的研究方向。更多的研究者开始考虑如何把噪声的非线性影响应用在更具实际意义的模型当中，而不是单纯的考虑毫无实际意义的理论模型[15-16]。

2噪声在生物系统中的若干应用

在具有实际意义的模型当中，如今研究较为火热的必属生物系统这个大的范畴[2,8,10]，其中包括很多交叉学科，在这些领域里噪声给系统带来的非线性效应让人们发现各种各样奇异甚至是打破人的思维常识的现象[17]。

2.1肿瘤细胞生长模型中的稳态性质

目前被广泛研究的Logistic系统，可以用来描述细胞生长、单种群生长、人口增长和经济增长等典型模型[18-19]。特别地，Logistic模型可以对肿瘤细胞的生长进行很好地描述。Ai Bao-quan等[20]首次将高斯白噪声和白交叉关联噪声引入到Logistic方程，用于研究噪声对肿瘤细胞生长的影响，并且发现噪声间的关联可以导致肿瘤细胞灭绝。由于肿瘤细胞在生长过程中总会受到一些随机因素(如温度、放射治疗、化疗、药物等)的影响，那么把温度、放射治疗、化疗、药物、生物体内部的化学反应和免疫组织的作用的随机涨落引入到肿瘤细胞增长系统的物理和实际模型中是非常合理的。

随后，关于这方面的研究不断得到深化，更多的研究者把眼光放到具有实际指导意义的模型当中。Ai Bao-quan等[20]人指出，肿瘤细胞生长率的波动能够减少肿瘤的数量，而且噪声能够引起系统的相变。2005年，钟伟荣等[21]人在Logistic生长模型中引入加性和乘性关联噪声，通过求解其对应的Fokker -Planck方程，揭示乘性噪声对肿瘤生长规律有分化作用，肿瘤细胞数量以及生长规律随乘性噪声的强度增加，并且表现出随机共振。另外，在一定的乘性噪声强度下，不但不能使肿瘤细胞灭绝，反而能促使其增长，这一观点的提出，在医学上对于肿瘤方面的治疗是有一定指导意义的。这告诉我们，并不是简单的使用药物、化疗或者放射治疗就能遏制肿瘤扩散和肿瘤细胞的增长。邵元智等[22]人在该模型的基础上，研究基于酶动力学的免疫监视下肿瘤细胞生长情况。他们改进之前的模型，在系统中加入免疫监视和治疗外力。关于肿瘤细胞生长动力学的研究，已经从最初单纯的解释肿瘤的生长扩散现象转变为解决其生命科学，甚至是对其生长和扩散现象做出预见性的解释。邵元智指出，在之前已经有的研究中，在拟定肿瘤化疗方案时，用药时间和间隔时间的比例往往是凭借药代动力学和生物毒性实验来确定。他的研究是在基于肿瘤细胞生长动力学理论的基础上，从计算的角度证实存在最佳用药时间和间隔时间的比例，并与肿瘤患者临床治疗数据做了对比，理论计算结果和临床观察结果基本一致。

2.2肿瘤细胞生长系统中的瞬态性质

关于肿瘤细胞生长问题的早期研究，大多都集中在分析其稳态性质和肿瘤细胞的数量上，不同的只是研究者考虑的噪声统计性质的差异。然而在肿瘤的实际治疗当中，我们更关心的是如何防止肿瘤扩散，什么时候肿瘤细胞趋于灭绝。于是，肿瘤细胞增长的Logistic模型的首次平均通过时间吸引了研究者的注意[5,13,23]。平均首次通过时间是用来描述非线性系统逃逸问题的特征量之一，可以很好地描述系统的瞬态性质。它指的是系统从一个稳态出发穿越势垒进入另一个势阱所用时间的平均值。Wang Can-jun等[24]人在2007年分析色交叉关联的乘性色噪声和加性白噪声驱动的肿瘤细胞生长模型的平均首次通过时间，他指出噪声强度的增加导致系统的平均首次通过时间减小，而且噪声间的关联只是线性的增加系统的平均首次通过时间。

2.3肿瘤细胞生长系统的时间延迟

和双稳系统的理论研究部分一样，分析纯粹的理论模型之后，研究者开始把肿瘤细胞生长模型和实际相结合，也就是开始考虑时间延迟对系统的影响。由于信息、能量和物质的传输速度有限，因此时间延迟是广泛存在的现象，所以在理论模型中引入时间延迟才能真实地反映自然规律。2008年，郭永峰和徐伟通过小时间延迟近似方法，给出关联白噪声驱动的具有时间延迟的Logistic系统的稳态概率密度函数[25-26]。研究发现，在时间延迟存在的情况下，增加乘性噪声强度比增加加性噪声强度在控制肿瘤细胞的增长方面更具效果，而且噪声强度、时间延迟量和耦合强度均可以产生相变，同时也说明周围环境的变化以及细胞自身因素的变化均可以引起肿瘤细胞的消亡，为更好地控制肿瘤细胞的增长提供一定的新思路。同年，韩立波[27]应用小延时近似方法，研究色关联噪声诱导的延时逻辑生长过程，求解肿瘤细胞生长系统的稳态概率分布函数的解析表达式，发现延时量的变化可以使稳态概率分布函数发生由多极值结构向单极值结构的转换，并且还可以使肿瘤细胞数量的平均值的极值位置和极值大小发生改变。

近2年，关于肿瘤细胞的Logistic生长模型的研究，更多的是和实际结合在一起的，即在系统中加入免疫监视项和延时量，并且考虑的问题不仅仅是稳态性质[28]及肿瘤细胞数目的平均值，而是更多地考虑系统的平均首次通过时间和跃迁率。

2.4集合种群模型中噪声的非线性效应

当然，噪声的非线性效应并不局限于肿瘤细胞Logistic生长模型当中，也可以用于癌细胞增长系统和单物种种群生长系统，而目前研究比较火热的一个方面是噪声的非线性效应在物种生存和生物多样性保护方面的研究。

当今社会，生态环境的破坏和生物的灭绝已经成为物种多样性保护和物种续存的最严重挑战，研究生态环境的破坏对生物链中某一环节的动态影像已经成为生态学家关注的一个重点。影响生物种群灭绝导致生物链断裂，甚至生态系统崩溃的随机干扰大致可以分为3类，分别是生物种群统计随机性、环境随机性和随机灾害。长期以来，对种群灭绝问题的大量研究都集中在种群统计随机性和环境随机性对种群动力学的干扰上，2008年李江城等[18]在Levins模型的基础上，利用简化的延时率函数模型对集合种群的稳定性和平均灭绝时间进行讨论，研究发现：延迟时间的增大将使集合种群在斑块中占有率减小，而且随着延迟时间的增大，集合种群的灭绝时间将会减小。按照双稳系统理论发展的变化规律，关于集合种群系统的稳定性问题和平均灭绝时间问题，以及近几年关注程度比较高的延时问题，都可以在Levins模型中予以讨论，并用更加接近实际生态环境的模型去分析种群灭绝问题。但是，目前关于这方面的研究远不如双稳系统那么多。王参军等[17]于2012年在Levins模型的基础上研究关联白噪声对集合种群的稳定性的影响，提出加性噪声强度和乘性噪声强度均弱化集合种群系统的稳定性，且噪声间关联强度的增加可以增强系统的稳定性。随后，王康康等[19]分析乘性和加性高斯白噪声对含有时滞项的集合种群动力学模型系统稳定性的影响，计算系统的稳态概率分布函数和平均灭绝时间，得到平均灭绝时间是加性噪声强度和随机系统延迟时间的减函数，是乘性噪声强度的加函数的结论。

在已有的关于集合种群的研究中，关于噪声对系统非线性效应的影响的文章比较少，目前已有的研究多是从数学模型和生态学理论的角度开展的。如马祖飞等[29]在2003年回顾种群统计随机性与环境随机性的概念起源与发展，系统阐述了关于集合种群的分析方法，对2类随机性在种群灭绝研究中的应用范畴、作用方式和特点进行归纳。2004年惠苍等[30]对集合种群理论和模型做了全面的分析和总结，然后对其发展进行探讨，并对其中的模型进行模拟和研究，最后指出以空间因素为主要考虑的集合种群理论与试验研究，已经形成当今国际生态学的前沿性领域，并且必然将成为生态学乃至环境科学的重要分支。2007年，李自珍[31]讨论集合种群受生境破坏影响的新模型及其生态效应。

3展望

关于Levins模型，可以研究的内容还有很多，如改变噪声的统计性质，计算在不同的关联情况或者无关联噪声的作用下系统的稳态概率分布函数、一阶矩以及平均灭绝时间。还可以加入随机系统延迟时间，考虑延时作用下噪声对系统的稳定性的影响[32]。另外，之前的文章考虑的均为封闭系统，即外界没有相同类型的物种进入这一领域。然而，在实际生态环境中这是不现实的，必然要考虑种群的迁徙，那么通过迁徙进入该领域的同种生物必然就要加入该系统的研究中，这样一来，系统就变成一个开放系统。对于开放系统而言，应该怎样对模型做相应的简化或者处理，然后再去考虑相应的噪声形式和时间延迟等对集合种群系统稳定性的影响，这是一个值得仔细研究的方向。目前，国内研究比较火热的是噪声的非线性效应在集合种群当中的应用。在集合种群模型的基础之上可以在系统中加入关联色噪声，并利用统一色噪声近似方法，根据Fox的方法，计算出系统的稳态概率分布函数的解析表达式和平均首次通过时间的表达式，分析各变量对种群灭绝的影响[33]。另外，关于捕食者-被捕食者模型，很多研究者也有浓厚的兴趣，通过分析噪声的非线性效应对系统的影响，进而分析猎物的灭绝时间，可以对防止猎物灭绝提供一定指导作用[34]。

参 考 文 献

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(责任编辑吴鸿霞)

收稿日期：2015-12-18

基金项目：江西省教育厅科学技术研究项目(项目编号：GJJ151240)；南昌工学院科技计划项目(项目编号：GJKJ-15-34)；南昌工学院非线性力学重点实验室资助项目。

作者简介：王国威，讲师，硕士。

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.03.010

中图分类号：O431.2

文献标识码：A

文章编号：2095-4565(2016)03-0046-06

Application of Nonlinear Effects of Noise on Bistableand Biological Systems

Wang Guowei1,3,Fu Yan2

(1Department of Basic Courses,Nanchang Institute of Science & Technology,Nanchang Jiangxi 330108;2School of National Education,Nanchang Institute of Science & Technology,Nanchang Jiangxi 330108;3Key Laboratory of Nonlinear Mechanics,Nanchang Institute of Science & Technology,Nanchang Jiangxi 330108)

Abstract：The present situation and theoretical development process of noise's nonlinear effects on bistable system and biological system have been reviewed in this paper.Based on the Logistic model and Levins model in biological system,some applications of noise in bistable system and biological system are presented aiming at the research status and development of the tumor cell growth system and metapopulation system.The positive and negative influences of the noise on the nonlinear effects in biological systems are concluded,and some predictions for the later work are made.

Key words：noises;bistable system;nonlinear effects;biological systems;applications