整体思想在解方程组中的妙用

□邱清木

整体思想在解方程组中的妙用

□邱清木

整体思想和方程思想是数学中两种重要的思想方法，通常将两者结合起来解决一些特殊问题，能收到事半功倍的效果.本文通过一些事例来展示它们的妙用.

一、在代入法解方程组中的妙用

例2购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需10元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需13元.问购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支，共需多少元？

解析：设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为a元、b元、c元，则有需求11a+5b+2c的值.我们可以把11a+5b+2c用含7a+3b+c，10a+4b+c的式子来表示，即11a+5b+2c=3（7a+3b+c）-（10a+4b+c）=3×10-13=17.当然此题也可用含a的式子分别表示b、c的解，再代入求值.

二、在加减法解方程组中的妙用

例4有甲、乙、丙3种商品，某人若购买甲3件、乙7件，丙1件共需24元，若购买甲4件，乙10件，丙1件共需33元，则此人购买甲、乙、丙各1件共需多少元？

解析：可设购买甲、乙、丙每件商品分别需a元、b元、c元，则有.将方程组变形为由①×3-②×2得a+b+c=6.当然此题也可用含b的式子分别表示a、c的解，再代入a+b+c中，结果仍为6.

三、在换元法解方程组中的妙用

解析：这是一道分式方程组，且未知数有2个，因此很难解.观察可设.故原方程组可变形为解得，.因此有利用“倒一倒”可变形为，解得

四、在解方程组中的其他妙用

例7某家商店的账目记录显示：某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元.另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元.这个记录是否有误？如果有误，请说明理由.

由①×2得26x+14y=264，显然与②式矛盾.故这个记录有误.

方程组的应用很广泛，而解方程组是基础.对一些特殊的、复杂的方程组（或求值），我们通过观察、分析、类比，运用整体思想可以化繁为简，收到奇妙的效果.