简谐荷载作用下组合梁动滑移响应分析

侯忠明， 夏　禾， 张彦玲， 王元清

(1. 中冶建筑研究总院有限公司，北京　100088； 2. 北京交通大学 土木建筑工程学院，北京　100044；3. 石家庄铁道大学 土木工程学院，石家庄　050043； 4. 清华大学 土木工程系，北京　100084)



简谐荷载作用下组合梁动滑移响应分析

侯忠明1,4， 夏禾2， 张彦玲3， 王元清4

(1. 中冶建筑研究总院有限公司，北京100088； 2. 北京交通大学 土木建筑工程学院，北京100044；3. 石家庄铁道大学 土木工程学院，石家庄050043； 4. 清华大学 土木工程系，北京100084)

摘要：由于组合梁在外力作用下钢梁与混凝土板之间会发生相对滑移，进行结构受力计算时须考虑滑移所致影响，基于组合梁基本动力理论，获得集中简谐荷载作用下组合梁挠度响应表达式，据挠度、滑移微分方程获得动滑移响应表达式。经一系列数学变换使动滑移响应表达式的静态分量部分满足级数求和条件。对比分析理论与实测结果表明，二者吻合良好。可将静滑移结果视为动滑移的特殊形式，简谐荷载分量对组合梁有效滑移影响较小，对连接件受力性能影响较大。

关键词：钢-混组合梁；滑移响应；解析方法；动力理论；滑移共振；试验研究

钢-混凝土组合梁(简称组合梁)由抗剪连接件连接的混凝土板与钢梁组成，此种构造方式受力性能优越，能充分利用混凝土板抗压及钢梁抗拉特点，广泛用于建筑、公路、铁路桥梁[1-2]。由于抗剪连接件的柔性，外荷载作用时混凝土板与钢梁间会有滑移，使组合梁产生不可忽略的附加挠度，因此进行组合梁静力计算时须考虑滑移所致影响[3]。由于该滑移的存在，较普通单一材料梁(如混凝土梁，钢梁等)，其动力特性表现显著不同[4-5]。

目前，关于混凝土-连接件-钢梁动力相互作用系统研究较少，组合梁桥设计及计算仍用现行规范条款，导致设计、计算结果保守或不安全。因此，分析时变荷载作用的钢-混凝土组合梁构件动力行为可深入揭示抗剪连接件力学特性对组合梁动力性能影响，明确界面滑移变形分布规律，为组合梁设计、计算及疲劳寿命评估提供必要的理论基础及理论、实用价值。

与求解考虑界面滑移组合梁挠度表达式方法相同，基于钢梁、混凝土板间力学、几何关系推导方法为：① 通过二者相对滑移关系建立微分方程，以获得考虑抗剪连接件柔性的组合梁挠度或滑移一般公式[6-8]。② 通过能量变分原理对组合梁各构件分设不同的纵向翘曲形函数[9]，并考虑相对滑移，用概念较明确的位移叠加法获得不同荷载作用方式下组合梁挠度或滑移解析解[10-11]。③ 理论与数值计算相结合，通过虚功原理结合有限元先导出组合梁刚度矩阵，再进行数值计算[12]，或利用基于有限元计算的神经网络方法分析荷载作用的组合梁挠度，给出闭合解[13]。以上几种求解组合梁挠度或滑移方法均基于静力理论，未涉及时变荷载影响。

本文据组合梁基本动力理论[14]求解简谐荷载作用的组合梁滑移时程，并与测试结果对比及参数分析。

1基本分析模型及振动方程

为考虑混凝土板与钢梁间动力相互作用关系，建立组合梁基本分析模型，即将组合梁划分成混凝土板、钢梁两个子梁，见图1。

图1　组合梁微元示意图Fig.1 Mechanical schematic diagram of composite beams

基于大量试验与理论分析，合理假设：① 混凝土板与钢梁间没有因掀起而脱离，即二者竖向变形协调；② 考虑一般组合梁高跨比较小，故忽略转动惯量及剪切变形影响；③ 钢梁及混凝土板未发生大变形，均视为梁，仍符合平截面假定；④ 剪力栓钉承受的剪力沿梁长均匀分布，纵向单位长度剪切刚度为常量；⑤ 小变形时栓钉所受剪力与变形成线性。

1.1微元平衡方程

取长度为dx的一段微元，其交界面剪力可表示为QL(x)=KSδdx，并定义下标1、2分别代表混凝土及钢梁。

(1) 竖向力平衡方程

分别考虑钢梁与混凝土板微元的竖向力平衡，建立组合梁微元竖向力平衡方程为

(1)

式中：Q(x,t)，m(x)，c(x)分别为单位长度梁承受的剪力、质量及阻尼系数。

(2) 弯矩平衡方程

设混凝土板与钢梁重心轴之距离为h，对两个子梁重心轴右侧分别取矩并求和，则得组合梁微元弯矩平衡方程为

(2)

式中：M(x,t)，Q(x,t)分别为梁体所受弯矩、剪力。

(3) 位移协调方程

设dx长度范围内梁体发生竖向挠度v(x,t)时，引起的混凝土板与钢梁间纵向相对滑移为δ，由此而引起的重心轴法向连线转角为θ，混凝土板与钢梁转角为v′，由图1可知

δ=(θ+v′)h

(3)

显然，对长度为dx的微元，有关系式为

KSh2(θ+v′)=(EI)Cθ″

(4)

式中：θ为由混凝土板与钢梁间相对滑移引起的重心轴法向连线转角。

式(4)左端为dx长度组合梁滑移δ引起的弯矩，右端为dx长度组合梁滑移角θ引起的弯矩。

1.2振动方程建立

v(x,t)=φ(x)q(t)

(5)

式中：φ(x)为振型；q(t)为随时间变化的振幅。

利用简支直线组合梁正交及边界条件建立其振动方程为

(6)

(7)

2时变荷载作用下简支组合梁滑移响应

据荷载不同形式，代入各系数后可得其表达式，从而获得组合梁响应。以简谐荷载为例，通过求解梁挠度表达式并据位移协调关系，可得组合梁界面动滑移响应。

2.1组合梁滑移微分方程

据推导，式(3)可写为

θ=δ/h-v′

(8)

代入式(4)，有

(EI)Cδ″-KSh2δ=(EI)Cv‴h

(9)

δ″-δ/(αL2)=v‴h

(10)

式中：α=(EI)C/(KSh2L2)。

δG=C1cos(ωsx)+C2sin(ωsx)

(11)

特解需据v‴表达式具体形式确定。

2.2简谐荷载下组合梁滑移响应

2.2.1集中简谐荷载作用下动滑移

一般正弦荷载形式为

(12)

图2　集中简谐荷载作用下的动滑移响应Fig.2 Dynamic slip response of the composite beam under concentrated harmonic load

若简谐荷载在组合梁某位置起稳定作用，则静态荷载分量相当于集中力，而简谐荷载分量会使梁呈一定规律的周期振动。据之前求解移动荷载作用下组合梁动力响应的类似方法[15]，可求出考虑滑移的承受集中简谐荷载组合梁最终响应为

(13)

式(13)中响应表达式可利用数值方法求解，未含滑移δ项，即滑移、竖向位移表达式已解耦，且变量x为正弦形式，因此联合式(10)可得δ(x,t)的具体表达式。令

(14)

则其响应可写成由静、动态分量两部分组成形式，即

(15)

则

(16)

据以上推导可得简谐荷载作用下等截面直线组合梁滑移时程为

(17)

2.2.2组合梁动滑移另一种形式

考虑特殊情况，即在梁固定位置作用集中荷载(p0=0，即qHn(t)=0)，式(17)可写成

(18)

经一系列数学变换，可使以上级数符合求和条件，使原无穷级数转换为方便计算的单个表达式。式(18)最终求和结果为

δS(x)=

(19)

(20)

此与文献[10]推导结果完全一致。对简谐分量引起的滑移，若不考虑阻尼影响，(ξn=0)，则式(17)可写成

(21)

δS(0)与δH(0,t)之和即简谐荷载作用下组合梁动滑移响应。推导均未考虑剪切变形及剪力滞影响。

2.2.3组合梁动滑移极值

(1) 动滑移极大值

对式(19)～式(21)中x求导并令其等于零，即dδS(x)/dx=0知，x=0(对式(19)、(21))或x=L(对式(20)、(21))时，组合梁动滑移值达最大。即，无论动荷载作用梁的任何位置，滑移极值总在梁端。

(22)

(23)

可见两值之和等于梁长L。梁端出现最大滑移值时，荷载作用位置一般不在跨中，且该位置只与λ有关(只与梁材料、几何参数有关，与荷载无关)。

(2) 动滑移极小值

令式(19)、(20)等于零，得两关系式为

(24)

(25)

(3) 滑移共振分析

3算例分析

3.1计算结果验证

(1) 与现有公式比较

式(19)或式(20)相当于静荷载作用的组合梁滑移表达式。经简单变换，与文献[9]中式(36)及文献[10]中式(49)、(50)一致(不考虑剪切变形及剪力滞影响)，说明本文由动力理论所得集中荷载作用的组合梁静滑移表达式正确。因集中力导致剪力分布图突变，表达成分段函数，故分成两个表达式。

(2) 荷载作用于跨中的跨中滑移

(3) 荷载作用于跨中的梁端滑移

(26)

x=L时梁右端滑移为

(27)

可见，荷载作用跨中时简支梁两端无论静滑移量或动滑移量均大小相等、方向相反，与试验及有限元计算结果完全一致。

3.2理论、计算与试验值对比分析

以荷载作用跨中为例，对简支梁梁端滑移进行试验研究及计算分析，并与理论结果对比分析。

(1) 模型参数

采用文献[14]中简支钢-混组合梁模型。模型为箱型截面，跨度4 200 mm，梁全长4 500 mm，混凝土板长4 400 mm，宽700 mm，厚110 mm；钢梁高200 mm，下翼缘宽500 mm，翼缘板厚8 mm，腹板厚6 mm；栓钉直径13 mm，高50 mm。每片梁用Q235钢材430 kg，C30混凝土0.35m3，栓钉42个(部分连接PCB，剪力连接度60%)。栓钉刚度取值原则见文献[16-17]。

(2) 结果验证

用三维多点协调电液伺服动态加载机在跨中加载，测点位于梁端，测试前所有梁进行预压以消除粘结力影响。进行4种工况简谐荷载试验，见表1。

各工况梁端动滑移测试结果(综合考虑理论、试验环境及简谐荷载影响范围，进行80 Hz低通滤波)与理论计算结果对比见图3。考虑梁两端滑移值大小相等、方向相反，只给出梁左侧(x=0)的理论计算结果。由图3看出，在持续简谐荷载作用下组合梁梁端滑移时程在平衡位置附近作正弦振动，滑移有效值为静态分量引起的滑移值；振幅与简谐分量大小有关，振动频率与简谐荷载大小一致。4种工况滑移理论值与实测较接近，但振幅有差异。原因为①理论计算时忽略阻尼作用，所得滑移振幅稍有增大，但不影响静态分量引起的滑移数值(即平衡位置滑移)。②滑移试验所用模型梁浇筑时混凝土与钢梁间未涂油，粘结力、摩擦力对测试结果有一定影响，且施加动荷载大小、频率对抗剪连接件变形也有一定影响。

表1　简谐荷载试验工况设置

图3　加载稳定后梁跨中竖向速度响应及梁端滑移响应Fig.3 The responses under stable impact load

3.3参数分析

以工况4为例，对简谐荷载作用梁跨中、滑移最大及零位置的整梁滑移时程及组合梁滑移共振进行分析，未考虑阻尼影响。

(1) 荷载作用于跨中时滑移分布

对简谐荷载作用于组合梁跨中的整个梁滑移时程进行理论计算，研究界面滑移沿梁长分布规律，见图4。由图4看出，在跨中及梁端，梁的滑移量分别为零及0.226 mm，振幅为0.078 mm，频率与加载简谐荷载一致，均为3 Hz。在时变荷载作用下，某时刻沿梁长滑移分布规律与静力荷载作用状况类似，此时跨中滑移量始终为零；当趋向梁端时，静态滑移量与简谐滑移振幅均随之增大。

图4　集中简谐荷载作用跨中时组合梁滑移响应时程分布Fig.4 The distribution diagram of dynamic slip responses for the composite beam under midspan concentrated harmonic load

由时间分布知，简谐分量作用的组合梁滑移仍按正弦规律振动，其引起的动滑移量与荷载振幅、周期与简谐荷载作用频率相同，且随简谐荷载振幅增加，其数值可能超过静态分量引起的滑移。

(2) 滑移最大时分布

图5　滑移响应最大时滑移响应时程分布Fig.5 The distribution diagram of maximum dynamic slip responses for the composite beam under concentrated harmonic load

(3) 滑移为零时分布

图6　荷载作用位置与零滑移位置关系曲线Fig.6 The relationship curve between the positions of the load and non-slip

(4) 滑移共振分析

图7　组合梁滑移共振响应曲线Fig.7 The resonant response curve of the dynamic slip for composite beams

4结论

基于组合梁基本动力理论获得集中简谐荷载作用的简支组合梁挠度解析解；据挠度、滑移微分方程获得动滑移响应表达式；经数学变换使动滑移响应表达式静态分量部分满足级数求和条件。通过理论与实测结果对比分析，结论如下：

(1) 与挠度响应结果相同，时变荷载作用的组合梁动滑移方程仍为二阶常系数微分方程，且解的形式与挠度响应表达式形式有关。

(2) 组合梁静滑移可视为动滑移的特殊形式。动滑移表达式静态分量部分可通过数学求解使其满足级数求和条件，简谐荷载分量对组合梁有效滑移量影响较小，振幅可能超过静滑移量。

(3) 无论竖向荷载作用在梁的任何位置，最大滑移均发生在梁端，即近荷载作用位置一端；梁端最大滑移发生时荷载作用位置不在跨中，该位置仅与梁的几何、材料特性有关。

(4) 除荷载作用跨中、梁端外，滑移量为零的位置不与荷载作用位置重合。荷载作用位置移进梁跨时零滑移位置迅速出现在距梁端一定距离处，该距离仅与荷载作用位置、梁的几何与材料特性有关。

(5) 简谐荷载作用频率等于组合梁固有频率时组合梁体系与荷载发生共振。无阻尼体系共振时稳态反应趋于无穷大，导致连接件破坏。

参 考 文 献

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基金项目：国家重点基础研究计划973项目(2013CB036203)；国家自然科学基金项目(51178025;51108281)；河北省高等学校科学技术研究项目重点课题(ZD2014025)

收稿日期：2014-09-09修改稿收到日期：2014-12-12

通信作者夏禾 男，教授，博士生导师，1951年生

中图分类号:U441+.3

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.004

Analytical dynamic slip solution for steel-concrete composite beams under harmonic load

HOU Zhong-ming1,4, XIA He2, ZHANG Yan-ling3, WANG Yuan-qing4

(1. Central Research Institute of Building and Construction CO., LTD., MCC Group, Beijing 100088, China; 2. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China; 3. School of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China; 4. Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract:A relative slip will occur at the interface between steel girder and concrete slab of a composite beam when it is subjected to external loads, which should be taken into account in structural analyses. Based on the fundamental dynamic theory, an analytical deflection solution to simply-supported composite beams under concentrated harmonic load was derived, and according to the differential relationships between the deflection and slip, the dynamic slip response was obtained. The static component in the dynamic slip expression was made to meet the series summation conditions by applying a series of mathematical transformations. The theoretical results were compared with the experimental ones, showing a good agreement. The analysis results show that the static slip can be essentially counted as a special case of dynamic response, and the harmonic component has a relatively small effect on the effective slip, but a great influence on the mechanical performance of shear connectors.

Key words:steel-concrete composite beam; slip response; analytical solution; dynamic theory; slip resonance; experimental study

第一作者 侯忠明 男，博士，1982年生