一类广告经济系统的建模与演化分析

徐玉华，卢亚娟，谢承蓉

(1. 郧阳师范高等专科学校 数学与财经系, 湖北 十堰 442000； 2. 南京审计大学 a.金融学院，b.理学院,c.江苏省金融工程重点实验室，江苏 南京 211815)

一类广告经济系统的建模与演化分析

徐玉华1, 2a,2c，卢亚娟2a，谢承蓉2b

(1. 郧阳师范高等专科学校 数学与财经系, 湖北 十堰 442000； 2. 南京审计大学 a.金融学院，b.理学院,c.江苏省金融工程重点实验室，江苏 南京 211815)

摘要：基于需求量、广告支出、成本和利润建立了一个新的广告经济模型，讨论了模型均衡解的稳定性，同时分析了广告经济系统受到外部扰动时的分岔演化行为。研究结果表明，外界扰动产生的系统混沌效应会使管理中各个环节的不确定性风险值增加，从而降低了各个环节的管理效率。因此，如何弱化外界扰动对经济系统的影响是经济、金融风险管理研究和应用中的重要工作。

关键词：广告经济模型；混沌系统；分岔

一、引言

广告竞争是市场竞争的重要形式，也是目前营销活动中经常选用的竞争策略，对广告经济模型的研究引起了越来越多科学工作者的关注。张德贤等运用博弈论将著名的Vidale-Wolfe广告模型推广为微分对策广告模型，旨在量化阐明广告投入的市场运作“法则”[1]。李煜等讨论了一类广告竞争模型的延迟反馈混沌控制方法[2]。王磊等在单一制造商和单一零售商基础上,把研究扩展到单一制造商和多个竞争性的零售商的情况[3]。徐峰等将延迟决策引入到双寡头有限理性广告博弈模型中, 研究了其对系统的影响，并对该模型进行了稳定性分析[4]。齐洁等考虑了竞争性和信息性两种广告对企业市场份额不同作用，提出一个在两强竞争情况下的动态广告投入模型[5]。王建征等从广告投入到影响产品销售量应有的时差，对经典的Vidale-Wolfe广告模型进行改进[6]。谢德辉等建立了企业信息传播的脉冲广告模型，运用脉冲微分方程理论对模型进行了分析和仿真[7]。刘福建提出了一个两家企业竞争环境下的广告投入最优控制模型，模型中将信息性广告和竞争性广告分开考虑[8]。聂佳佳利用微分对策理论研究了供应链竞争下的合作广告问题, 构建了一个微分对策模型，在非对称的供应链情形下, 运用汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程求得Stackelberg博弈下均衡的广告投入和广告分担比例[9]。李佼瑞讨论了随机非线性动力系统在经济周期研究中的运用[10]。张建强等讨论了消费者反广告行为下的供应链合作广告模型，解释了现实中有许多企业不愿意进行广告合作的原因[11]。高振斌针对证券投资中存在的不确定性，采用模糊理论中的三角模糊数，解决投资收益率最大与风险损失率最小的双目标模糊优化问题[12]。

上述学者对经济现象中的广告模型作了许多有益探讨，而基于动力学原理来模拟经济现象，以及研究扰动现象对经济复杂系统动力学行为产生影响的文献并不多。不同于以往研究，本文基于需求量、广告支出、成本和利润建立广告动力学模型，分析它的演化行为，同时分析扰动后的经济系统混沌行为，从而为科学决策提供依据。

二、广告经济模型描述

为了建立新广告模型，引入如下记号：x(t)表示在时刻t对一种商品的需求量；y(t)表示在时刻t对该商品的广告支出；z(t)表示在时刻t获得的利润。对模型进行如下假设：

(1)

(2)

(3)

把式(1)～(3)联立，可得如下商品广告微分方程模型：

(4)

式中，bi>0；i=1,2，…,6；aj>0；j=1,2，3，4。

三、广告经济模型演化分析

(一)均衡解的稳定性分析

显然，系统(4)是一个非线性自治系统，令：

系统有两个平衡点：

系统(4)的雅可比矩阵为：

为了定量分析广告经济模型演化行为，取a1=0.85,a2=5,a3=4,a4=1，b1=1, b2=0.2,b3=2,b4=0.5,b5=3,b6=0.5。

尽管E1是不稳定的点，但由于E2是稳定点，使得系统(4)的演化轨迹最终稳定到点E2，而没有产生混沌行为。图1表明系统(4)由初值[0，2，-1] 最终稳定到稳定点E2。

由于需求量的变化反映了利润的变化，图2只给出了需求量和广告支出的演化图。由图2可知，当需求量x(t)接近于0.85时，广告支出接近于0。当需求量x(t)

图1　系统稳定到稳定点E2

图2　需求量和广告支出的演化

(二)扰动下的系统混沌分析

由于许多实际经济、金融复杂系统经常受到白噪声和有色噪声等随机噪声的干扰，因此研究扰动现象对经济、金融复杂系统的动力学影响是一个不可避免的问题。尽管系统可以受到任何随机的外在扰动，但并不是任何扰动都会使系统产生混沌行为，只有扰动项使系统产生不稳定的均衡解时，系统才有可能产生混沌，而混沌一般对经济系统是有害的。下面假设系统(4)受到外在的扰动项为ksigny、ksinz、ksinx时，系统随即表现出混沌行为，这里的扰动项可理解为每一个量的变化率可能受到其它变量的影响，受扰动的系统描述如下：

(5)

当k=6.5，取系统(5)的初始参数值为[0.5, 0.7,1]时，系统表现出混沌现象(如图3)。

图3　混沌系统在x-y-z轴上的相图

1.均衡解的稳定性分析

下面来分析系统(5)均衡解的稳定性情况。

系统有两个平衡点：E3(-0.318 0,-4.177 6,-0.367 6)，E4(-0.318 0,9.177 6,-2.593 5)。

类似前面稳定性分析，均值E3(-0.318 0,-4.177 6,-0.367 6)相应的特征值为：λ1=2.867 3,λ2=-3.433 6+4.390 4i,λ3=-3.433 6-4.390 4i，可知E3是不稳定的点。

均值E4(-0.318 0,9.177 6,-2.593 5)相应特征值为：λ1=4.132 0,λ2=-4.066 0+3.457 3i,λ3=-4.066 0-3.457 3i，可知E4也是不稳定的点。

系统(5)的2个均衡解都是不稳定的，意味着系统内在的不稳定性。不稳定性是系统产生混沌的必要条件，一般对经济系统是有害的。

通常，如果一个系统是有界的，且有1个正李雅普洛夫指数，那么这个系统是混沌的。通过计算得到L1=0.551 1，L2=-0.593 0，L3=-2.686 5，系统(5)有2个大于0的李雅普洛夫指数。另外，扰动后动力系统(5)的边界为：-3.564 5≤x≤4.381 0，-1.696 0≤y≤1.981 2，-2.535 5≤x≤1.045 3，所以系统(5)此时处于混沌状态。

2.系统分岔仿真分析

非线性金融动力模型在演化的过程中往往表现出一种复杂的金融现象，系统由简单的状态，如均衡状态、失稳、分岔，进入混沌状态，特别是分岔出现时，系统平衡点的稳定性发生改变，并在平衡点的小邻域内产生周期解，经济危机周期性发生。

当系统(5)的初始参数值为[1,0.5,0.8]时，通过Matlab7.0软件仿真，可得到经济系统(5)随着扰动参数k∈[5.6,9]变化时的分岔图(如图4)。

图4　扰动后广告经济系统的分岔图

从图4可见经济系统(5)随着扰动参数k的变化系统展现出复杂的动力学行为。随扰动参数k的逐渐增大，经济系统(5)经历了由1周期倍化为2周期，然后4周期，…，倍周期分岔的运动形式。从稳定的1周期轨道通过倍周期分岔走向混沌。在混沌域内有许多不同的周期窗口，这些窗口中，我们可以看到有的发生了倍周期分岔，有的窗口出现了混沌危机，系统从倍周期分岔、失稳，继而呈现混沌态。处于混沌态的经济系统是一种失控状态，会产生非常大的破坏作用。因此，当经济系统处于不稳定的混沌状态时，经济系统的波动会较为剧烈，也就是说随机扰动对经济系统稳定运行产生较大的破坏作用，使管理中各个环节的不确定性风险值增加，降低了各个环节的管理效率，从而需要我们对经济系统作适时调控，减弱外界扰动对经济系统的影响，防止经济系统的长期剧烈波动，使系统朝向有益的方向运行。

四、结语

本文建立了一个新的广告经济模型，研究了这类模型的稳定性和分岔行为的演化。通过分岔图，数值模拟了外部扰动对经济系统演化行为的影响，得出了一些有意义的研究结果，可以为政府调控经济系统提供一些理论依据。

参考文献：

[1]张德贤，戴桂林，王斌. Vidale-Wolfe微分对策广告模型 [J]. 青岛海洋大学学报:自然科学版, 1999,29(3).

[2]李煜,盛昭瀚,姚洪兴. 一类广告竞争模型的延迟反馈混沌控制方法[J]. 预测, 2003,22(1).

[3]王磊，梁木梁，吴德胜. 零售商竞争下的垂直合作广告模型[J]. 中国管理科学，2005,13(2).

[4]徐峰，盛昭瀚，姚洪兴. 延迟决策对一类双寡头广告博弈模型的影响分析[J]. 管理科学学报,2007,10(5).

[5]齐洁，汪定伟. 广告竞争模型的最优控制策略研究[J]. 系统工程理论与实践, 2007,27(1).

[6]王建征，彭云飞. 时滞型Vidale-Wolfe广告模型[J]. 贵州科学,2008,26(1).

[7]谢德辉，郭志华. 基于信息传播的脉冲广告模型[J]. 企业经济,2008, 11(10).

[8]刘福建.基于数学分析的广告模型构建[J]. 吉林省教育学院学报, 2010,26(6).

[9]聂佳佳.供应链竞争下基于微分对策的合作广告模型[J]. 系统管理学报, 2011,20(5).

[10]李佼瑞. 概述随机非线性动力系统在经济周期研究中的运用[J]. 统计与信息论坛, 2012,27(4).

[11]张建强，仲伟俊，梅姝娥，等. 消费者反广告行为下的供应链合作广告模型[J]. 软科学，2013,27(1).

[12]高振斌. 基于可能度的模糊证券投资组合优化模型[J]. 统计与信息论坛,2015,30(5).

(责任编辑：张爱婷)

Modeling and Evolution Analysis of a Kind of Advertising Economic System

XU Yu-hua1,2a,3c, LU Ya-juan2a, XIE Cheng-rong2b

(1. Department of Mathematics and Finance, Yunyang Teachers' College, Shiyan 442000, China;a. School of Finance, b. College of Science, c.Jiangsu Key Laboratory of Financial Engineering, 2.Nanjing Audit University, Jiangsu 211815, China)

Abstract:In this paper, a new model is established based on the demand, advertising, cost and profit, and the stability of equilibrium is also discussed. The research results show that the system by the external disturbance can increase the uncertainty risk value, thus reducing the management efficiency. It is an important work for the management to weaken the influence of external disturbance on the economic system.

Key words:advertising economic model; chaos system; bifurcation

收稿日期：2015-11-18

基金项目：教育部人文社会科学研究青年基金项目《基于随机扰动的经济、金融复杂系统动力学演化机理和风险控制研究》(14YJCZH173)；湖北省教育厅科学技术研究计划重点项目《随机混沌系统的动力学分析与控制》(D20156001)；江苏省金融工程重点实验室开放课题资助(NSK2015-16)

作者简介：徐玉华,男,湖北仙桃人，博士后，教授，研究方向：金融信息系统分析与控制；

中图分类号：F019.3

文献标志码：A

文章编号：1007-3116(2016)02-0084-04

卢亚娟,女,江苏宜兴人，博士，教授，研究方向：金融风险管理；

谢承蓉,女,湖北松滋人，硕士，副教授，研究方向：金融数学。

【统计应用研究】