高中函数的思维特征——挖掘教材背后的思维素材

王　倩

（濉溪中学　安徽·濉溪　235000）



高中函数的思维特征
——挖掘教材背后的思维素材

王倩

（濉溪中学安徽·濉溪235000）

摘要：在教育教学中，教师对学科知识内容、学科结构、学科本质的理解和领悟的深度影响着学生的思维能力的提升。通过对教材背后思维素材的分析，探索函数的思维特征，教给学生数学的思维方式。

关键词：数学思维特征；数学描述性语言；数学符号语言

培养学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一。而有些数学知识的思维特征，在教材上没有给予展现，这就需要教师自己结合教材去研究，挖掘教材背后数学知识的思维素材，并结合教学实践在课堂上渗透，让学生的思维得以提升。

数学的思维特征离不了数学语言的表达，数学语言通过文字语言、图形语言、符号语言表现出来。在教学中，要求学生有能力对这三种描述进行相互转化。下面以函数为例，结合教材和函数的性质来探索分析其数学思维特征。

通过函数的概念，我们可以发现函数的本质特征。简单地说就是自变量的变化引起因变量的变化.所以在研究函数时，就是要把握这一本质的思维特征。那么自变量如何变化的，对应的函数值又发生了怎样的变化？我们结合函数的基本性质来探讨这个问题。

1、函数的奇偶性

1.1奇函数

对于定义域内的任意X，都有f（-X）=-f（X）即f（-X）+f （X）=0

【思维特征】互为相反数的两个自变量，其对应函数值互为相反数。

【几何特征】奇函数的图像关于原点对称。

1.2偶函数

对于定义域内的任意X，都有f（-X）=-f（X）即f（-X）+f （X）=0

【思维特征】自变量互为相反数，其对应函数值相等。

【几何特征】偶函数的图像关于轴对称。

例1：y=f（2X-1）是奇函数，则下面结论正确的是（）

A.f（2X-1）+f（-2X+1）=0 B.f（2X-1）+f（-2X-1）=0

C.f（2X-1）-f（-2X+1）=0 D.f（2X-1）-f（-2X-1）=0

分析：这就涉及到谁是函数的自变量的问题，如果强调括号里的是函数的自变量是不合适的，这里函数y=f（2X-1）是以X为自变量，故取X与-X带入条件。即f（2（-X）-1）=-f（2X-1），即f（2X-1）+f（-2X-1）=0，则B是正确的。

【引申1】若y=f（X）是奇函数，则下面结论正确的是（）

A.f（2X-1）+f（-2X+1）=0 B.f（2X-1）+f（-2X-1）=0

C.f（2X-1）-f（-2X+1）=0 D.f（2X-1）-f（-2X-1）=0

分析：这里是y=f（X）以X是自变量，把括号里的X换成2X-1，则带入f（-X）=-f（X），即f［-（2X-1）］=-f（2X-1），答案A正确。

【引申2】y=f（2X-3）是偶函数，会得到怎样的结论？

分析：函数中谁是自变量，再考虑偶函数的本质特征是自变量取相反数时函数值相等，则会得到f（2X-3）=f［2（-X）-3］，即会得到f（2X-3）-f（-2X-3）=0这个结论了。

2.函数的周期性

对于函数y=f（X），如果存在一个非零常数T，使得当X取定义域内的任何值时，都有f（X+T）=f（X），那么就称函数y=f（X）为周期函数，称T为这个函数的周期。

【思维特征】自变量取的是差为常数的两个数，其函数值相等。

例1：若函数y=f（X）满足f（2X-1）=f（2X+1），此函数的周期是多少？

分析：令U=2X-1，则2X+1=U+2

所以f（U）=f（U+2），所以T=2

若不换元，直接分析就是自变量的差是2，函数值相等，故T=2.

【引申】若y=f（2X-3）的最小正周期为2，会得到什么结论呢？

分析：这里函数y=f（2X-3）的自变量是X，故由周期的定义得，f（2X-3）=f［2（X+2）-3］，即f（2X-3）=f（2X+1）.

分析：在函数周期的定义里，加和减是一个意思，从函数的自变量看取什么样的两个数，它们的函数值相等.其实自变量取PX与，差是直接可以看出其周期为

分析：这里还是要分析谁是自变量，当然还是X，则

3.函数的对称性

定义在R上的函数y=f（X）

（1）若f（a+X）=f（b-X）⇔函数y=f（X）图像关于直线对称.

特别地a=b，当时f（a+X）=f（a-X）⇔f（X）=f（2a-X）⇔f（-X）=f （2a+X）⇔y=f（X）的图像关于直线X=a对称。

【思维特征】自变量之和为常数2a，函数值相等，则y=f（X）的图像关于直线X=a对称。特别地，当a=0时f（-X）=f（X）⇔f （X）-f（-X）=0⇔y=f（X）函数是偶函数⇔函数图像关于直线X=0对称.

（2）f（X）+f（2a-X）=2b⇔f（2a+X）+f（-X）=2b⇔

f（a+X）+f（a-X）=2b⇔y=f（X）的图像关于点（a，b）对称.

【思维特征】自变量之和为常数2a，函数值之和为常数2b，则y=f（X）的图像关于点（a，b）对称.特别地，当a=b=0时，f（X）+f（-X）=0⇔y=f（X）的图像关于原点（0，0）对称⇔函数y=f（X）是奇函数。

（3）f（X-a）+f（X=a）⇔f（X）=f（X+2a）⇔y=f（X）的周期是2a.

【思维特征】自变量之差等于常数2a，函数值相等，则函数周期是2a.

（4）f（a+X）=f（b+X）⇔f（X）=f（X+（b-a））⇔y=f（X）的周期是b-a.

【思维特征】自变量之差是常数b-a，函数值相等，则函数y=f（X）的周期是b-a.

特别地，当b=0时，f（a+X）=f（X）⇔y=f（X）的周期是a.

【思维特征】自变量之差是常数a，函数值相等，则函数y=f （X）的周期是a.

例1：若函数y=f（X）满足f（1-X）=f（1+X），则y=f（X）的图像有何特征？即函数有何性质？

分析：自变量的和是一个常数，这里（1-X）+（1+X）=2，函数值相等，所以函数图像关于X=1对称。

例2：若函数y=f（X）满足f（1-X）=f（X-1），则y=f（X）的图像有何特征？

分析：（1-X）+（X-1）=0.即自变量互为相反数，函数值相等，所以函数图像关于Y轴对称，这个函数是偶函数。

例3：若函数y=f（X）满足f（X-1）=f（X+1），则函数y=f（X）的图像特征如何？即函数有何性质？

分析：这里（X+1）-（X-1）=2，即自变量的差为常数2，故周期是2.

例4：若函数y=f（X）满足f（X-1）=-f（X+1），则y=f（X）有什么性质？

分析：因为f（X-1）=-f（X+1）所以f（（X+2）-1）=-f（（X+2）+1）

即f（X+1）=-f（X+3）即f（X-1）=-f（X+1）则f（X-1）=f（X+3）

所以周期是4.

例5：若f（X+1）+f（X-1）=2则自变量分别取X+1和X-1，不是和为常数了，而是自变量的差为常数了，那么怎样理解这个式子呢？即自变量的差为2的两个数，函数值的和为2，即f（X-1）=2-f（X+1），则f（X-1+2）=2-f（X+1+2）即f（X+1）=2-f（X+3）所以f（X-1）=2-［2-f（X+3）］=f（X+3），故周期为4.

反过来，函数的文字描述性语言可转化成抽象的数学符号语言。

例1：若函数y=f（X-1）是偶函数，则y=f（2X）的对称轴是_.

分析：由y=f（X-1）是偶函数，则f（X-1）=f（-X-1）

所以y=f（X）关于X=1-对称，所以y=f（2X）关于对称。

例2：若函数y=f（X-1）的图像关于X=1对称，则y=f（X）的图像有什么特征？

分析：由y=f（X-1）的图像关于X=1对称，得f［（1+X）-1）］=f［（1-X）-1）］即f（X）=f（-X），所以y=f（X）的图像关于Y轴对称.

例3：函数y=f（X）的定义域为R，若y=f（X+1）与y=f（X-1）都是奇函数，则以下选项正确的是（）

A.y=f（X）是偶函数B.y=f（X）是奇函数

C.f（X）=f（X+2D.y=f（X+3）是奇函数

解析：因为y=f（X+1）与y=f（X-1）都是奇函数，

所以f（-X+1）=f（X+1）.....①f（-X-1）=f（X-1）......②

即f（-X+1）+f（X+1）=0 f（-X-1）=f（X-1）=0

所以函数y=f（X）关于点（1，0）及点（-1，0）对称

所以f（X）=-f（2-X）f（X）=-f（-2-X）

这两个式子就能合到一起了，就是f（2-X）=f（-2-X）

由这个式子发现自变量差为4的两个自变量，函数值相等，函数是周期为4的周期函数。故C错误。

【下面显然要用周期4这个结论进行分析了】

由②知f（（-X-1）+4）=-f（（X-1）+4）仍然成立

即f（-X+3）=-f（X+3）

即y=f（X+3）是奇函数（自变量取相反数，函数值相反），故D正确.

【再分析】

若用①式，就是f（-X+1+4）=-f（X+1+4）

即f（-X+5）=-f（X+5）

故y=f（X+5）也是奇函数.

分析；如何把第二个条件的描述性语言转化成符号语言表达，是解决问题的关键。我们平时做题时，最终还是要用数学符号语言来表达数学问题，这是最基本的数学思维。

则y=f（X）是偶函数。

例5：函数y=f（2X+1）是定义在R上的奇函数，函数y=g（X）的图像与函数y=f（X）的图像关于直线y=X对称，则g（X）+g（-X）的值是_______

分析：第一个条件中的描述性语言如何转化成符号语言，第二个条件表明函数y=g（X）的性质与函数y=f（X）的性质有关，这就要从第一个条件分析函数y=f（X）的性质是怎样的，结论“g （X）+g（-X）的值是多少”怎样理解，即自变量取相反的两个数时，其函数值的和等于多少的问题。

解析：因为函数y=f（2X+1）是定义在R上的奇函数，

所以f（2（-X）+1）=f（2X+1）

即f（-2X+1）+f（2X+1）=0

即y=f（X）的图像关于点（1，0）对称，

所以y=g（X）的图像关于点（0，1）对称，

所以，则g（X）+g（-X）=2

例6：已知定义在R上的y=f（X）偶函数，其图像关于直线X=2对称X∈（-2，2），当f（X）=1+X2，则当X∈（-6，-2）时，f（X）=_____.

解析：因为y=f（X）是偶函数，所以f（-X）=f（X）

又因为函数的图像关于直线X=2对称，所以f（X）=f（4-X）

则f（-X）=f（4-X）所以T=4

当X∈（-6，-2）时，X+4∈（-2，2）

所以f（X）=f（X+4）=1（X+4）2

这些问题的思维特征是函数问题的本质特征，做题时不是构造函数画图像，或者猜测而得到结果。这些素材在教材上是没有的，可是在试题中常出现，教师平时就要自己去系统地研究，然后渗透在平时的课堂教学中。

参考文献：

［1］张鹤.分享数学智慧的人：数学的思维特征与研究方法［M］.北京：中国大百科全书出版社，2012.

［2］陈松林.与函数对称性、奇偶性、周期性有关的命题及应用［J］.试题与研究，2007（20）.

中图分类号：G632.0

文献标识码：A

文章编号：1009-8534（2016）03-153-02

作者简介：王倩，濉溪中学教师，本科学历。