黄金分割发现数学之美

王浩成（河北省易县中学，河北 易县 074200）



黄金分割发现数学之美

王浩成
（河北省易县中学，河北 易县 074200）

摘 要：黄金分割被认为是一种具有非常严格的和谐性、比例性、艺术性的数字，并且其中蕴藏着非常丰富的美学价值。这一比值能够引发人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例。本文介绍并讨论了黄金分割的发现与发展过程以及其在各领域的应用。

关键词：黄金分割；黄金比例；应用

一、黄金分割简介

（一）发现历史

黄金分割或称黄金比例的第一次详细描述是在2300年前欧几里得的《几何原本》（elements）中，其定义为：将整体一分为二，其中较大部分与整体部分的比值等于其较小部分与较大部分的比值，这一比值为（5-1）：2是一个无限不循环小数，其值约为0.618。这个比例后来被公认为是最能够引起美感的比例，因此被称为黄金分割。

（二）数学关系

比较著名的斐波那契数列，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34……通过研究不难发现，对于菲波那切数列的各项来说，相邻两项的商越靠后就越接近0.618，而通过通项公式去求相邻两项商的极限其结果正是黄金比例，因此菲波那切数列又称之为黄金比数列。

另外，黄金分割在几何角度方面的数值为2sin18°，其定义由黄金分割三角形确定。黄金分割三角形，即一个正五边形的所有对角线所组成的全部三角形均为黄金分割三角形。其共同的特性为：黄金分割三角形是唯一的一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来组成与其本身相似的三角形的三角形。而除此之外的所有三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成一个与其本身相似的三角形。

二、黄金分割的应用

（一）在科学研究上的应用

黄金分割的比例0.618这一数字最为数学家所关注，通过研究黄金比例，人们解决了许多数学界尤其是在几何方面的难题，比如：求18°、36°角的正、余弦值，圆周的十等分、五等分等。

另外，可通过对黄金分割比例的应用而将优选法变为可能。

比如，在某种试验中，某数值取值的变化范围在0～10之间，要寻找实验效果最佳在哪个数值时，最常用的方法被称为对分法，即每次取数值的中点进行区分考察，但这种方法并不是最快的实验方法。其实可以先找出实验的数值变化范围的黄金分割点，即10×0.618，进而去观察实验取值为10×0.618=6.18时的试验效果，然后再观察实验取值为10× （1-0.618）=3.82时的试验效果，通过对两者的比较，选优去劣，减小数值取值范围。然后就可以在缩小后的变化范围内重复上述过程，直至选出最佳的数值，应用优选法后实验的次数将会大大减少。现在称这种通过取区间的0.618处作为试验点的方法为一维的优选法（0.618法）。通过实践可以证明，对于一个其他因素都相同的问题，用优选法做16次试验的效果等价于“对分法”做2500次试验才能达到的效果。

（二）艺术与黄金分割

在绘画方面，黄金分割率以及黄金矩形能够给画面布局带来美感。因此在很多艺术品中都能找到它。达・芬奇的《维特鲁威人》《蒙娜丽莎》《最后的晚餐》等名画中都应用到了黄金分割的比例进行布局。

在雕塑艺术上，雕塑人体的身材最优美的比例是按照0.618:1来设计腿长与身高的比例。因此，无论维纳斯女神塑像还是太阳神阿波罗的形象都是通过故意延长雕塑人体的双腿，使其与身高的比值接近0.618，进而创造出艺术的美感。

（三）黄金分割在建筑学里的应用

“黄金分割比”的应用几乎遍及世界上最著名的古老建筑物。无论古埃及的金字塔，还是古印度的泰姬陵，或者古希腊的帕特农神殿，甚至中国建设的故宫、法国的巴黎圣母院，黄金分割在古建筑里的应用不胜枚举。另外，除了人所共知的著名古代建筑，现当代各种优秀建筑中，虽然其建筑风格的变化多端，在构图布局或设计方面都有意无意地运用了黄金分割的比例，进而给人带来建筑整体上的和谐和悦目之美。比如勒・柯布西耶的朗香教堂，被誉为其惊世之作，他在设计上很多细节都大量使用了黄金比例，最后因其带有表现主义倾向的造型震动了当时整个建筑界。

（四）黄金分割在生活中的应用

在日常生活中，很多小细节也充满着黄金分割的影子。A4纸、各种显示屏的长宽比，人体感觉最适应的温度和体温的比值，这些都符合黄金分割的比例。在自然界中，很多动植物的生长都遵从黄金分割的规律。一些植物的萼片、花瓣、果实数目以及排列的方式上，都非常符合黄金分割的规律，如菠萝、松子等。

三、发现数学之美

黄金分割就好像一个代表着艺术美学数字，通过黄金分割的应用与研究不仅帮助人们解决了不少数学上的难题，更加渗透到其他各个学科之中，并发挥着至关重要的作用。

只有通过对数学不断的深入学习和理解，才能逐渐在学习过程中领略到数学之美，才能应用数学在生活中能解决越来越多的难题，才能更多地发现生活中需要解决的问题。这同样需要在生活中善于观察，积极思考，将学到的知识与实际生活结合起来。

参考文献：

［1］司志本.黄金分割——神圣的分割［J］.湖南第一师范学报，2003（1）.

［2］张雄.黄金分割的美学意义及其应用［J］.自然辩证法研究，1999（11）.

［责任编辑 房晓伟］

The Beauty of Mathematics Hidden in the Golden Section Method

WANG Hao-cheng
（Yi County Middle School，Yi County Hebei，072400，China）

Abstract:The golden section is regarded as a very strict harmony，proportionality，artistic figure，in which there is a very rich aesthetic value.This ratio can arouse people's aesthetic feeling.It is the ideal ratio in architecture and art.This paper introduces and discusses the discovery and development of the golden section.At the same time its applications in various fields are also mentioned.

Key words:golden section； the golden ratio； application

中图分类号：G62

文献标识码：A

文章编号：1673-9132（2016）20-0017-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.20.008