基于解析模态分解和希尔伯特变换的模态参数辨识新方法

李　晶， 曹登庆， 刘绍奎， 余天虎， 王庆洋

(1. 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨　150001； 2.中国空间技术研究院，北京　100094)



基于解析模态分解和希尔伯特变换的模态参数辨识新方法

李晶1， 曹登庆1， 刘绍奎2， 余天虎1， 王庆洋1

(1. 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨150001； 2.中国空间技术研究院，北京100094)

摘要：针对航天器结构低频、密频的模态参数辨识问题，提出一种将解析模态分解(AMD)与希尔伯特变换(HT)相结合的模态辨识方法(AMD+HT)，根据结构上任意一点的脉冲响应信号，对系统结构的频率和模态阻尼比进行参数识别。以箱型卫星模型为例，分别对固定状态下卫星帆板和卫星整体结构的低阶模态进行模态辨识，并与LMS数据采集系统分析结果和ANSYS有限元仿真结果对比，验证了该方法对低频、密频结构模态辨识的正确性和优越性。

关键词：解析模态分解(AMD)；希尔伯特变换(HT)；低频；密频；模态阻尼比

随着航天科学技术研究的深入，航天器体积和结构则趋于大型化和复杂化[1]，并且为了追求较大的运载能力，航天器的制作材料大多采用轻质、超薄的材料，这就造成了航天器结构往往呈现密频、低频及小阻尼等特性[2], 这些特征给航天器结构模态特征的准确辨识带来了较大的困难。因此，有必要发展一种针对上述情况的新的参数辨识技术，为现代航天器结构的设计提供相关的技术支持和理论依据。

不考虑结构的几何非线性、材料非线性等因素，我们可以把结构系统简化为线性系统，便可以利用模态参数辨识的方法对系统参数进行辨识。至于线性系统模态参数辨识方法，主要可以分为时域法和频域法，二者分别从时域和频域的角度入手，对系统参数进行辨识[3]。随着模态辨识技术的不断发展，又兴起了一种时频联合分析的模态辨识技术，这种辨识方法综合了频域法和时域法的优点，逐渐地成为现代模态实验中广泛采用的辨识方法[4-5]。希尔伯特-黄变换(HHT)是由Huang等[6]提出的一种分析非线性非平稳信号的时频联合分析方法，HHT由经验模态分解(EMD)和希尔伯特变换(HT)组成。将HHT应用于线性系统模态参数辨识也已经开展了较多的工作。Yang等[7]利用HHT对多自由度系统进行模态参数辨识，通过辨识给出了系统的物理参数，如质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵等信息。Chen等[8]利用HHT方法对于在台风作用下的香港青马大桥进行了实时的模态实验，获得了结构的各阶固有频率以及模态阻尼比，取得了较好的效果，从实验的角度再次验证了HHT对于线性系统模态参数辨识的有效性。陈隽等[9]针对具有密集模态的系统，探讨了HHT的辨识效果，得到了HHT对于在一定程度模态密集的系统具有良好的辨识效果的结论。HHT虽然是一种高效、准确的辨识方法，但是EMD分解也存在一定的问题，比如难于处理密集模态所产生的频率混叠效应，以及难以处理窄带信号和区分间歇性波动等问题。针对EMD方法存在的问题，Chen等[10]提出了一种解析模态分解(AMD)方法，此种方法与EMD具有相似的功能，可以实现对于多组份信号进行分解，并且在一定程度上能够对频率混叠、窄带信号以及信号间歇性波动进行较好的处理。

本文将解析模态分解(AMD)方法与HT方法结合，提出了基于解析模态分解和希尔伯特变换(AMD+HT)的模态参数辨识新方法，利用脉冲响应信号对连续系统的频率和模态阻尼比进行模态识别。设计并制作了箱型卫星模型，将AMD+HT法分别应用于的部件和整体的模态参数辨识，并与LMS数据采集系统分析结果和ANSYS有限元计算结果进行对比，实现了对系统低频，密频的准确辨识，验证了AMD+HT参数辨识方法的有效性。

1基本理论

1.1解析模态分解(AMD)

设某个信号x(t)包含n个单频组份，且每个单组份对应的固有频率为ωi，则有二分频率ωbi∈(ωi,ωi+1)(i=1,2,3,…,n-1)。每个二分频率ωbi可以将信号分为两部分，如图1。则信号可以表示成：

图1　二分频率示意图Fig.1 The diagram of frequency decomposition

(1)

其中：

si(t)=sin(ωbit)H[x(t)cos(ωbit)]-

cos(ωbit)H[x(t)sin(ωbit)]

(i=1,2,…,n-1)

(2)

因此信号x(t)可以写成由n个单组份组成的形式：

(3)

且有以下表达式：

(4)

式中：s0(t)=0。

1.2利用脉冲响应信号进行模态识别

根据模态叠加法，离散多自由度系统和连续系统均可以通过解耦，得到解耦的动力学方程：

(5)

式中:ζj为第j阶模态阻尼比，mj为第j阶主质量，Φj为第j阶模态矢量，Qj(t)=F0δ(t)φj(x0)为作用在x=x0处的单位脉冲力矢量。

以连续系统为例，根据杜哈梅积分求解方程零初始条件的稳态解，即第j阶模态坐标的位移响应为：

(6)

(7)

式中：φj为在第j阶模态中任意一点x=x0处的相位差，且有：

φj(x)/φj(x0)>0当φ=±2mπ

φj(x)/φj(x0)<0当φ=±2(m+1)π

从式(7)可以看出，位移信号是由单频调幅简谐波组成的，通过AMD可以对其进行分解，获得单组份信号，以及瞬时频率和瞬时幅值，然后再进行模态参数辨识。

可将式(7)的单组份信号写成：

(8)

对式(8)进行Hilbert变换得到:

(9)

并构造解析函数：

(10)

得到瞬时幅值和瞬时相位角：

(11)

则有：

(12)

利用式(12)，对数据进行最小二乘拟合，分别得到相应的斜率值k1j、k2j。注意到：

(13)

由此可计算出系统的各阶固有频率和相应的模态阻尼比：

(14)

因此由AMD+HT参数辨识方法，仅根据结构一点的位移响应就可以计算得到结构的各阶固有频率及相应的模态阻尼比。

至此，我们可以总结使用AMD+HT方法辨识系统前r阶频率与模态阻尼比的步骤主要为：

(1) 采集系统上任意一点的脉冲响应信号；

(2) 对采集的信号做频谱分析，提取出需要分析的前r阶频率；

(3) 对采集的信号做低通滤波，获得一组新的信号；

(4) 取二分频率，并对信号进行AMD分解；

(5) 将低通滤波后得到的新的信号进行Hilbert变换，得到各阶单模态的瞬时幅值；

(6) 对经过变换得到的各阶单模态瞬时幅值做线性最小二乘拟合，得到该线性拟合函数的斜率，通过式(14)即能得出各阶频率及相应的模态阻尼比。

2箱型卫星AMD+HT参数辨识实例

为验证本文提出的参数辨识方法的有效性，设计并制作了带两个柔性太阳翼的箱型卫星模型，模型尺寸和实物图见图2。卫星结构全部采用5026铝合金板材制成，材料的弹性模量E=6.89×1010Pa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2 680 kg/m3。

图2　箱型卫星模型的示意图和实物图Fig.2 Diagram and photo of the satellite model

利用激光位移传感器采集结构的位移信号，采样频率为500 Hz，采样时长为131 s。将所获得的信号导入MATLAB中，将原始信号做低通滤波，再将滤波后的信号用AMD+HT方法处理，根据式(14)计算得出结构的各阶固有频率与模态阻尼比，并将该结果与LMS数据采集系统分析的结果和有限元计算的结果分别进行比较。

2.1卫星帆板模态辨识

首先以卫星帆板为例，将一侧的卫星帆板一端固定约束如图3，利用激光位移传感器对板上任意一点采集位移信号，所得到的时间历程曲线以及频谱曲线如图4。图5是经过AMD+HT分解后悬臂板的单模态信号以及频谱图，从分解后的单模态频谱图上，可以看到前三阶频率分别在0～5 Hz、10～15 Hz、15～20 Hz之间。图6为对悬臂板各阶单模态信号的瞬时频率和瞬时幅值的最小二乘曲线拟合。根据式(14)计算可得出帆板前三阶固有频率与模态阻尼比。通过与LMS数据采集系统的分析结果相比较(见表1)可以看出，AMD+HT辨识的固有频率与LMS实验值和ANSYS计算值对比，结果均较为理想，固有频率的相对误差都在2%以内。AMD+HT辨识的模态阻尼比的结果与LMS实验值对比的相对误差也都在3%以内。综上所述，AMD+HT方法可以有效辨识结构的固有频率和模态阻尼比。

图3　箱型卫星帆板实验装置Fig.3 Experiment device of a single panel

图4　采样点的时间历程曲线和频谱曲线Fig.4 Time history and frequency spectrum curves of sampling point

图5　经过AMD分解后的单模态信号和频谱图Fig.5 Single mode signal and frequency spectrum after AMD

图6　单模态信号的瞬时幅值和瞬时相位的曲线拟合Fig.6 Fitted curve of the transient amplitude and transient phase of single mode signal

阶数固有频率/HzAMD+HTLMS误差/%ANSYS误差/%模态阻尼比AMD+HTLMS误差/%11.6841.6870.181.6840.000.002300.002300.00211.56511.5850.1711.4161.290.001800.001821.10317.91517.9920.4318.2171.690.000920.000902.22

2.2卫星整体的密频模态辨识

以卫星整体为例，如图7所示，将卫星中心箱体置于EPE珍珠棉的弹性支撑上。使用ANSYS 计算得到结构前三阶频率分别为1.582 5 Hz、1.655 0 Hz和6.669 7 Hz，根据陈德成等[11]提出的频率密集组定义，可计算出前两阶频率组的分散度为μ=0.029，可以看成一个密频组。

图7　箱型卫星实验装置Fig.7 Experiment device of the satellite model

利用激光位移传感器采集板上任意一点的位移信号。如图8，从位移时间历程曲线中可以看出，卫星整体的位移响应呈现“拍”的现象，由位移频谱曲线可知结构1、2阶频率较为密集。图9是经过AMD+HT分解后的单模态信号以及频谱图，可以看到这两个频率均位于1.5～1.7 Hz之间。图10是对各阶单模态信号的瞬时频率和瞬时幅值的最小二乘曲线拟合。根据式(14)计算得出帆板前两阶固有频率与模态阻尼比。结果对比见表2，可以看出，AMD+HT辨识方法可以准确的辨识出卫星整体低阶频率的一个密频组，与LMS实验值和ANSYS计算结果对比均较为理想，相对误差都在1%以内，模态阻尼比的辨识结果与LMS实验值对比的相对误差也都在1%以内。说明AMD+HT方法可以有效辨识密频结构的模态值。

表2　卫星整体固有频率及模态阻尼比的识别结果比较

图8　采样点的时间历程曲线和频谱曲线Fig.8 Time history and frequency spectrum curves of sampling point

图9　经过AMD分解后的单模态信号和频谱图Fig.9 Single mode signal and frequency spectrum after AMD

图10　单模态信号的瞬时幅值和瞬时相位的曲线拟合Fig.10 Fitted curve of the transient amplitude and transient phase of single mode signal

3结论

HT变换是研究线性及非线性动力系统特性的一种实用方法，适用于处理非线性及非平稳信号，但只能应用于单一成分的信号，而AMD可以实现对多组份信号的分解，并且在一定程度上能够避免出现EMD方法存在的问题。因此本文提出了解析模态分解(AMD)和希尔伯特变换(HT)相结合的模态参数识别新方法(AMD+HT)。可应用于频率成分复杂的线性及非线性离散多自由度系统或连续系统的模态参数辨识。

本文以箱型卫星为例，采用该方法分别对卫星帆板和卫星整体的固有频率和模态阻尼比进行参数识别，并与LMS数据采集分析结果和ANSYS有限元计算结果进行了对比分析，结果表明：AMD+HT方法识别的系统固有频率以及模态阻尼比具有较高的精度，可以有效地处理低频和密频的问题，是一种很有潜力的时频域模态参数辨识方法。

参 考 文 献

[1] 马兴瑞, 苟兴宇, 李铁寿, 等. 航天器动力学发展概况[J]. 宇航学报, 2000, 21(3): 1-5.

MA Xing-rui, GOU Xing-yu, LI Tie-shou, et al. Development generalization of spacecraft dynamics [J]. Journal of Astronautics, 2000, 21(3): 1-5.

[2] 司洪伟, 李东旭, 陈卫东. 大挠性航天桁架结构动力学及其主动控制研究进展[J]. 力学进展, 2008, 38(2): 167-176.

SI Hong-wei, LI Dong-xu, CHEN Wei-dong. Dynamic and activecontrol of large flexible space truss: a review [J]. Advance in Mechanics, 2008, 38(2): 167-176.

[3] 赵寿根, 程伟, 孙国江, 等. 航天器动力学特性参数在轨辨识技术[J]. 北京航空航天大学学报, 2005, 31(9): 999-1003.

ZHAO Shou-gen, CHENG Wei, SUN Guo-jiang, et al. Identification system to dynamic characteristics of on-orbit space vehicles[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2005, 31(9): 999-1003.

[4] Piombo P A D, Fasana A, Marchesimllo S, et al. Modelling and identification of the dynamic response of a supported bridge[J]. Mechanical systems and signal processing, 2000, 14(1): 75-89.

[5] 石志晓. 时频联合分析方法在参数识别中的应用[D].大连: 大连理工大学, 2005.

[6] Huang N E, Shen Z, Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis [J]. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1998, 454(1971): 903-995.

[7] Yang J N, Lei Y, Pan S, et al. System identification of linear structures based on Hilbert-Huang spectral analysis. Part 1: normal modes [J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 2003, 32(9): 1443-1467.

[8] Chen J, Xu Y, Zhang R. Modal parameter identification of Tsing Ma suspension bridge under Typhoon Victor: EMD-HT method [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2004, 92(10): 805-827.

[9] 陈隽, 徐幼麟, 李杰.Hilbert-Huang变换在密频结构阻尼识别中的应用[J]. 地震工程与工程振动, 2003, 23(4): 34-42.

CHEN Jun, XU You-lin, LI Jie. Hilbert-Huang translation for damping ratio identification of structures with closed spaced modes of vibration [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2003, 23(4):34-42.

[10] Chen G, Wang Z. A signal decomposition theorem with Hilbert transform and its application to narrowband time series with closely spaced frequency components [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2012(28): 258-279.

[11] 陈德成，杨靖波，白浩，等. 密频子空间的可控度与可观度[J]. 应用力学学报，2001, 18(2):15-19.

CHEN De-cheng, YANG Jing-bo, BAI Hao,et al. The degree of controllability and observability of closed frequency subspace [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2001, 18(2):15-19.

基金项目：国家自然科学基金项目(91216106)

收稿日期：2014-10-13修改稿收到日期：2014-12-30

通信作者曹登庆 男，博士，教授，1958年5月生

中图分类号:V41

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.007

A new method for modal parameter identification based on analytical modal decomposition and Hilbert transformation

LI Jing1, CAO Deng-qing1, LIU Shao-kui2, YU Tian-hu1, WANG Qing-yang1

(1. The School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2. China Academy of Space Technology, Beijing 100094, China)

Abstract:In order to identify modal parameters of spacecraft structures with low frequencies and closely spaced modes, a new identification method based on analytical modal decomposition (AMD) and Hilbert transformation (HT) was proposed. The modal frequencies and modal damping ratios of a structure were obtained with its impulse responses at any point. A satellite model composed of a central rigid body and two panels was taken as a typical example of spacecraft structures. The low-order modal parameters of a single panel and the satellite model under fixed boundary conditions were identified using this method. The comparison between the results obtained with this method and those obtained with tests and other simulation methods showed that the new proposed method is valid, especially, for spaceraft structures with low frequencies and closely spaced modes.

Key words:analytical modal decomposition (AMD); Hilbert transformation (HT); low frequency; closely spaced modes; modal damping ratio

第一作者 李晶 女，硕士，1990年1月生