设而不求巧解题

□朱元生

设而不求巧解题

□朱元生

有一些需要列方程（组）解决的应用题若按常规方法设直接未知数，则不易理清数量之间的关系，难以列出方程.那该如何解决呢？我们可以根据具体问题，设间接未知数，设而不求，可使问题化难为易.

例1甲、乙、丙3位同学共解100道数学题，每人都解出了其中的60道，将其中只有1人能解出的题叫难题，2人能解出的题叫中等题，3人都能解出的题叫容易题，试求难题比容易题多几道？

分析：本题若直接设“难题比容易题多x道”，难以理顺数量间的关系，列方程求解比较困难，而设间接未知数即设3种题的道数，可使问题迎刃而解.

解：设有难题x道，中等题y道，容易题z道.

根据题意，

题中只要求求出难题比容易题多几道，所以我们无需将3个未知数均解出来，只要求出x-z的值即可.

由①×2-②，

得x-z=200-180=20.

答：难题比容易题多20道.

例2有甲、乙、丙3种商品，若购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；若购甲1件、乙2件、丙3件共需285元，那么购甲、乙、丙3种商品各一件，共需多少元？

分析：由于已知购3种商品的数量和所需钱数，若直接设“购甲、乙、丙3种商品各一件共需x元”，则难以求出甲、乙、丙3种商品的单价，而设间接未知数即设3种商品的单价，可使问题顺利获解.

解：设购甲、乙、丙3种商品各一件时，分别需x元、y元、z元，根据题意，得

题中只要求求出3种商品各一件共需多少元钱，所以我们无需将3个未知数均解出来，只要求出x+ y+z的值即可.

①+②，得4（x+y+z）=600，

所以x+y+z=150.

答：购甲、乙、丙3种商品各一件共需150元钱.

例3小明在一城市的环城公路上行走，他发现每隔4分钟就有一辆公共汽车迎面相遇，每隔12分钟就有一辆公共汽车从背后越过，假设小明与汽车均为匀速运动，试问：汽车站每隔几分钟发一趟车？

分析：如果只设“汽车站每隔x分钟发一趟车”，那么既不知道人和车的速度，也不知道相应的距离，难以列出方程.由于小明与迎面来车相遇可视为行程问题中的相遇问题，而背后有车越过就是追及问题，故设小明和车的速度以及两辆车之间的距离为未知数可使问题巧妙获解.

解：设公共汽车的速度为x米/分，小明的步行速度为y米/分，同一车站发出的相邻两辆汽车相隔m米.

根据题意，列方程组

题中只要求求出汽车站每隔几分钟发一趟车，所以我们无需将三个未知数均解出来，只要求出的值即可.

由①+②×3得24x=4m，

答：汽车站每隔6分钟发一趟车.

现实生活中的问题是千变万化的，学习了方程（组）的知识，就如同掌握了一件法宝，可以解决很多以前我们无法解决的问题.同学们，今后我们可以掌握和收纳的法宝还有很多，只要你努力学习，你的法宝就会越来越强大.