居高才能临下，深入方可浅出

范世伟

【摘 要】 数学教师专业知识结构包括“本体性知识（学科知识）”、“条件性知识（教育理论）”和“实践性知识（教学经验）”。数学教师的本体性知识，既包括显性的可言传数学知识，也包括隐性的默会知识即数学能力、素养。对于数学教学，从某种意义上说，教学的中心任务就是对学科作出教育学的解释，并把学科知识“教育学化、心理学化”，以便学生接受与理解。两者的有效结合方能体现数学教学之大气，数学教学之灵气。让“学校的数学”找回“真正的数学”。

【关键词】 本体性知识；数学教学；大气；灵气；底气

【中图分类号】G64.26 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）15-00-02

20世纪90年代中期，林崇德、申继亮、辛涛的研究称：“我们的研究表明，教师的本体性知识与学生成绩之间几乎不存在统计上的关系。我们认为，教师需要知道一部分学科知识，以达到某种水平，但并非本体性知识越多越好。”然而，观察我们的数学课堂，教师拥有较好的本体性知识知识，对于数学教学是必要的。教学的中心任务就是对学科作出教育学的解释，并把学科知识“心理学化”，以便学生接受与理解。对教学的关注，从学科知识向学科知识与学生认知整合的转移，我们已有较大的进步。教师的本体性知识应当达到何种水平，才能保证在对学科知识作出教育学的解释和心理学的加工时不至于出现知识性、科学性的偏差。现阶段小学数学教师拥有的本体性知识水平，是否适应目前正在推行的课程改革的要求，也是课改推进的所面临课题。课堂中出现的学科知识“童化”，教材梳理“简单化”，学科知识“教学化”等现象正是学科本体性知识不足的表现。本文就从本体性知识与教学之间的关系作简单阐述，以此引发我们对本体性知识的思考，对当前数学教学的思考。

一、本体性知识彰显数学教学之大气

1、教学有点

失身么决定了教师理解教材的能力？是什么影响了教师面对教材“融会贯通”的能力？是学科知识和教育学、心理学等因素的影响，而本体性知识显得尤为重要。数学教材不能完全解释知识的来龙去脉。当前，教师对教材所呈现的图、文字很难看出知识的本质，知识抽象的过程、知识的数学史。这时需要教师挖一挖知识点，挖一挖数学思想。甚至有些数学概念、数学实质用图式、情境的方式呈现，形式为内容服务，非数学、非公认的规定影响着本体性知识的表达，很容易简单的把知识用“去数学化”的方式错误或偏离性理解，以致现在出现数学课堂数学味不浓的局面。

如：本人在执教“周长的认识”这一课时思考：周长的定义该从哪几个点出发？周长的概念历史演变过程是如何？从哪几个角度认识周长？学习周长在几何领域的作用？查阅大量的资料，了解周长概念的历史及周长在几何中的地位、关系，然后根据自己的了解设计教学。维基百科里记录，古代把周长叫“周界”，“界”字就把“周”的概念描述的很数学化，“界”就是周边线。再者可从“等周定理”，引出周长的“长”。这样把知识分解了，把知识深入了，把知识系统了才能更好的设计和组织教学，本体性知识的“点”明了有力，教学的点也随之清晰可见，教学设计及课堂实施才彰显大气。

2、教学有线

教学强调课堂调控，强调动态生成，强调大气真实。教师、学生是可变的资源，质疑问难、节外生枝随时可见。面对复杂、多变的课堂生成，教师如能拥有丰富的本体性知识，抓住教学的主线，那么就能应变自如，并及时作出课堂的调整，以促进新的更有效的资源生成。

数学教师经常犯有“知识性错误”。听课、评课活动中，发现一些“知识性错误”确实是违背了数学规律或逻辑规则；而有些属于扣字眼、钻牛角尖的问题，属于对教师个人自然教学语言的挑剔，评课教师很少或很难从数学学科本体性知识的角度分析问题。当教师不具备丰富的本体性知识，就很难抓住知识主线，教学主线，在评课时也不能为自己的教学辩护。“三角形的高等于它的面积乘2除以底”这样得教学语言或教学总结，是否合理科学，招到辩论挑刺，迫使教师谨小慎微，听任生动活泼的数学思维被字斟句酌的语言所压抑。

有研究表明：当教师对数学知识的理解加深了，其在教学任务的设计与实施中，更能将问题的类型、难度与儿童的解决方法联系起来，教师就有更多的机会了解学生在解决问题时的思维策略，因而在教学中能够为学生创造更多的数学交流的机会，以及进行猜想、解释、推理与证明自己数学想法的机会。

二、本体性知识彰显数学教学之灵气

教师的本体性知识是教学活动的基础。在教学活动中，一切努力又都是围绕着本体性知识的有效传授，教学的最终绩效是用学生掌握的本体性知识的质量来衡量。不能否认，在一定限度内，教学的有效性是与教师所掌握的本体性知识呈递增关系。

如：分数在小学数学知识结构中有着重要的地位，对分数本体性知识了解准确与否直接影响着教学的最终绩效。很多教材对分数的定义是“单位1平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。”这样的描述听起来比较自然，也符合“几分之几”的称呼。小学数学教材对分数教学一般分为三个阶段：第一阶段，三年级直观感性认识阶段，充分借助直观手段，只作具体描述，不概括出描述性的定义。第二阶段，若干个同类物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几这样的分数表示这个整体里的一份或几份。第三阶段，到五年级整体认识分数，深入理解分数的份数定义，再通过两次分饼的数学活动认识分数与除法的关系，实际理解分数的商的定义。到了六年级体会比在生活中的应用，实际理解分数的比的定义，扩大分数的应用范围。这就使学生学习分数的过程循序渐进，有效而扎实。

了解了分数的本体性知识后，我们不难发现分数的“商”定义是分数教学归宿点，那么势必在分数各阶段的教学中有所渗透分数的“商”定义。教学分数的第一次出现时，“平均分”成为了教学的关键词。“平均分”才出现分数，那“不平均分”该如何体现？不平均分即是为了加强平均分的理解，有助于理解分数“商”的定义。（下图）

在深入研究分数的本体性知识，我们又可发现，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，也就是，作为在运算中出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个作用是以比例的形式出现的。而后者是小学分数教学的要点。而真分数又是小学最重要的分数，它代表一个事物的一部分，其本质在于它的无量纲性。比如，盘子大小的1/2代表的实际意义，与足球场大小的1/2代表的实际意义是不尽相同的。正真分数是密密麻麻地分布在（0，1）区间上的。如：在（0，1）区间内画出所有的以10为分母的真分数，加强分数和数轴之间的联系，是改进分数教学的一个方面。

很多的数学内容虽然看似简单，但同样蕴含了丰富的数学方法、数学思想和数学文化，只有教师具备丰厚的数学知识、扎实的数学技能和成熟的数学思想，才能以一种宏观的、联系的、发展的观念去看待数学，而不拘泥于局部的、零散的、静态的认识，才能从更高更广的角度理解，设计教学才有高度、有深度、有广度，教学才彰显灵气。

数学关心的是数量关系和空间形式，用的是抽象的眼光，有些我们看去不同的东西，数学本体性知识却会是相同。我们觉得一样的东西，或者差不多的东西，数学本体性知识却会是不同。数学教学及研究中有些思想、方法是重要的。数学本体性知识中思想、归纳与演绎、相同与不同、精确与误差、变化与不变、集合与函数等思想，在教学准备与设计，教学组织与实施，作业设计与辅导，命题与学业检测等教学各环节起着重要的作用。如：线段为什么需要两个端点？两个端点去掉，线段的长度会不会变？在数学里，带有两个端点的线段叫“闭线段”，不带两个端点的线段叫“开线段”。就这一开一闭，在高等数学里，不少定理适合就不同，并能和很多的数学知识产生联系。小学数学教师需要了解的这么多、这么深吗？正如一教研员说：“教师应比学生知道的多一点，早一点，深一点。”也并非要让学生了解这么透，教师教的这么深，关键是只有教师具备这样丰富的本体性知识，才能在教学各环节得心应手，才能从容的驾御课堂，才能使课堂充满灵气。

三、本体性知识彰显数学教学之底气

当前培训机构、学校、教师把注意力完全集中在教育理念的学习与落实上，教师条件性知识和实践性知识得到很大的重视，教师的本体性知识的不足，不能不引起我们的关注。

省小学数学教研员斯苗儿曾经说过：一些课上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教师本身的数学功底。张景中教授的《教育数学》一书中，对教育数学和数学教育作了比较。数学教育要靠数学科学提供材料，对材料进行教学法的加工使之形成教材，是数学教育的任务。但是，数学教育不承担数学科学的研究创造。为了教育的需要，对数学研究成果进行深入浅出的整理，抓住本体性知识设计、组织教学，合理有效的开展数学教学。

小学数学中的一些知识，虽然不要求学生了解得非常清楚，也不作为考试要求，但作为专业知识，教师该清楚的还要清楚。“最小的一位数是几？”“0为什么是自然数？”“x=7是方程吗？”等等，简单地用“这样的问题没意义”“这是规定”的回答不是最好的办法，显然露出教师数学本体性知识的不足，对数学教学缺少底气。

朱乐平：现在许多老师的课，从知识的角度总可以找出知识性错误。方法已经很好了，但数学素养不容乐观。我们一起看以下一例子：

上海市数学新教材三年级第一学期《整理与提高》单元“乘乘除除”的内容。针对一位数乘多位数的笔算，教师出示了这样一个数学问题：玩具店有玩具汽车8箱，每箱为29辆，共有玩具汽车多少辆？对于学生提出的算式：29×8，教师没有急于让学生进行计算，而是引导学生先进行估算：29×8大约等于多少？在学生独立思考的基础上全班开展了交流。学生的估算方法有：

方法一：29×8≈240，把29看成30。

方法二：29×8≈160，把29看成20。

方法三：29×8≈290，把8看成10。

方法四：29×8≈300，把29看成30，8看成10。

对于以上的估算方法教师提出问题：（1）这几种方法有什么相同的地方？（2）同样是把因数看成整十数，但估出来的结果差距很大，这是什么原因呢？通过交流学生明确：应该把因数看成和它最接近的整十数再估计比较合理（去掉29×8≈160）。随后教师再次发问：剩下的三个结果，哪个与准确值29×8=232最接近？这是什么原因造成的？学生通过思考再次进行交流：

生1：方法一是多估了1个8。

生2：方法三是多估了2个29。

生3：方法四是多估了2个29和1个8。

对于生3所认为的方法四是多估了2个29和1个8，没有学生对此提出异议，但教师及时指出这样的解释是错误的，并通过引导学生进行验算给予否定，即300-2×29—1×8=234，而不是232。但还是有学生认为按照方法一和方法三的解释，对方法四的解释好像并无错误，想让教师进一步给予解释和分析。面对学生的强烈疑惑与渴求目光，教师只是再次强调生3这样的想法是错误的，并解释道你们进了中学以后会理解的，现在给你们讲这个原因，你们是无法理解和接受的。

估算意识和估算能力的培养，是数学课程标准对计算教学的一个新要求。教学中引导学生“知其所以然”的教学行为，提升了课堂教学的思维层次和探究深度，估算教学扎实有效，这是值得肯定的。该老师也意识到对于生3观点的回应以及理答在教学处理上欠妥。这就表现出教师本体性知识的欠缺，造成教学留下

“似乎”的遗憾。如何解决这一学生的疑惑呢？也就是要让本体性知识教学的合理有效。可以用数形结合的思想方法加以解决（图2）：白色部分的面积为29×8，黄色部分（B1）的面积为2×29，灰色部分（B2）的面积为1×8，蓝色部分（B3）的面积为1×2，所以29×8=30×10-2×29-1×8-1×2。可见，29×8≈300，应该是多估了2个29、1个8以及1个2。这样，学生对于自己的错误有了比较清醒的认识。

数学本体性知识章显数学高度的抽象性；逻辑的严谨性；广泛的应用性。教师只有具备丰富的本体性知识，才能使自己的数学教学大气、灵气，有底气。

参考文献：

1、《数学家的眼光》张景中，中国少年儿童出版社。

2、《数学与哲学》张景中，大连理工大学出版社。

3、《中小学数学》单方军，2009年06期。

4、《教师素质的构成及其培养途径》林崇德，申继亮，辛涛教育学刊。

5、“数学教师的素养”对话录，史宁中、孔凡哲《人民教育》08年21期