趣谈数学中的黄金组合

孙翠微

同学，你是追星族吗？你喜欢哪些音乐组合，TFboys或者EXO？在数学领域中也有一对黄金组合，他们是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象——数与形. 华罗庚先生曾指出：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞. 数无形时少直觉，形少数时难入微. 数形结合百般好，隔离分家万事休.” 这充分说明了数形结合在我们数学学习中的重要性. 当然啦，这对组合在解决很多中考数学问题时也会大放异彩，作用不可小觑！下面让我们通过几道中考题来领略一下“数形结合”的风采，体会它是如何把问题变抽象为直观，化复杂为简单的.

一、 以形助数

你在做题时是否有过这种感觉——明明题目给的数量信息很清楚，可就是难以把握，不知从何下手. 这是因为“数”比较抽象，不易寻找到各个条件之间的联系，而“形”具有形象、直观的优点，能表达较多具体的思维. 因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题，会有“四两拨千斤”的神奇效果.

例1 （2015·宿迁）当x=m和x=n（m≠n）时，代数式x2-2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2-2x+3的值为_______.

【分析】构造二次函数y=x2-2x+3，“见数思形”，该抛物线的对称轴为直线x=1，由二次函数图像的轴对称性，结合当x=m和x=n时，y的值相等，可知抛物线的对称轴为直线x=. 故有=1，如图1，假设m

解：（思路一）m+n=2，当x=m+n时，即当x=2时，x2-2x+3=3.

（思路二）观察图像，因为其对称轴为直线x=1=，所以当x=0时与当x=m+n时函数值应相等.易知当x=0时，y=x2-2x+3=3，故当x=m+n时，y=3.

变式 （2015·南通模拟）已知当x=a和x=a+b（b>0）时，代数式x2-2x-3的值相等，则当x=6a+3b-2时，代数式x2-2x+3的值等于_______.

二、 以数解形

“形”尽管直观、形象，但在定量方面，却离不开“数”的鼎力相助. 尤其是在较复杂的“形”中，可以尝试把图形数字化，搜寻隐含条件，合理利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.

例2 （2015·徐州，有删改）如图2，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点.

（1） 求抛物线的函数表达式.

【分析】易得OB是AC的垂直平分线，连接OC，则OC=OA=10，利用勾股定理，得OD=6，C（6，8），B（8，4），求出OB所在直线的函数关系式从而得出点E的坐标，用待定系数法得抛物线的解析式.

解：（方法一）连接OC，作BG⊥x轴，如图3所示.

易得OB是AC的垂直平分线，

∴OC=OA=10，

在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，

∴OD=6，

又由△ABG∽△ACD，得AG=2，BG=4，

∴C（6，8），B（8，4），

∴OB所在直线的函数关系为y=x，

又∵E点的横坐标为6，

∴E点纵坐标为3，

即E（6，3），

抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），

∴此抛物线的函数关系式为

y=-x2+x.

（方法二）∵CD⊥x轴，OB⊥AC，

∴∠DCA=∠BOA，

∴tan∠DCA=tan∠BOA，

即=，

∵OD=6，∴AD=4，

又∵CD=8，

∴ED=3，即E（6，3），

以下略.

【解后反思】第1小问的难点在于求出点E的坐标. 需要把OB所在直线理解为一次函数的图像，以数解形，求出其函数关系式，进而寻找到突破口.

下面再看第2小问：

（2） 若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

【分析】首先要认识到点P的位置可能在CD的左右两侧，其次要注意到点P在右侧时该四边形的最大面积比P在左侧时该四边形的最大面积要小，所以当点P在CD的右侧某处四边形面积取最大值时，在CD的左侧有两个点P满足同样的面积，此时相应的点P有且只有3个.

解：不妨设P的坐标为m，-m2+m，

①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如图4，易得OP所在直线的函数关系式：

y=-m+x，

表示出Q点的纵坐标，

得QE的长，割补法表示出四边形POAE的面积，

S四边形POAE=S△OAE+S△OQE-S△PQE

=-m2+m+15，

②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如图5，易得AP所在直线的关系式：

y=-mx+m，

从而求得Q点的纵坐标，得QE，求得四边形AOPE的面积=S△OAE+S△AQE-S△PQE=

-m2+4m=-（m-8）2+16，

当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个.

令-m2+m+15=16，解得点P位置有两个.

综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个.

试试看，你能独立把这道题完整地解下来吗？坐标系背景下，解决几何问题，是中考命题的热点，寓形于数，数形结合，会让问题解决起来轻松顺畅.

怎么样，“数形结合”是不是魅力无限？希望它会成为你的朋友，在解决数学问题时，一定会帮助你披荆斩棘，所向披靡.