如何将物理问题转化为数学问题

何梦秋

【摘要】鉴于最近几年的高考试题中，命题者对“应用数学处理物理问题的能力”的考查在逐渐加强，在中学物理教学中，要指导学生如何将物理问题转化为数学问题。

【关键词】转化 方程（组） 数学方法

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0177-02

从最近几年的高考试题不难看出，命题者对“应用数学处理物理问题的能力”的考查在逐渐加强。虽然高考物理所涉及的数学知识不超过中学数学的范围（不涉及高数），但从学生答题来看，因不能将物理问题转化为数学问题而导致的丢分仍然十分严重，甚至因代数运算错误而导致的丢分也很普遍。有鉴于此，我们在中学物理教学中，一方面应加强代数运算的训练，增加运算量，对高考物理中常用的数学知识进行简要复习。如：三角函数、一次函数、二次函数，基本不等式，简单数列（等差、等比数列）等。

另一方面，要指导学生如何将物理问题转化为数学问题。我认为：关键要在转化上下功夫。首先要读懂题目所涉及的物理问题和情景；其次是根据物理情景选择恰当的物理规律建立方程（组）；最后解方程（组），有时还需将方程（组）变形，根据数学知识得到需要的结果。下面举例说明。

案例1：两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a和b的质量之比为，细杆长度是球面半径的倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角是：

A.45° B.30°

C.22.5° D.15°

分析：通过对a、b受力分析知：本题的物理情景是两物体分别受三力而平衡。对a、b由拉密定理得：

式中F为细杆对a、b的弹力.

两式相除得：……③，将答案代入③

式知B答案正确。本题若为计算题，还须解三角方程③，求解如下：

两边平方再由倍角公式得：

案例2：半径为r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如下图所示，珠子所受静电力是其重力的3/4，将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则珠子能获得的最大动能是多少？

分析：设珠子运动到与环心的连线为时珠子的动能最大，由动能定理得：

须求三角函数的极值。

，其中。当

时，y有最大值。

所以①式中动能的最大值为。

这仅是本题的一种基本解法，其它解法略。

案例3：甲同学设计了如图所示的电路 测电源电动势E及电阻R1和R2阻值。实验器材有：待测电源E（不计内阻），待测电阻R1，待测电阻R2，电压表V（量程为1.5V，内阻很大），电阻箱R（0-99.99Ω），单刀单掷开关S1，单刀双掷开关S2，导线若干。

①先测电阻R1的阻值。请将甲同学的操作补充完整：闭合S1，将S2切换到a，调节电阻箱，读出其示数r和对应的电压表示数Ul，保持电阻箱示 数不变，_______，读出电压表的示数U2。 则电阻R1的表达式为R1=_______。

②甲同学已经测得电阻Rl= 4.8Ω，继续测电源电动势E和电阻R2的阻值。该同学的做法是：闭合S1，将S2切换到a，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了如图所示的图线，则电源电动势E=_____V，电阻R2=_____Ω。

分析②：许多同学碰到这样的图像问题往往不知从何下手。其实图像问题本质就是函数问题。本实验是伏—伏法测电源的电动势和内阻，实验原理是全电路欧姆定律，这样也就找到了问题的突破口。由欧姆定律得

，变形得到，此为一次函

数的截距式.（）

截距，解得；

斜率，解得

案例4：如图，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q>0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O/。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为

θ（0<θ<）。为了使小球能够在该圆

周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。

分析：据题意，小球P在球面上做水平面内的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O/。P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力f=qvB

竖直方向受力平衡水平方向的合理提供向心力本题的物理方程就这些了，接下来只能用数学方法求出磁感应强度大小的最小值，考虑到已知条件和所求结果均未涉及支持力N，因此可由①②式消去N，得到关于v的二次方程，再由判别式可求得磁感应强度大小的最小值。

由①②式消去N得

由此得：，磁感应强度大小的最小值为

此时，，由二次方程的求根公式得带电小

球做匀速圆周运动的速率为：

案例5：一倾角为θ=45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m=0.09 kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g=10 m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？（小物块与挡板碰撞的时间极短）

分析：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。由功能关系得

以沿斜面向上为动量的正方向。由动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h，则

式中，v/为小物块再次到达斜面底端时的速度，I/为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。

解得：；式中

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

总冲量为：

代入数据得

本题的物理情景并不复杂，涉及到的物理规律也仅有动能定理和动量定理。难点是数学运算及等比数列的求和。

通过以上案例可以看出：只有读懂物理情景，正确选择物理规律建立方程（组），并有意识地利用数学方法和技巧才能得出正确结果。也唯有如此，“应用数学处理物理问题的能力”才能有质的提高。