Gray-Scott模型非常值正稳态解的不存在性

李　莹 ，周文书

(1.北方民族大学 数学与信息科学学院，宁夏 银川750021；2.大连民族大学 理学院，辽宁 大连116605)



Gray-Scott模型非常值正稳态解的不存在性

李莹1,2，周文书2

(1.北方民族大学 数学与信息科学学院，宁夏 银川750021；2.大连民族大学 理学院，辽宁 大连116605)

摘要：研究了具Neumann边界条件的Gray-Scott模型非常值正稳态解的不存在性。首先,借助于极值原理、Harnack不等式和先验估计技巧，得到了正解的上、下界；其次，利用积分平均方法，推导出了一个新的积分恒等式；最后，利用上述结果并结合Poincaré不等式，给出了不存在非常值正解的若干充分条件。

关键词：Gray-Scott模型；稳态解；不存在性

考虑如下稳态Gray-Scott模型的Neumann边值问题：

(1)

简单的计算表明，若F≥4(F+k)2，则问题(1)存在两个正常数解，分别记为(u1，v1)和(u2，v2)，其中

彭锐和王明新在文献[7]中给出了关于问题(1)不存在非常值正解的两个充分条件：

(i)μ1d2+F+k>2a+(2a+a2)2/F；

(ii)μ1d1+F>(2a+a2)/(4ε)，μ1d2+F+k>2a+ε，

此处，a=max{d1/d2,F/(F+k)}，ε>0， μ1是算子-Δ在Ω上满足齐次Neumann边界条件的最小正特征值。最近，他们在文献[8]中又给出了问题(1)不存在非常值正解的两个充分条件：

定理1

(i)设N≤3，那么存在一个仅依赖于F，N，k和Ω的常数d*>0，使当d2>d*时问题(1)不存在非常值正解。

根据定理1中的(ii)可知：存在一个仅依赖于F，N，k和Ω的常数d*>0，使当d2>d*时，问题(1)没有非常值正解。因此，这个结果补充了文献[7-8]中的相应结果。

为证明定理1的需要，这里不加证明地引入如下两个基本引理：

引理2(Harnack不等式[10])设c∈Lq(Ω)，q>N/2，如果v∈W1，2(Ω)是边值问题

Δv+c(x)v=0x∈Ω，∂vv=0x∈∂Ω，

接下来的引理给出了问题(1)正解的上、下界。

(2)

(3)

于是

(4)

将问题(1)的第一个方程在Ω上积分，得

(5)

(6)

式(6)蕴含

于是

(7)

问题(1)中的第二个方程可写成如下形式：

-Δv=c(x)v x∈Ω，∂vv=0 x∈∂Ω，

如果N≤3，由引理2可知，存在一个常数C1=C1(F,K,k,d,Ω)≥1，使得

(8)

联立式(4)、式(7)和式(8)可得式(3)。

(9)

直接计算得

(10)

联立式(10)与问题(1)中的第二个方程，得

(11)

将式(11)两边乘u，然后在Ω上积分，得

(12)

联立式(12)与式(9)并利用式(4)，得

(13)

另一方面，将问题(1)中的第二个方程两边乘vn-1(n=1，2，3，…)，然后在Ω上积分，得

(14)

将式(14)与式(13)联立，得

(15)

由式(14)得

(16)

将式(16)与式(15)联立，得

(17)

当n=1时，利用式(5)，得

通过归纳，可由式(17)推得

(18)

由式(18)和式(4)，得

引理3证毕。

定理1的证明设(u,v)是问题(1)的一个正解。令

(19)

(20)

由引理3知：若d2≥1，则存在两个仅依赖于F，K，N，k和Ω的正常数C1和C2，使得

(22)

因此，对于d2≥1，存在一个仅依赖于F，K，N，k和Ω的正常数C3，使得

(23)

再通过式(22)和Poincaré不等式知：存在一个仅依赖于F，K，N，k和Ω的正常数C4，使得

(24)

将式(23)和式(24)代入式(21)得

(25)

定理1证毕。

参考文献：

[1]PEARSONJE.Complexpatternsinasimplesystem[J].Science, 1993, 261: 189-192.

[2]MURATOVCB,OSIPOVVV.StaticspikeautosolutionsintheGray-Scottmodel[J].JournalofPhysicsA-MathematicalandGeneral, 2000, 33: 8893-8916.

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[5]MCGOUGHJS,KILEYK.PatternformationintheGray-Scottmodel[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications, 2004, 5: 105-121.

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[7]PENGR,WANGMX.OnpatternformationintheGray-Scottmodel[J].ScienceinChinaSeriesA:Mathematics, 2007, 50(3): 377-386.

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[10]LOUY,NIWM.Diffusion,self-diffusionandcross-diffusion[J].JournalofDifferentialEquations, 1996, 131: 79-131.

(责任编辑邹永红)

Nonexistence of Positive Nonconstant Stationary Solutions for the Gray-Scott Model

LI Ying1,2， ZHOU Wen-shu2

(1.School of Mathematics and Information Sciences, Beifang University of Nationalities,Yinchuan Ningxia 750021, China; 2.School of Science, Dalian Minzu University,Dalian Liaoning 116605, China)

Abstract:This paper is devoted to the nonexistence of positive nonconstant stationary solutions for the Gray-Scott model with Neumann boundary conditions. Firstly, the upper and lower bounds of positive solutions for the problem are obtained by means of Maximal principle, Harnack inequality and a prior estimating techniques. Secondly, a new integral identity of positive solutions is established by integral mean method. Finally, through Poincaré inequality and the results above, some sufficient conditions of nonexistence of positive solutions are given.

Key words:Gray-Scott model; stationary solution; nonexistence

收稿日期：2015-12-02；最后修回日期：2016-03-17

基金项目：国家自然科学基金项目(11571062); 辽宁省优秀人才支持计划(LJQ2013124); 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(DC201502050202)。

作者简介：李莹(1989-)，女，黑龙江七台河人，大连民族大学与北方民族大学联合培养硕士研究生，主要从事非线性偏微分方程研究。通讯作者：周文书(1974-)，男，黑龙江齐齐哈尔人，教授，博士，主要从事偏微分方程研究，E-mail:wolfzws@163.com。

文章编号：2096-1383(2016)03-0233-04

中图分类号：O175.2

文献标志码：A