与学生一起“玩”数学——“数与形”教学实录及设计思路

张新春



与学生一起“玩”数学
——“数与形”教学实录及设计思路

张新春

一、课前谈话

师：同学们好，老师姓张，大家可以叫我张老师。第一次和大家一起学习数学，给大家带来了一个小礼物。大家请看：这是一张老照片，照片中有一个老爷爷正在写字，一共写了三个半字，你能看出老爷爷写的是什么字吗？

生：数学好玩。

师：非常好！数、学、好这三个字是看到的，玩字呢？我可没看到玩字。

生：想出来的！

师：非常聪明，见识也广。看得见的能看清楚，看不见的能想到，这很了不起。待会学习过程中，我们也要发挥这种精神，仔细观察，把看得见的看清楚，认真思考，发挥想象，把背后的东西想出来。

师：对了，认识照片中这位老爷爷吗？（生：不认识）这位老爷爷叫陈省身，是一位著名的数学家。“数学好玩”这四个字就是陈省身爷爷送给像我们这么大的小朋友的。数学好玩，你相信吗？

生：相信。

师：你们玩过数学吗？今天我们一起来玩一玩怎么样？那好！准备好了吗？开始上课吧。

二、范例启示

师：这是一个正方形网格（如图1），老师的问题是：这里面一共有多少个单位小正方形？

图1

生：25个。

师:很好，怎么计算呢？

生：5×5。

师：嗯，不错。如果我把这个网格去掉，只看5×5这个算式，你们能想象出原来的网格吗？（课件中网格消失）

生：能！

师：挺好。（再次出示网格）是这个样子吗？一个图形能让我们想起一个算式，而一个算式又能让我们想起一个图形。看起来，数与图形之间存在着密切的关系。这节课，我们就研究这种关系。（板书课题：数与形）

师：有个问题，这个网格中单位小正方形的个数，除了用5×5计算外，还有没有别的算法？也许你会觉得这个问题很奇怪：除了用5×5计算，还能有什么好办法呢？别忘了陈省身爷爷说的“数学好玩”，有时候我们就是要这样于无问题处提出问题。也许你还不太习惯，要不先看看人家是怎么做的？先来看一个二年级同学做的（如图2）。很显然，这里的单位正方形的个数还是5×5。这个二年级同学把这些正方形涂成了不同的颜色，他还打算怎么算呢？

图2

生1：5+5+5+5+5。

师：其他同学觉得呢？你们真是他的知音。他正是这样想的。现在的问题是，同样是这个网格里的单位正方形个数，一方面是5×5，另一方面是5+5+5+5 +5，若综合这两方面考虑，这两个算式之间可以用什么符号连接？

生：等于号。（师根据讨论进程出示图3）

图3

师：再来看一个六年级同学的做法。（出示图4）当然，单位正方形的个数还是5×5。你们能看懂这个六年级同学打算怎样算吗？

图4

生2：1+2+3+4+5+4+3+2+1。

师：看来你很懂这位同学，也很懂数学。那综合这两方面，你们能不能得到一个等式呢？

生3：1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5。（师根据讨论进程出示图5）

图5

师：有没有觉得这个图形和这个算式都很漂亮？数学上的美往往体现出一种和谐与对称。现在我把这个图形去掉，只留下这个算式，你能根据这个算式想象出图形吗？如果我把算式去掉，只留下图形，你能从这个图形中看出这个算式吗？（依次出示图形，如图6所示）

图6

三、动手实践

师：同样是计算这个5×5的正方形网格中单位正方形的个数，如果我们能发挥自己的想象，想出其他的算法来，不同样也可以发现一些漂亮的等式吗？大家试试看。

学生独立研究，教师展示学生作品，并选出两幅（图7、图8）讨论。（这幅图说明一个什么样的等式？可以推广吗？）

师：先看图7，谁能看懂？

图7

生4：1+2+3+4+5+4+3+2+1。

师：很好，不过还只是一方面。

生5：1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5。

师：好很，我专门准备了这幅图（课件出示），不过在我这幅图中，你看到的还只是一部分，大幕还可以拉开的。想象一下，如果大幕拉开一点点，会出现一个什么图，又会是一个什么等式呢？

图8

生6：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6。

师：是的。大幕可以拉开，也可以关上。还会有哪些等式？

（学生回答出一系列等式，类似地讨论图8，略）

四、解决问题

师：数与形的结合，不仅可以形象地解释规律，还可以直观地解决问题呢。请看：。这是一个分数连加的问题，按常规的做法，先通分，然后计算。如果考虑到数与形的结合，会不会有什么好办法呢？

生7：画图！

师：很好的想法，要画图表示这些分数的和，先要确定什么呢？

生8：单位“1”。

师：什么可以作单位“1”呢？正方形可以，线段也可以。请你画一画，看能不能直接写出这个加法算式的结果。

学生独立思考后汇报——

生9：这是我的图形（如图9），从图中可以看出：。

图9

师：如何可以看出？

生：……

生10：表示涂色部分的面积。

师：那等式的右边呢？

生11：表示1减去空白部分的面积，也就是涂色部分的面积。

师：很好，这个等式表示我们把涂色部分的面积算了两次。左边这一次比较难，是出题的人让我们算的，右边的一次比较容易，是我们通过画图想到的。我们用简单的算法求出了复杂问题的结果。还有不同的算法和图没有？

生12：我画的是线段图。（图略）

师：能看懂吗？

生：能！

师：这一次是把什么算了两次？

生：线段。

五、欣赏拓展

师：非常好！今天，我们用数与形的结合，干净利落地解决了与数有关的问题。这个世界上有一些人致力于用图形解决数的问题。他们的解题过程只需一个图而不必有一个字，被称为“无字证明”。这里给大家看几个图（出示图10），你可能看不懂，不要紧的，说不定哪天你又会见到它们，那时候你会觉得特别亲切。

图10

师：到这里，老师想给大家介绍两位数学家，一位叫华罗庚，他有一段很有名的话：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。还有一位数学家，大家可能不太熟悉，叫富比尼，是意大利数学家，关于他，最著名的是以他的名字命名的“富比尼定理”，也就是我们今天说的“算两次”。

师：好了，还记得陈省身爷爷说的“数学好玩”吗？想不想利用华罗庚先生的“数形结合”与富比尼的“算两次”再来玩一回过瘾的？

生：好！

师：（出示图11）这里有3个大正方形，你们认为哪个大，哪个小？怎么看出来的？

图11

生：一样大，边长都是a+b。

师：非常好。我们来算它们的面积。第一个，显然是（a+b）2，接下来算第二个，这个正方形被分成了4块，我们就一块一块地算吧。谁知道计算？

生：a2+b2+ab+ab。

师：很好，既然算的是同样大小的正方形的面积，它们就应该相等。那么我们就可以得到一个等式：（a+b）2=a2+b2+2ab。左边是关于正方形面积的一种算法，右边是另一种算法，算两次！看出来了吗？再来看第三个正方形，它被分成了5块，算一算，结果应该是什么？

生：c2+2ab。

师：既然第二个正方形与第三个正方形也是一样大的，那么我们可以得到什么等式？

生13：a2+b2+2ab=c2+2ab。

生14：就是a2+b2=c2。

师：这个等式就更厉害了。有人知道吗？

生：勾股定理。

师：了不起。这个等式，两三年后，你又会在数学课里看到它。到那时，老师特别希望你能记得，在六年级时就有一个老师跟你说过这些，而且特别简单！能记得吗？

生：记得！

师：好！今天的课就上到这！