海洋剪切流下失稳内波流场及传播的理论分析

邓冰，张宇飞，朱娟，张铭

（1.北京应用气象研究所，北京100029；2.中国海洋大学海洋环境学院，山东青岛266003；3.解放军61139部队，北京100081；4.解放军理工大学气象海洋学院，江苏南京211101）

海洋剪切流下失稳内波流场及传播的理论分析

邓冰1，张宇飞2，朱娟3，张铭4

（1.北京应用气象研究所，北京100029；2.中国海洋大学海洋环境学院，山东青岛266003；3.解放军61139部队，北京100081；4.解放军理工大学气象海洋学院，江苏南京211101）

摘要：采用求解特征值的方法，探讨了剪切背景流所导致的短波长海洋内波的失稳问题，并给出了其流场结构和传播情况。按照失稳内波波阵面的法向与背景流流向夹角的不同，海洋内波不稳定可分为横波不稳定（夹角为0°），对称不稳定（夹角为90°）和斜交不稳定（任意夹角）3种情况，此时不稳定内波的流场呈现多种形态。对最不稳定流场而言，对称不稳定的流场形态呈现单圈环流的倾斜对流形态，而横波不稳定和斜交不稳定的流场形态则有猫眼结构出现。对于横波不稳定和斜交不稳定内波，最不稳定内波与次不稳定内波两者的流场分布几乎互为镜像。相应于本文的短波长内波，横波不稳定和斜交不稳定的内波均为高频内波，对称不稳定内波不传播，而仅在原地增长。相同参数下垂直方向结构最简单的对称不稳定内波其增长率最大。

关键词：剪切流；失稳海洋内波；流场结构；传播

1　　引言

海洋内波以约化重力为恢复力，本质是内重力惯性波，并属海洋的中、小尺度系统。海洋内波目前受到了学者的广泛重视［1-2］，它的存在使得海水运动以及水文要素的分布与变化更加复杂，在物理海洋学中必须要考虑其作用［3］。海洋内波动的发生、发展和演变一直是物理海洋学研究的重点和热点［4-6］。从动力学角度分析海洋内波的失稳不仅可以丰富和深化内波理论，而且具有实际的应用价值。

研究表明，海洋剪切背景流会造成海洋内波的失稳［7-8］。在实际海洋中也发现了这样的事实。范植松等［9］发现在渤海南部存在很强的周期约为6 min的次重力波，该次重力波具有内波的某些特性，推测其主要是由潮流的剪切不稳定所导致。Yuan等［10］分析了黑潮的不稳定性，提出了其可激发内波的机制，指出对于向西传播的扰动，黑潮西翼流场是不稳定的，此时所导致的失稳内波的传播方向向西；他们还解释了卫星SAR图像观测到的内波与黑潮西边界共存的现象，从而进一步验证了以上机制。Rainville等［11］分析了中国海东部的黑潮海洋调查资料，发现黑潮中有较强剪切流；他们还分析了日本九州黑潮附近连续30 h的观测资料，发现在黑潮中心的剪切流处，存在着向上、下传播的高频内波，并认为黑潮较强的剪切流是生成海洋内重力惯性波的重要因素。对剪切背景流导致内波失稳进行研究，可以了解内波产生和发展的条件，是内波研究的一个重要方面。利用标准模方法，将波动稳定性问题化为本征值的边值问题，是解决流体稳定性问题的有效方法［12-13］。然而由于数值求解的困难，只有很少的几种特殊情况可以解析求解该特征值问题。1990年，曾庆存等首次对正压非地转大气中水平切变基本流下的大气稳定性问题成功进行了数值求解［14-15］，之后张立凤和张铭又将该数值求解方法引入具有垂

当前因海洋内波观测资料的匮乏以及观测精度的限制，很难精细观测到内波流场的特征，这给考察失稳内波的流场结构带来困难。为此在理论上求取失稳内波的流场结构也为解决以上困难提供了一条可行的途径。我们在文献［18］中提出了一个研究剪切背景流导致内波失稳的理论模型，并给出了内波的谱点分布及谱函数的垂直结构，但未给出失稳内波的流场结构。文献［19］中，我们利用以上模型得到的特征值问题，给出了沿剪切背景流方向传播的失稳长波长内波有关该问题的数值解，得到了其流场结构。然而失稳内波相对剪切背景流的传播可以存在多个方向，并非只有沿着该背景流方向传播，而且短波长内波是内波中重要的组成部分，其空间尺度小，振荡频率高，更难以获取实测资料，因此对其进行理论分析就更显必要；这种内波对潜艇航行影响更大，对其研究还有重要的应用价值。为了弥补文献［18］和［19］的不足，本文仍利用以上模型，从理论角度考察了剪切背景流所导致的短波长海洋内波的失稳，并给出了相对背景流不同传播方向的短波长失稳内波的流场结构和传播情况。结果表明，这些失稳内波的流场结构彼此不同，沿背景流传播的短波长失稳内波与文献［19］中的长波长失稳内波的流场结构也有很大差别。

2　　数值模型和参数设计

本文采用无粘绝热二维Boussinesq方程组［18］（可滤去声波）考察海洋内波的失稳问题。该方程组中设海面和海底均是水平刚璧（不考虑海底地形），同时考虑了地球旋转，取地转参数 f为常数，并设海洋内波波阵面的法向为x方向，若内波传播的话，则该方向也是内波的传播方向。在此因取 f为常数，故x不必一定指向东，x的法向为y方向，这也是该内波波阵面的方向。通常内波状态沿y方向的变化比沿x方向的变化要缓慢得多，故可近似认为内波沿y方向的状态不变，这样内波的各物理量在y方向的偏微商可近似看作0，这也是本文能采用二维Boussinesq方程组的原因。z方向由海底向上指向海面，并设海底z=0。在方程组中还引入了垂直方向流速具有切变而流向不变的剪切背景流U（z），其流向与x轴有一个交角δ，在x轴和y轴上的分量则分别是ū和（见图1）。

图1剪切背景流U与内波传播方向的示意图

本文分析剪切背景流所导致的海洋波动不稳定发展的状况，这里仅考虑小振幅波动的情形，因此可将上述Boussinesq方程组线性化。在文献［18］中已给出该方程组以及线性化的过程，这里不再赘述。设波解为，这里T为矩阵转置符号，代入该方程组后则可得到以下的常微分方程组［18-19］：

海面和海底均取水平刚璧，则有以下的上、下边条件：

式中：常数H为海洋深度。这样方程组（1）与边界条件（2）构成一个变系数复常微分方程组的特征值问题，在此σ为特征值［18-19］。除极少数的特殊情况外（如无背景流且层结参数取常数的情况），该问题一般不能解析求解，为此可将其在垂直方向离散化，归结为一个矩阵的特征值问题来近似求解，具体的操作过程可参见文献［18］和［19］，这里也不再赘述。

数值求解该特征值问题可得到特征值（复频率）σ，σ为一个复数，其实部为波动振荡频率，其虚部为不稳定波动的增长率（这里指该虚部大于0的情况，小于0的则为衰减率）；由此可知当σ不为实数时，波动可有不稳定发生。求解该问题得到的特征函数则分别给出了Ψ、V和Ρ在z方向的结构，而该特征函数乘以一个常数后仍为特征函数。在考虑所设波解后，就能得到海洋波动的结构［18-19］。

本文并不要求背景流的传播方向与内波波阵面的法向（内波传播方向）相一致，如上所述两者可有一夹角δ，当δ=0°时，两者方向相同，文献［19］给出过此时长波长内波的计算结果，这也是研究得最多的情况。为叙述方便，仿照大气动力学中的定义，可称以上两者方向相同的不稳定内波为横波不稳定内波。另一种情况是内波的波阵面平行于背景流的流向（该波阵面的法向垂直于背景流），此时该夹角δ=90°，可称此不稳定内波为对称不稳定内波。而更普遍的情况是该夹角δ既不等于0°也不等于90°（见图1），此时两者方向斜交，可称此时的不稳定内波为斜交不稳定内波。

由于本文只考虑不稳定海洋内波的流场结构，故仅给出流函数分布，此时围绕流函数的正、负值中心分别有逆、顺时针的流动［12-13］。在本文以下给出的流函数图中，垂直方向取40层将海洋深度离散化，因为此时已能满足精度要求［18-19］，而垂直坐标则用垂向分层序号n来表示，海底n=1，海面n=41，而其换算为与海底距离z的公式为z=H⋅（n-1）/40，在此H为海洋深度；在水平方向（内波波阵面的法方向，即x方向）则给出了两个波长的计算结果，在此一个波长用33个格点表示，两个则用65个格点表示；故在这些流函数图中，横坐标用水平格点序号l表示，l=1表示第1个水平格点，l=65表示第65个水平格点；l与水平距离 x的转换公式为x=L⋅（l-1）/32，这里L为内波波长。

在计算中均取以下默认参数：内波波长L=1 000 m，这属短波长的海洋内波。环境参数则取 f=10-4s-1和海水深度H=1 000 m。若不特别声明，取默认层结参数，背景流则仅考虑线性垂直切变的情况，在默认情况下，取其在海面的流速为0.2 m/s，海底为0 m/s，此时该背景流的算术平均值为0.1 m/s。

3　　失稳内波流场结构和传播情况分析

本节给出了不同斜交角情况下不稳定内波的增长率和传播情况，并给出了x-z平面上相应的流函数分布。

3.1横波不稳定海洋内波

图2 a给出了取默认参数时，增长率为0.312 4× 10-5/s的最不稳定海洋内波在x-z平面上的流函数分布。该图中纵坐标为垂向分层序号n，格点间距为25 m，横坐标为水平格点序号l，格点间距为31.25 m。以下各图坐标均与此相同，不再赘述。由该图可见，此时该内波的流场主要分布在海洋上半层，并在垂直方向呈现两个环流圈，即有猫眼结构。图2b给出了增长率为0.308 7×10-5/s的次不稳定海洋内波的流函数分布，该次不稳定增长率与最不稳定的值很接近。由此图可见，该内波的流场主要分布在海洋下半层，并也在垂直方向呈现两个环流圈，即也有猫眼结构。比较图2 a、2 b可见，两者流场大致互为镜像。相应两者横波不稳定的振荡频率分别为0.119 6×10-2/s和0.609 1×10-4/s，而对应的相速则分别为0.190 3 m/s和0.969 5×10-2m/s。在横波不稳定的情况下，因斜交角为0°，平均背景流在波动等位相面法向（波动传播方向）的投影就是其自身；将该最、次不稳定内波的相速减去该平均背景流的投影，即扣除该投影的多普勒效应，可得到相对于该投影的相速，可称之为固有相速，其值分别为9.031 0× 10-2m/s和-9.030 5×10-2m/s，两者的绝对值十分接近。由此可知，最、次不稳定内波分别是顺、逆着该平均背景流（投影）传播的，由内波波长和固有相速可得到该最、次不稳定内波的振荡周期，不妨称之为固有周期，其分别为3.075 8 h和3.075 9 h，表明此时最、次横波不稳定内波均是高频海洋内波。

当背景流和层结参数均取常数时，可得到该横波型特征值问题的解析解［18］，当层结参数为正值时，内波是稳定的，并有：

式中：m=1, 2, …

通过以上分析，可以看出在文献［19］中给出的横波不稳定流场结构显然与本文的流场结构不同。这主要是因两者波长取得不相同所致（两者环境参数取得相同或相近）。文献［19］中取不稳定内波的波长为8 km和10 km，其波长比本文所取的大1个量级左右。比较本文与文献［19］中的结果可见，横波不稳定内波波长对其流场结构的影响很大，本文补充了横波不稳定短波长内波的流场结构和传播情况，也是对文献［19］结果的重要补充。

图2 横波不稳定内波的流函数（单位：m2/s）

3.2对称不稳定海洋内波

仍取以上剪切背景流和层结参数的默认值，结果发现，这时得到的内波均是稳定（中性）的，无对称不稳定出现。为考察对称不稳定内波的流场和传播，本文重新取了以下两组参数做了计算。第1组层结参数仍取默认值，但增加了背景流的垂直切变，现取剪切背景流在海面的流速为0.4 m/s，海底仍为0 m/s。第2组剪切背景流仍取默认值，但减弱了层结参数，取层结参数N2为10-8/s2。取以上这两组参数，则均有对称不稳定发生。

取第1组参数，图3给出了最不稳定海洋内波的流函数分布。此时最不稳定增长率为0.684 7× 10-4/s。由该图可见，其流场表现为斜对流的形式，这种情况下流体微团在垂直方向是浮力（静力）稳定的，在水平方向是惯性稳定的；然而其在倾斜方向则有不稳定发生，不稳定流场表现为倾斜的斜对流环流圈。在此，因对称不稳定内波的等位相面平行于背景流方向，所以平均背景流在其等位相面法向的投影为0；这时其振荡频率为0，内波的传播相速也为0，该对称不稳定内波仅在原地增长而不传播。

图4 a给出取第2组参数时的计算结果，此时背景流的垂直切变值和层结参数值分别较图3中减小了一半和一个量级。由图4 a可见，该不稳定内波流场特征与图3相似，也表现为倾斜环流圈。该最不稳定内波的增长率为0.884 9×10-4/s，其比图3中的略大。与图3中的一样，此时对称不稳定内波的振荡频率和波动相速均都为0，该内波也仅在原地增长而不传播。图4 b给出了取图4 a中的参数后得到的对称次不稳定内波的流场结构。与图4 a不同的是，此时在垂直方向表现为两个倾斜环流圈。该次不稳定内波的增长率为0.634 1×10-4/s，而其振荡频率和波动相速仍均都为0，不稳定内波同样在原地增长而不传播。从图3、4的结果可见，对称不稳定内波是不传播而在原地增长，但此时稳定的内波还在传播。比较图4 a、4 b还可见，在相同参数下，垂直方向结构最简单的对称不稳定内波增长率最大。

图3 对称不稳定内波的流函数（单位：m2/s）

图4改变背景流和层结参数后对称不稳定内波的流函数（单位：m2/s）

3.3斜交不稳定海洋内波

取斜交角δ=60°，图5a给出了取默认参数时，增长率为0.130 9×10-5/s的最不稳定内波流函数分布。由图5a可见，该不稳定内波的流场主要分布在海洋中层，并在该处有一个明显的环流圈，在该环流圈上方，还有流函数等值线密集的非常扁平的环流圈。图5b给出了增长率为0.122 6×10-5/s的次不稳定内波流函数分布。由图5b可见，该次不稳定内波的流场也主要分布在海洋中层，并在该处也有一个明显的环流圈，在该环流圈下方，则有流函数等值线密集的非常扁平的环流圈。比较图5 a、5 b，可见两者的流场大致互为镜像；两者相应的斜交不稳定的振荡频率分别为0.591 3×10-3/s和0.371 2× 10-4/s，对应的相速则分别为0.941 1×10-1m/s和0.590 9×10-2m/s。考虑到该平均背景流在波动等位相面法向（波动传播方向）的投影为0.1×cos60°= 0.05 m/s后，采用以上横波不稳定内波的处理方法，可得到固有相速，其值分别为4.411 5×10-2m/s 和-4.409 1×10-2m/s，两者的绝对值也十分接近；由此可知，该最、次斜交不稳定内波其分别是顺、逆着该平均背景流投影传播的。同样可得到该最、次不稳定内波的固有周期值，其分别为6.296 7 h和6.300 0 h，两者的值也十分接近，且也都为高频海洋内波。

图5 斜交角为60°时斜交不稳定内波的流函数（单位：m2/s）

图6斜交角为30°时斜交不稳定内波的流函数（单位：m2/s）

为考察斜交角改变后对斜交不稳定内波流场和传播的影响，再取斜交角δ=30°和默认参数做了计算。图6 a给出了增长率为0.305 1E×10-5/s的最不稳定海洋内波流函数分布。由图6 a可见，该不稳定波动的流场主要分布在海洋下半层，并在垂直方向呈现两个倾斜环流圈，也有猫眼结构，这与图2 b的次不稳定横波的结构有些类似。图6 b给出了增长率为0.304 9×10-5/s的次不稳定内波流函数分布。由图6b可见，该次不稳定波动的流场主要分布在海洋上半层，并在垂直方向也呈两个倾斜环流圈，同样也有猫眼结构，这与图2 a的最不稳定横波内波的结构有些类似。比较图6 a、6 b可见，两者流场同样大致互为镜像。这里斜交不稳定海洋内波与横波不稳定海洋内波的结构有些类似，是因为斜交角δ不大。图6a、b中斜交不稳定的振荡频率分别为0.553 2×10-4/s和0.103 3×10-2/s，而相应的相速分别为0.880 4×10-2m/s和0.164 4 m/s。在此平均背景流（0.1 m/s）在波动等位相面法向（波动传播方向）的投影为0.1×cos30°=0.086 6 m/s。同样采用以上横波不稳定内波的处理方法，可得到固有相速，其值分别为-7.779 8×10-2m/s和7.780 3×10-2m/s，两者的绝对值也十分接近；由此可知，该最、次斜交不稳定内波其分别是逆、顺着该平均背景流投影传播的，但这时最、次不稳定波动和背景流投影的配置则与图5 a、5 b中的情况相反。同样也可得到该最、次不稳定内波的固有周期值，其分别为3.570 5 h 和3.570 3 h，两者的值也十分接近，且也都为高频海洋内波。

4　　　结论

本文对剪切背景流导致的短波长海洋内波失稳做了分析，给出了该失稳内波的流场结构，讨论了其传播情况。所得主要结果为：

剪切背景流能造成短波长海洋内波的失稳，此时按照该失稳内波的波阵面的法向与背景流流向的夹角不同，可分为横波不稳定，对称不稳定和斜交不稳定3种情况，前两种也是最后一种的特例。这3种情况下不稳定内波的流场呈现多种形态，对最不稳定流场而言，对称不稳定内波流函数结构在倾斜方向呈现单圈环流的斜对流形态，而横波不稳定内波和斜交不稳定内波的流函数结构则可有猫眼结构出现，此外在本文默认参数下，横波不稳定内波增长率最大，斜交角为30°时斜交不稳定内波次之，斜交角为60°的斜交不稳定内波再次之，而无对称不稳定内波出现（注意，本文中对称不稳定内波取的环境参数不全为默认值）。对本文中的横波不稳定内波和斜交不稳定内波而言，最不稳定的内波与次不稳定的内波两者的流场分布几乎互为镜像。相应于本文所取的短波长内波，横波不稳定和斜交不稳定的内波均为高频内波，而对称不稳定内波不传播，其仅在原地增长，相同参数下垂直方向结构最简单的对称不稳定内波其增长率最大。

本文仅局限于讨论层结参数为常数的失稳内波流场和传播的理论分析，虽然实际海洋中也有此种情况，但毕竟海洋中跃层的存在是较普遍的情况；故而讨论海洋存在跃层时剪切背景流下的内波失稳问题更有实际意义。我们已开始在该方面做了部分工作，该工作全部完成后将另文介绍。

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中图分类号：P731.21

文献标识码：A

文章编号：1003-0239（2016）03-0001-08

DOI：10.11737/j.issn.1003-0239.2016.03.001

收稿日期：2015-08-28

基金项目：国家重点研究发展计划（“973”计划，2013CB956203）。

作者简介：邓冰（1963-），女，高级工程师，博士，主要从事物理海洋学研究。E-mail:dbing039@163.com直切变基本流的斜压非地转、非静力大气，讨论了该大气的稳定性问题以及其波谱问题［16-17］。大气和海洋均属地球流体，虽然其控制方程组和物理参数略有不同，但用该数值求解方法讨论海洋内波的稳定性问题并无原则上的困难［18］。在有关海洋内波失稳的研究中，大多讨论海洋内波的传播方向与剪切背景流方向一致的情况，然而这两者的方向也可以不同，如上文Yuan等［10］分析的情况；对于波动传播方向与背景流流向不同的情况，虽在大气中已有较多的讨论［16-17］，但对海洋内波目前尚不多见。

Theoretical analysis on the stream structure and propagation of unstable ocean internal wave at background shear flow

DENG Bing1，ZHANG Yu-fei2，ZHU Juan3，ZHANG Ming4
（1.Beijing Applied Meteorology Institute，Beijing 100029 China；2.College of Marine Environment，Ocean University of China，Qingdao 266003 China；3.Unit 61139，P.L.A，Beijing 100081 China；4.PLA University of Science and Technology meteorological and Oceanographic Institute，Nanjing 211101 China）

Abstract：The unstable short wavelength ocean internal wave caused by the background shear flow is studied，as well as its stream structure and propagation by using the method of solving eigenvalue.According to the different angle between normal phase front and background flow of unstable wave，there are three types of instability，which are transversal instability（angle of 0 degree），symmetrical instability（90 degree）and heterotropic instability（arbitrary angle）.Accordingly，the stream field of each unstable ocean internal wave appears differently.To the most unstable stream field，the shape of symmetrically unstable internal wave is a kind of sideling convection with single circle.While the shape of transversally unstable internal wave and heterotropically unstable internal wave appear a cat's eye structure.With regard to the transversally unstable internal wave and heterotropically unstable internal wave，the stream fields distribution are nearly mirror images in the most unstable stream field and the second unstable stream field.To the short wavelength internal wave studied in this paper，the transversally and heterotropically unstable internal waves are all in the high frequency. While the symmetrically unstable internal wave cannot propagate but grows only in situ.The symmetrically unstable internal wave with simplest structure has the biggest growing rate on the condition of the same parameters.

Key words：background shear flow；unstable ocean internal wave；stream structure；propagation