初中数学教科书中“统计与概率”习题的比较研究————以“人教版”与“北师大版”为例

☉西北师范大学教育学院　谢　颖☉西北师范大学教育学院　王想全



初中数学教科书中“统计与概率”习题的比较研究
————以“人教版”与“北师大版”为例

☉西北师范大学教育学院谢颖
☉西北师范大学教育学院王想全

一、引言

教科书既是依据课程标准和学生接受能力编写的教学材料，也是教师授课与学生学习的重要载体.而习题是教材的重要组成部分，习题的配置在一定程度上反映了数学教材编者的价值取向与编写风格，因此对教材中的习题进行研究是教材研究的一个重要方面.自新课程改革以来，“统计与概率”内容作为义务教育数学课程的4个学习领域之一，占有着非常重要的地位.基于此，以我国甘肃省现行使用的人民教育出版社出版的义务教育数学课程标准实验教科书（以下简称“人教版”）与北京师范大学出版社出版的义务教育数学课程标准实验教科书（以下简称“北师大版”）两个版本的教科书为例，通过对两个版本教科书中“统计与概率”内容的习题在数量、认知水平和难度三个方面进行比较、研究，希望能为一线数学教师处理习题提供一些启示.

二、研究设计

1.研究对象

本研究基于“人教版”与“北师大版”两版初中数学教材，对教材中的习题进行分类与统计，整理出涉及“统计与概率”内容的教材、教材版次与知识模块，如表1所示.

表1：“人教版”与“北师大版”两版初中数学教材、版次与知识内容安排表

2.研究方法

对“人教版”与“北师大版”两版初中数学教科书中“统计与概率”内容的习题部分，从习题的数量、认知水平和难度三个方面进行分析、比较和研究.发掘两版教材在习题配置方面的异同，分析其优势与不足，为一线教师处理习题提出合理化建议.

三、研究结果与分析

1.习题数量的比较

本研究对两版教材“统计与概率”内容中的各类习题数量进行统计.由于两版教材配置的习题都有一个题目中包含多次提问和一个大题下有若干小题的情况，因此，在对习题数量进行统计时，对于题目里有多次提问的习题，根据习题性质，是否含有并列关系，若含并列关系为两题，若不含并列关系，则按一个题目计算.例如，某年母亲节，某电视台作了一次调查，结果如图所示（图略）.（1）从这幅图中，你得到什么信息？有什么感想？（2）就这个问题，对全班同学进行调查，看看结果怎样.该题目中有2次提问，但每问均有联系，不含并列关系，按1题计算.又如，以下调查中，哪些适宜全面调查，哪些适宜抽样调查？（1）调查某批次汽车的抗击能力；（2）了解某班学生的身高情况；（3）调查春节联欢晚会的收视率；（4）选出某校短跑最快的学生参加全市比赛.该题目中有多次提问，含有并列关系，有4个小题，按4题计算.按此标准分别统计出两版教材中“概率与统计”内容共有内容的练习题、习题和复习题的数量和所占比例，结果如表2所示.

表2：两版本教材中“统计与概率”内容习题总量统计表

从上表可以看出，在习题总量上，北师大版比人教版教材多59个题目.但从习题类型上看，两版教材的习题均分为练习题、习题和复习题，人教版中的三类习题分别占习题总量的28.2%、44.2%、27.6%；北师大版的三类习题分别占习题总量的17.2%、53.2%、29.6%.可见，两版教材习题配置差异不大，但人教版比北师大版更注重基础性习题，而北师大版更加注重综合性较强的复习题.

2.习题认知水平的比较

（1）习题水平层次的刻画.

本研究采用文2中对习题认知水平的刻画，把数学认知水平分为4个层次，如表3所示.

表3：习题认知水平层次刻画表

在这4个层次中，水平1、2为较低认知水平，水平3为较高认知水平，水平4为高认知水平.本文中根据学生解答某类习题所需要达到的数学认知水平层次，对“统计与概率”内容习题的数学认知水平的层次作如下界定.

水平1：计算——操作性记忆水平.该层次的习题只需要学生具备最低层次的数学认知水平就可以完成解答.解答这类习题时，需要学生按照教材所明确要求的程序或方法进行基本的运算.这里只需要记住程序，按部就班地做即可，不需要理解运算.例如，从一批零件毛坯中抽取10个，称得它们的质量（单位：g）如下：400.0，400.3，401.2，398.9，399.8，399.8，400.0，400.5，399.7，399.8.求这10个零件的平均质量.

水平2：概念——概念性记忆水平.该层次的习题是考查学生对教材中概念的理解.解答这类习题，需要学生呈现已经学习过的数学事实或术语、基本概念等，能对概念进行特殊分类，揭示概念的外延，并利用概念的定义进行简单的识别活动.例如，指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.（1）通常加热到100℃时，水沸腾；（2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；（3）掷一次骰子，向上一面的点数是6；（4）任意画一个三角形，其内角和是360°；（5）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；（6）射击运动员射击一次，命中靶心.

水平3：领会——说明性理解水平.该层次的习题所要求的数学认知水平超越了前两个仅依赖记忆的认知水平.解答这类习题，需要学生彻底理解所提问题的原理和问题中涉及的概念，对所给信息进行筛选、提炼和简单的推理，使问题得到解决，这不仅需要对运算、概念有彻底的理解，还需要确定题目所给的哪些信息对解决问题是有用的，包括与例题相近的习题.例如，一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球.求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4.

水平4：分析——探究性理解水平.该层次的习题需要学生具备高层次的数学认知水平.解答这类习题，需要学生对问题进行分析，并把分析过程综合起来，创造性地解决问题.该类习题学生之前没有接触过或没有现成的解决方案，包括开放题，探究性问题，不同于例题的非常规问题等.例如，鸟类学家要估记某森林公园内鸟的数量，你能用所学过的知识，为鸟类学家提供一种估计鸟的数量的方法吗？（假定在一定的时期内，森林公园可以近似地看作与外部环境封闭）

（2）习题认知水平层次的比较分析.

根据以上对习题的数学认知水平层次的刻画，本研究对两版教材中“统计与概率”内容配置的练习题、习题和复习题从数学认知水平的维度进行分类统计，分别统计出两版教材中不同类型习题在各水平层次的数量和比例.两版教材中练习题与习题的数学认知水平层次统计结果如表4、表5所示，其中百分数为该水平的习题数量占此类总习题量的百分比.

表4：两版本教材中“统计与概率”内容练习题数学认知水平统计表

表5：两版本教材中“统计与概率”内容习题数学认知水平统计表

从上述两表可以看出，两版教材中的练习题与习题的水平层次差异不大.练习题的背景主要是单一的概念、运算法则，对某种数学技能和性质的应用等，主要以水平1和水平2的题目为主，而习题更注重水平3的综合应用.水平1和水平2的题目主要考查学生对课本中知识内容概念的理解和基本计算；水平3的题目主要考查学生应用数学的概念和程序，进行简单的推理和计算，为巩固理解课堂教学知识而设置，而水平4的题目主要考查学生的探究能力，这类题型在练习题与习题中却很少涉及.

复习题要求学生对知识、技能进行分析、综合、复习与运用，创造性地解决相关综合性强的题目，灵活性更高，综合性更强，供每章复习时使用.人教版中的复习题包括复习巩固、综合运用和拓广探索；北师大版中的复习题包括知识技能、数学理解和联系拓广.两版教材中复习题的数学认知水平层次统计结果如表6所示.

表6：两版本教材中“统计与概率”内容复习题数学认知水平统计表

从表6可以看出，两版教材中的复习题包含水平1至水平4各认知水平层次的题目，水平层次差异不大.水平1和水平2的题目占复习题总数的60%左右，水平3和水平4的题目占复习题总数的40%左右.充分说明了两版教材的复习题既有以单一概念和简单数学技能为背景，供课内“巩固课堂所学知识技能”使用的题目，也有以综合运用与探究实践为背景，供课外“培养学生能力和发展智力”所用的题目.其中，北师大版中有少量带※号的题目，此类题目在难度上略有提高，仅供学有余力的学生使用.

为分析习题的总体认知水平，本研究统计两版教材中“统计与概率”共有内容的所有习题中各认知水平题目的数量及其所占比例，统计结果如表7所示.

表7：两版本教材中“统计与概率”内容习题总体数学认知水平统计表

从表7可以看出，在习题认知水平上，两版教材的习题数量总体差异不大.整体来看，较低认知水平（水平1与水平2）习题、较高认知水平（水平3）习题和高认知水平（水平4）习题的比重大约控制在7∶2∶1，充分显示出我国教材既重视基础性、低认知水平，也重视综合性强、高认知水平.反映了我国教材中习题选择和编排的层次性，这点既满足新课程改革的教学要求，也非常符合我国的水平结构化考试要求.

3.习题综合难度的比较

（1）习题综合难度的刻画.

本研究采用文3中对习题综合难度的刻画，把数学习题综合难度分为以下5个层次，如表8所示.

表8：数学题综合难度因素的水平划分表

从上述五个难度因素，即“探究”“背景”“运算”“推理”“知识含量”上入手分析习题的综合难度，得到习题的综合难度的加权平均计算公式：

按照五个难度要素依次对两个版本的教材中数学习题进行归类与分析，然后利用综合难度模型进行整体分析，对“统计与概率”内容习题的数学综合难度的层次作如下界定.

下面先举例说明如何应用“数学题综合难度模型”对“统计与概率”习题进行划分.

例请你通过查阅资料的形式，回答下列问题：地球上淡水资源占总水量的百分比是多少？我国淡水资源的总量约为多少立方米？人均为多少立方米？（北师大版七年级上册第159页习题6.1第一题的第一小问）

分析：此题需要查阅资料，求百分比和平均数，归为“理解”水平的习题；涉及背景是地球上淡水资源、我国淡水资源，属于“科学情景”的习题；需要求总量、百分比还有平均数，所以归为“数值计算”；此题要求先查阅资料找出地球上的淡水资源量、我国的淡水资源量和总水量，然后计算百分比和平均数，所以归为“简单推理”型习题；此题涉及三问，所以归为“三个及三个以上知识点”的习题.

综合归类：理解；科学情景；数值计算；简单推理；三个及三个以上知识点.

（2）习题综合难度的比较分析.

采用以上标准对两版教材中“统计与概率”内容中407道习题进行分类、统计与研究，得到以下结论.

①探究水平的比较.

统计表明，人教版教材和北师大版教材中“统计与概率”内容题目在探究水平上，属于“识记”水平的习题所占比例分别为0.57%和0.00%；属于“理解”水平的习题所占比例分别为85.64%和83.69%；在“探究”水平上习题所占比例分别为13.79%和16.31%.（见图1）

图1：“统计与概率”内容的习题在探究水平上的比较

从上图可得出，两个版本的初中数学教材中“统计与概率”内容的习题在探究水平上各部分所占的比例差别不是太大，都以“理解”为主（所占比例达到了80%以上），此部分人教版教材只比北师大版教材高了1.95个百分点.人教版教材中属于“识记”水平的习题所占的比例比北师大版教材中相应部分的习题所占的比例高0.57个百分点，而人教版教材中属于“探究”水平的习题所占的比例却比北师大版相应部分的习题所占的比例低了2.52个百分点.

通过分析可以得出，两个版本的初中数学教材中“统计与概率”内容部分的习题在探究方面比较侧重的是“理解”，探究水平明显较低.两个版本教材中属于“探究”水平的题目在数量较少的基础上，主要出现在小节习题的最后或单元复习题的最后，而极少出现在章节的“练习题”“课堂练习”等部分的习题中，这是从具体题目上看得出来的结果.

②背景水平的比较.

统计表明，人教版教材和北师大版教材中“统计与概率”内容的题目在背景水平上，属于“无实际背景”的习题所占比例分别为4.02%和1.72%；与“个人生活”有关的习题所占比例分别为45.98%和67.38%；属于“公共常识”的习题所占比例分别为43.10%和26.18%；属于“科学情景”的习题所占比例分别为6.90%和4.72%.（见图2）

图2：“统计与概率”内容的习题在背景水平上的比较

从上图可得出，两个版本的初中数学教材中“统计与概率”内容的习题在背景水平上各部分所占的比例差别略大，人教版教材中属于“无实际背景”的习题所占的比例比北师大版教材中相应部分的习题所占的比例高2.30个百分点；属于“公共常识”的习题所占的比例比北师大版教材中相应部分的习题所占的比例高16.92个百分点；属于“科学情境”的习题所占的比例比北师大版教材中相应部分的习题所占的比例高2.18个百分点；而属于“个人生活”水平的习题所占的比例却比北师大版相应部分的习题所占的比例低了21.40个百分点.

综合地看，两个版本的初中数学教材中，“统计与概率”内容的习题在背景素材的选用上非常合理，属于“个人生活”和“公共常识”的习题占据了90%左右，这充分说明了两个版本教材中“统计与概率”部分的习题更多地体现了新课程改革的要求，贴近学生的生活实际要求.

③运算的比较.

统计表明，人教版教材和北师大版教材中“统计与概率”内容的题目在运算水平上，不含运算的习题所占比例分别为18.39%和14.16%；含有“数值运算”的习题所占比例分别为62.07%和62.66%；包含“简单符号运算”的习题所占比例分别为19.54%和23.18%；没有包含“复杂符号运算”的习题.（见图3）

图3：“统计与概率”内容的习题在运算水平上的比较

从上图可得出，两个版本的初中数学教材中“统计与概率”内容的习题在运算水平上各部分所占的比例差别不大，人教版教材中不含运算的习题所占的比例比北师大版教材中相应部分的习题所占的比例高4.23个百分点；而含有“数值运算”和“简单符号运算”的习题所占的比例却比北师大版相应部分的习题所占的比例分别低了0.59和3.64个百分点.

总体来看，两个版本教材中“统计与概率”内容对习题运算水平要求较高，尤其是数值计算水平的题目所占的比例都超过了60%.

④推理的比较.

统计表明，人教版教材和北师大版教材中“统计与概率”内容的题目在推理水平上，不含推理的习题所占比例分别为50.57%和42.49%；含有“简单推理”的习题所占比例分别为48.86%和52.36%；属于“复杂推理”的习题所占比例分别为0.57%和5.15%.（见图4）

图4：“统计与概率”内容的习题在推理水平上的比较

从上图可得出，两个版本的初中数学教材中“统计与概率”内容的习题在推理水平上基本趋于一致，人教版教材中不含推理的习题所占的比例比北师大版教材中相应部分的习题所占的比例高8.08个百分点；而含有“简单推理”和“复杂推理”的习题所占的比例却比北师大版相应部分的习题所占的比例分别低了3.5和4.58个百分点.

总体来看，两个版本教材中“统计与概率”内容，“无推理”和“简单推理”习题几乎占了全部，而仅有少量“复杂推理”的习题也是在复习题中的“拓广探索”和“联系拓广”栏目中出现，供学有余力的学生使用，充分体现了教材注重基础性练习.

⑤知识含量的比较.

统计表明，人教版教材和北师大版教材中“统计与概率”内容的题目在知识含量水平上，含有“单个知识点”的习题所占比例分别为64.37%和42.92%；含有“两个知识点”的习题所占比例分别为16.09%和29.18%；属于“三个及三个以上的知识点”的习题所占比例分别为19.54%和27.90%.（见图5）

从上图可得出，两个版本的初中数学教材中“统计与概率”内容的习题在知识含量水平上差别较大，人教版教材中含有“单个知识点”的习题所占的比例比北师大版教材中相应部分的习题所占的比例高21.45个百分点；而含有“两个知识点”和“三个及三个以上的知识点”的习题所占的比例却比北师大版相应部分的习题所占的比例分别低了13.09和8.36个百分点.

从图中可以看出，两套教材中“统计与概率”内容的习题以“单个知识点”和“两个知识点”的问题为主，“三个及三个以上知识点”的题目略少.这表明两个版本的数学教材中“统计与概率”内容的习题更注重数学知识本身的关联.

前面根据五个难度因素对“人教版”和“北师大版”两版本初中数学教材中的“统计与概率”内容的习题进行了比较，但这还不能从整体上看出两套教材中习题的综合难度水平.为了解决这一问题，对两版教材中属于各个难度因素的不同水平的题目数量进行了统计，并利用公式计算各因素的加权平均值，得出以下结果，如表9所示.

表9：两版教材中习题难度水平的比较研究结果

由此便得到了反映两版教材中数学期望课程综合难度的五边形模型（见下面的雷达图）：

图6：“统计与概率”内容习题的比较研究雷达图

由此得出，北师大版在“探究”“运算”“推理”“知识含量”四个因素上略占优势，而人教版仅在“背景”因素上略高于北师大版.从整体态势上看，两版教材的习题期望课程在五个因素上相对比较平衡.

整体上来说，两个版本的初中数学教材中“统计与概率”部分的习题在五个因素上比较平衡，较为明显地侧重“探究”“背景”“运算”三个因素，特别是“探究”和“背景”两个因素.这与选材有关，因为比较的是两个版本中“统计与概率”内容的习题，会涉及很多生活、社会、科学背景.这充分响应了国家数学新课程改革提出的探究能力和数学实际应用方面的要求，新教材的编写在一定程度上弥补了过去在“探究”与“背景”两个因素上的不足.

四、研究结论与建议

在习题数量上，北师大版比人教版教材多59个题目，人教版比北师大版更注重基础性习题，而北师大版更加注重综合性较强的习题；在认知水平上，较低认知水平习题、较高认知水平习题和高认知水平习题的比重大约控制在7∶2∶1，说明我国教材既重视基础性习题，也重视综合性习题；在习题难度上，两版教材侧重于“探究”、“背景”和“运算”三个因素，与现实生活、科学背景等相融合，突出了“统计与概率”内容的知识特点.

注重课后练习、精选习题、有效训练是学好数学的有效方案.作为教师，要对教材中的习题加以灵活运用，针对具体的知识内容，设置能够促进学生思维发展并使学生产生学习兴趣的问题情境.选择合理的教学方式，能够让学生掌握基础知识的同时能获得思维能力.对习题进行有效开发，在保证习题质量的基础上，确保习题的数量，减轻学生的负担.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.吕世虎，孙学敏.中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究［J］.数学教育学报，2010，19（6）.

3.鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较［J］.全球教育展，2002，31（9）.Z